Fantasía acerca de Nippur y las raíces cuadradas

Le 19 mars 2010  - Ecrit par  Jean-Pierre Kahane
Le 9 avril 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Rêverie sur Nippur et les racines carrées Voir les commentaires
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Nippur, al este de Babilonia, era a inicios del segundo milenio a.C. una especie de capital intelectual de la Mesopotamia. Ahí se formaban escribas practicando y aprendiendo máximas y proverbios, listas de palabras y de signos, las magnitudes y sus medidas, y el cálculo con números. Sus cuadernos de ejercicios eran tablillas de arcilla que grababan con un punzón, en columnas de izquierda a derecha. Sobre la cara plana de enfrente, el maestro podía emplear la primera columna para grabar un modelo, que el alumno seguía o copiaba. Sobre la cara abombada, el reverso, el alumno aplicaba lo que acababa de aprender, o lo que había aprendido antes. Se han encontrado cerca de un millar de esas tablillas, repartidas hoy en día en los museos de Filadelfia, Jena y Estambul. Al estudiar la repartición de las materias sobre las superficies planas y los reversos, se tiene una buena idea de las materias tratadas y de su sucesión. Se han dedicado importantes estudios a este tema. Christine Proust contribuyó para esto y lo analizó en un libro de gran interés, fuertemente documentado, que se publicó en 2007 bajo el título ’’Tablettes mathématiques de Nippur’’. Recientemente conocí esta obra, que me reveló un mundo que yo ignoraba, y me hizo soñar.

Las magnitudes principales son las capacidades, los pesos, las superficies y las longitudes. Es su orden de importancia, y también el orden en el cual son enseñadas. Cada magnitud tiene su sistema de medidas, de unidades y de cálculo. Es asombroso -aunque completamente comprensible- ver aparecer las dimensiones en orden decreciente. En relación con las capacidades y los pesos intervienen los volúmenes, con otras unidades (los ladrillos). En las longitudes, Christine Proust le da un lugar particular a las alturas, que unen de manera natural las superficies con los volúmenes.

Los modos de numeración dependen de las magnitudes, con diferentes escalas, donde intervienen -con otros- los números diez y sesenta.

El sistema sexagesimal, en base sesenta, es utilizado de manera exclusiva en el cálculo numérico puro, el cálculo sobre los ’’números abstractos’’. Solamente dos signos son utilizados : el trazo vertical que representa 1, y el corchete abierto a la derecha que representa 10 ; asociándolos, se escribe todos los números de 1 a 59. Al colocar esos números a continuación unos de otros, se puede escribir todos los naturales y también todas las fracciones cuyo denominador es una potencia de 60. Aquí aparece una sutileza : el trazo vertical puede representar indistintamente 60 o $\frac{1}{60}$, así como 3600 o 1 ; nada permite distinguir por su escritura un número de su producto por una potencia positiva o negativa de 60. La búsqueda de los inversos, la elevación al cuadrado, la multiplicación, la división, operan módulo la multiplicación por 60, lo que simplifica las reglas. La indeterminación en el resultado es superada por la estimación de los órdenes de magnitud.

Sin embargo, las tablillas encierran también tablas de raíces cuadradas y de raíces cúbicas. Estas tablas, por cierto muy parciales, dan resultados que no están definidos sino módulo la multiplicación por $\sqrt{60}$ o $\sqrt[3]{60}$.

Aquí comienza mi ensueño. ¿Cómo calcular las raíces cuadrada y cúbica de 60 con los medios de esa época ? Como 60 es cercano a 64, esas raíces están cercanas a 8 y 4. Luego se introducen naturalmente las ’’fracciones babilónicas’’ $8 - \frac{1}{4}$ y $4 - \frac{1}{12}$, porque me lo autoriza el anacronismo de la fórmula del binomio.
\[ \begin{array}{lcl} \displaystyle\Big(8 - \frac{1}{4}\Big)^2 &=&\displaystyle 8^2 -2 \times 8 \times \frac{1}{4} + \Big(\frac{1}{4}\Big)^2 = 60 + \frac{1}{16}\\ \displaystyle\Big(4 - \frac{1}{12}\Big)^3 &=&\displaystyle 4^3 -3 \times 4^2 \times \frac{1}{12} + 3\times 4 \times \frac{1}{12^2}- \frac{1}{12^3} = 60 + \frac{1}{12} -\frac{1}{12^3} \end{array} \]
Al proseguir, mediante un procedimiento que voy a describir, uno tiene como fracciones aproximativas $8 - \frac{1}{4} - \frac{1}{248}$ y $ 4- \frac{1}{12} - \frac{1}{556}$. Para apreciar la aproximación, pasemos a la escritura decimal :
\[ \begin{array}{lcl} \sqrt{60} &=&7,745966692\cdots\\ \displaystyle 8 - \frac{1}{4} &=&7,75\\ \displaystyle 8 - \frac{1}{4}-\frac{1}{248} &=&7,745967742\cdots\\ \displaystyle \sqrt[3]{60} &=& 3,914867641\cdots\\ \displaystyle 4 - \frac{1}{12} &=&3,916666666\cdots\\ \displaystyle 4 - \frac{1}{12} - \frac{1}{556} &=&3,914868106\cdots \end{array} \]
Para la raíz cúbica, debo detenerme aquí. Pero para la raíz cuadrada se puede proseguir : existe una secuencia de naturales $n_j$ $(j=1,2,\ldots)$, cada uno múltiplo del anterior, tal que
\[ \Big( 8 - \frac{1}{n_1} - \frac{1}{n_2}- \cdots - \frac{1}{n_j}\Big)^2 = 60 + \big( \frac{1}{n_j}\Big)^2\,. \]
En efecto, si uno escribe
\[ 8 - \frac{1}{n_1} - \frac{1}{n_2}- \cdots - \frac{1}{n_j} = \frac{k_j}{n_j}\,, \]
entonces
\[ \Big( 8 - \frac{1}{n_1} - \frac{1}{n_2}- \cdots - \frac{1}{n_j}-x\Big)^2 = \Big(\frac{k_j}{n_j}\Big)^2 -2x \frac{k_j}{n_j} + x^2 = 60 + \big( \frac{1}{n_j}\Big)^2 - 2x \frac{k_j}{n_j} +x^2\, \]
y
\[ x = \frac{1}{2k_jn_j}= \frac{1}{n_{j+1}} \]
da el resultado. La secuencia $(n_j)$ crece muy rápidamente, ya que
\[\begin{equation} \left\lbrace\begin{matrix} k_{j+1} = \displaystyle \frac{k_j}{n_j} n_{j+1} -1 = 2 k_j^2-1\\ \displaystyle n_{j+1} = 2k_j n_j\,. \end{matrix} \right. \label{equation_1} \end{equation}\]
Esas fracciones babilónicas son mucho más eficaces que las fracciones continuas.

El razonamiento por recurrencia es general : si
\[ \Big(n - \frac{1}{n_1} - \cdots - \frac{1}{n_j}\Big)^2 = N + \Big(\frac{1}{n_j}\Big)^2\,, \]
siendo cada $n_i$ múltiplo del anterior, entonces
\[ \Big(n - \frac{1}{n_1} - \cdots - \frac{1}{n_{j+1}}\Big)^2 = N + \Big(\frac{1}{n_{j+1}}\Big)^2\,, \]
con
\[ \begin{array}{ll} n_{j+1} &= 2 k_j n_j\\ \displaystyle \frac{k_j}{n_j} &\displaystyle= n - \frac{n}{n_1}- \cdots - \frac{1}{n_j}\,. \end{array} \]
De nuevo, la secuencia $(n_j)$ es muy rápidamente creciente, y $\frac{k_j}{n_j}$ tiende muy rápidamente hacia $\sqrt{N}$.

Pero, dado $N$ hay que poder iniciar la recurrencia.

Si $N= n^2 -h$, bien se puede escribir $(N-x)^2 = N+x^2$ tomando $x=\frac{h}{2n}$. Por lo tanto, se puede comenzar si $h$ divide $2n$. Por ejemplo, para $N=n=h=2$, se tiene
\[ \sqrt{2} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{12} - \frac{1}{408} - \frac{1}{470832} -\varepsilon\,, \qquad 0<\varepsilon <1,6\ 10^{-12}\,. \]
El procedimiento se aplica cuando $n=2$ y $h=1$ o 2, $n=3$ y $h=1, 2$ o $3$, $n=4$ y $h=1, 2$ o $4$, $n=5$ y $h=1, 2$ o $5$, $n=6$ y $h=1, 2, 3, 4$ o $6$, etc.

Si además $N=n^2+h$, $h$ dividiendo $2n$, se puede escribir $(n+x)^2 = N+x^2$ tomando $x = \frac{h}{2n}$. Se obtiene de ese modo
\[ \sqrt{N} = n + \frac{1}{n_1} - \frac{1}{n_2} - \cdots - \frac{1}{n_j} \cdots \]
con las mismas reglas de cálculo sobre los $n_j$. Por ejemplo, para $N=5$, $n=2$ y $h=1$, se tiene
\[ \sqrt{5} = 2 + \frac{1}{4} -\frac{1}{72} - \frac{1}{23184} - \varepsilon\,,\qquad 0 <\varepsilon <5.10^{-10}\,. \]

Se puede descomponer $N$ bajo la forma
\[ \sqrt{N} = n \pm \frac{1}{n_1} - \frac{1}{n_2} - \cdots - \frac{1}{n_j} \cdots \]
con las reglas de cálculo $(1)$ cuando $N=n^2 \pm h$, con $h$ dividiendo $2n$. Para $n=2, 3, 4$ se obtienen todos los valores hasta 20 para $N$, con excepción de los cuadrados $4, 9$ y $16$, y de los números $13$ y $19$. Para tener buenas aproximaciones de $\sqrt{13}$ y de $\sqrt{19}$ por fracciones racionales, se puede pasar por las raíces de $26 (=25+1)$ y de $38(=36+2)$, escribiendo
\[ \sqrt{13} =\frac{1}{2} \times \sqrt{26} \times \sqrt{2}\,, \qquad \sqrt{19} = \frac{1}{2} \sqrt{38} \times \sqrt{2}\,. \]
Uno sale bien parado mediante artificios de este estilo para los valores pequeños de $N$, pero las fracciones babilónicas pierden su interés para la mayoría de los valores grandes de $N$.

Es dudoso que estas consideraciones hayan tenido su lugar en la educación de los escribas de Nippur. Pero estoy seguro que, al soñar con los documentos que nos presenta Christine Proust, uno puede descubrir maravillas.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Fantasía acerca de Nippur y las raíces cuadradas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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