Exploration sans limite

Le 8 juillet 2013  - Ecrit par  Enrique Gracián Voir les commentaires (1)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série,
un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques ; il sera suivi du sommaire du livre.

Extrait du Chapitre 5 - Le paradis de Cantor

Nombres transfinis

L’arithmétique des nombres transfinis est
distincte de celle des nombres finis.

G. Cantor

Comme on vient de le voir, on peut former la série suivante de sous-ensembles
d’un ensemble $A = \{a, b, c, d\}$ :

\[\ \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\}, \{a, b, c\}, \{a, b, d\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d\}.\]

Nous les avons appelés sous-ensembles propres de $A$. On leur a donné ce
nom car, lorsqu’on parle de sous-ensembles d’un ensemble total, ${a, b, c, d}$ et
l’ensemble vide sont aussi des sous-ensembles de $A$.

L’ensemble vide, noté $ \emptyset$, est l’ensemble qui n’a pas d’éléments, et
l’on considère que c’est un sous-ensemble de n’importe quel ensemble.
L’ensemble vide et l’ensemble original avec tous ses éléments sont dits sous-ensembles
impropres. Si l’on ajoute maintenant ces deux sous-ensembles aux
précédents, on obtient la série complète de tous les sous-ensembles de A,
soit 16 au total :
\[ \{\emptyset\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\}, \{a, b, c\}, \{a, b, d\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d\}, \{a, b, c, d\}.\]

Sachant que $2^4 = 16$, le nombre de sous-ensembles de $A$ est égal à $2$ élevé
à la puissance du nombre d’éléments de $A$. On démontre facilement que
c’est toujours vrai, soit qu’un ensemble quelconque à $n$ éléments a toujours $2^n$
sous-ensembles.

L’ensemble formé des sous-ensembles d’un ensemble $A$ s’appelle ensemble
des parties de $A$
, et il est noté $\mathscr{P}(A)$. Cantor démontra qu’en général,
étant donné un ensemble quelconque, l’ensemble de ses parties était
plus grand que lui, ou plutôt qu’il contenait plus d’éléments que lui, soit
plus formellement, que son cardinal était supérieur. Pour ne pas abuser
de parenthèses, nous allons utiliser un autre symbole pour le cardinal : les
barres verticales.

Ainsi, à partir de maintenant, $\text{Card} (A) = A.$ On peut donc formuler
le résultat précédent par :
\[\left |A\right | < \left |\mathscr{P}(A)\right |.\]

C’est le « théorème de Cantor ».

Ce théorème permet d’obtenir des infinis de plus en plus grands. Cantor
considéra que l’infini le « plus petit » est celui qui correspond au cardinal
de $\mathbb{N}$, l’ensemble des entiers naturels, qu’il nota $\aleph_0$, soit :

\[\left| \mathbb{N} \right|=\aleph_0\]

Appliquons le théorème de Cantor :
\[\left|\aleph_0\right| < \left| \mathscr{P}(\aleph_0)\right| < \left|\mathscr{P}(\mathscr{P}(\aleph_0))\right|<...\]

À la suite de cardinaux, Cantor donna le nom de nombres aleph, suivi
d’un nombre pour chacun d’eux, soit aleph-1, aleph-2, aleph-3, etc. Aleph-1
est le plus petit cardinal strictement plus grand que aleph-0 ; aleph-2 est
le plus petit cardinal strictement plus grand que aleph-1 ; et ainsi de suite.

On les lit aleph un, aleph deux, etc., et ils s’écrivent en portant le nombre
d’ordre en indice de la lettre hébreu aleph :
\[\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \aleph_3...\]
Ce sont eux que l’on appelle les nombres transfinis.

Quasi infini

Il n’y a pas que les infinis ou les transfinis qui surpassent notre nature finie. Par exemple, le
nombre suivant est monstrueux :

\[10^{{{{{{{{{10}}^{10}}^{10}}^{10}}^{10}}^{10}}^{10}}^{10}}\]

Cela pourrait être le résultat d’un calcul mathématique. Un processeur pourrait l’avoir
obtenu, au moyen d’un langage approprié, après un nombre raisonnable d’étapes. Ceci
est rendu possible grâce aux outils symboliques en mathématiques et en langage de programmation.
Mais si nous devions écrire ce nombre avec tous ses chiffres, nous aurions
besoin d’un support matériel, papier ou autre, en quantité bien plus importante que toutes
les particules de l’univers. De plus, nous n’aurions pas non plus le temps de l’écrire, car il nous faudrait bien plus de temps que l’âge de l’univers.

Quel que soit le nombre, même celui que nous n’avons pas imaginé, il
existe dans cette série ordonnée de nombres. Si, avant Cantor, on affirmait que
rien ne pouvait être plus grand que l’infini, après lui, nous pouvons être sûrs
au contraire qu’il existera toujours un infini plus grand que celui que l’on s’est
donné. Cantor a dépassé les limites de la création : pour aussi grand que puisse
être ce que Dieu pourrait créer, il y aura toujours un infini supérieur. Or cette
idée heurtait de plein fouet les convictions religieuses intimes de Cantor lui-même.

L’hypothèse du continu

Jusque-là, nous avons parlé de la cardinalité d’un ensemble. Nous savons que
c’est un concept qui fait référence au nombre d’éléments qui forment un ensemble.
Nous avons vu aussi que lorsque les ensembles sont finis ils peuvent
être dénombrés, dans le sens où l’on peut attribuer un nombre naturel à chaque
élément l’un après l’autre. D’un autre côté, lorsqu’il s’agit d’ensembles à une
infinité d’éléments, donner un nombre à chacun des éléments est rendu possible
au moyen de ce qu’on a appelé la correspondance biunivoque, qui attribue un
entier naturel à chacun des éléments de l’ensemble. Les ensembles pour lesquels
ceci est possible sont dits dénombrables. Mais nous avons aussi rencontré des
ensembles non dénombrables et pour faire référence à la « quantité » d’élément
qu’ils contenaient, nous avons fait appel à la notion de cardinalité. Ainsi, le cardinal
d’un ensemble n’est pas exactement un nombre, mais bien un concept
associé à l’idée de grandeur numérique. C’est au fond une astuce extraordinairement
ingénieuse pour connaître la taille d’un ensemble. En fait, cela consiste
à comparer les ensembles selon des règles très bien définies qui nous permettent
d’affirmer que deux ensembles ont la même taille ou non, indépendamment
du fait qu’ils soient finis ou infinis.

La liberté en mathématiques

On peut dire que le souhait de Cantor qu’il existe des mathématiques libres est maintenant
pleinement comblé. Elles le sont au moins dans le sens où rien ni personne, en tous cas
dans les pays dits civilisés, ne met de bâtons dans les roues à une théorie mathématique
au nom de la philosophie ou de la religion. Par exemple, ce qu’on appelle actuellement
les « grands cardinaux » sont des ensembles de taille si monstrueuse que les transfinis de Cantor semblent des nains à leur côté. Leur définition est plus complexe que ce que nous avons présenté, mais leur construction garde une certaine similitude avec la génération des alephs, à partir d’une chaîne d’ensembles inclus les uns dans les autres et en considérant ensuite les ensembles de leurs parties.

Alors que Cantor appela aleph zéro le cardinal des entiers naturels, $\left|\mathbb{N} \right|=\aleph_0$,
il donna à $\mathbb{N}$, l’ensemble des réels, un autre nom, $c$, pour continu. La raison en
est que les nombres réels « remplissent » complètement la droite dite réelle, et
comme c’est maintenant une suite continue de nombres puisqu’elle n’a plus
d’espace vide, elle peut être qualifiée de continue. Cantor savait que :
\[\left|\mathbb{R} \right| = c = 2^{\aleph_0}\]
Mais les nombres alephs forment une suite croissante puisque :
\[\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < …\]
Cantor se posa alors la question suivante : existe-t-il un cardinal qui soit
compris entre celui des entiers naturels et le continu ? Il eut alors l’intuition
que l’égalité suivante était vérifiée :
\[2^{\aleph_0} = \aleph_1.\]

Autrement dit, il n’existe pas d’ensembles dont la « taille » se situe entre celle
de l’ensemble des entiers naturels et celle de l’ensemble des réels. On appelle cette
conjecture l’hypothèse du continu. Cantor fit des efforts monstrueux, jusqu’au bord
de l’épuisement, pour démontrer ce résultat. Plus d’une fois, il crut y arriver mais
n’obtint jamais de démonstration totalement satisfaisante.

Plusieurs mathématiciens, contemporains de Cantor, comme Hilbert, Russell
ou Zermelo, tentèrent sans succès de démontrer l’hypothèse du continu. Le mathématicien
hongrois G. Köning (1849-1913), au congrès d’Heidelberg de 1904, fit
une présentation qui démontrait que cette hypothèse était fausse. Cantor ne cessa
de penser que cette démonstration ne pouvait être juste, il avait une foi aveugle
en son intuition, mais il n’arriva pas à trouver d’erreur dans la démonstration de
Köning. C’est Zermelo qui en trouva une et le problème resta ouvert. En 1900,
Hilbert l’inclut dans sa liste des vingt-trois problèmes importants sans solutions.
En 1963, le mathématicien américain Paul J. Cohen (1934-2007) démontra,
à partir des résultats de consistance axiomatique de Gödel, que l’hypothèse
du continu pouvait être vraie ou fausse selon le système d’axiomes choisi pour construire la théorie des ensembles.

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Le mathématicien américain Paul J. Cohen démontra en 1963
que l’hypothèse du continu, l’une des grandes questions
ouvertes des mathématiques, est indémontrable dans le cadre
des axiomes de la théorie des ensembles.

On se trouva alors dans une situation
assez similaire à celle résultant de l’exposé du cinquième postulat d’Euclide sur
les droites parallèles, selon lequel par un point extérieur à une droite, on ne peut
faire passer qu’une parallèle à cette droite. En effet, ce postulat dépend du type de
géométrie : le postulat est vérifié dans les géométries euclidiennes et ne l’est pas
en géométrie hyperbolique par exemple.

Malgré tout, certains pensent que cette question n’est absolument pas fermée
et qu’une nouvelle série d’axiomes, en renforçant la théorie des ensembles, pourrait
rendre vraie l’hypothèse du continu. Mais jusqu’à ce que ceci se produise, nous
ne sommes pas sûrs non plus d’avoir une idée claire de ce qu’est un nombre réel.

[...]

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Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Julien Melleray. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Enrique Gracián — «Exploration sans limite» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • Exploration sans limite

    le 20 août 2013 à 11:48, par Audibert

    Dans le livre N°16 On trouve encore le joli et gentil petit problème de Quadrature du triangle équilatéral à la page 44 (Le même problème apparaît en couleur dans le N°7 à la page 37) .Il peut s’énoncer comme suit :
    ABC est un triangle équilatéral .O, F et G sont respectivement les milieux de BC, AB et AC .M et N sont respectivement les milieux de OB et OC .FD et NE sont perpendiculaires à MG, D et E étant sur la droite MG. Le plateau de cette table triangulaire est constitué de 4 morceaux : AFDG, BFDM, CGEN et MNE. Peut-on assembler différemment ces 4 morceaux de telle sorte qu’ils constituent une table carrée ? Êtes-vous bien sur qu’il s’agit d’un carré ? Qu’en est-il si O est maintenant un point quelconque de BC ?
    Afin de démontrer cette quadrature ,le carré peut-être reconstruit à partir du triangle en faisant pivoter de 180° autour de N le quadrilatère NCGE ; puis en faisant pivoter de 180° autour de M le quadrilatère MBFD ; et enfin en translatant de A sur O le quadrilatère AGDF. (Excusez-moi mais les commentaires ne permettent pas le dessin me semble-t-il ) G.A.

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Cet article fait partie du dossier «Le monde est mathématique» voir le dossier

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