La crise des « subprimes » aux Etats-Unis, et maintenant en Grande-Bretagne, l’affaire Kerviel en France, la flambée du prix du pétrole et des denrées alimentaires suscitent beaucoup de questions touchant à l’économie, la finance, etc... Compte tenu du flux important de jeunes mathématiciens entrant dans l’industrie bancaire à la suite de leurs études au niveau Master, il était naturel que l’Académie des Sciences, et les deux Sociétés MathématiquesSMAI et SMF réfléchissent à l’évolution de cette implication des mathématiciens (probabilistes, analystes numériciens, etc...) dans le secteur bancaire. Les témoignages des Professeurs P. Bank (Allemagne), M. Davis (Angleterre), P. Embrechts (Suisse) sur la situation correspondante dans leurs pays respectifs, ainsi que N. El Karoui (Ecole Polytechnique) et D. Lamberton (Univ. Marne-la-Vallée) pour la France, ont permis d’animer une Table Ronde sur ces thèmes à l’Académie des Sciences, le 1er Avril 2008. [1]
Cette Table Ronde faisait d’ailleurs suite à une demi-journée d’exposés qui s’est également déroulée à l’Académie des Sciences le 1er Février 2005, où la plupart des Aspects des Mathématiques financières ont été présentés de façon accessible à un public scientifique, mais pas nécessairement spécialiste. La tenue de ces deux rencontres, et les publications [2] qui les ont suivies, me dispensent de discuter d’un certain nombre de points techniques, et me permettent de présenter quelques réflexions personnelles sur, d’une part, les mathématiques, et d’autre part, les (réactions des) mathématiciens au contact du monde financier et de conclure par quelques suggestions en réponse (modeste !) aux développements très rapides de la situation.
Les échanges commerciaux de toutes sortes entre les hommes ont existé depuis des temps immémoriaux, et ont entretenu des relations importantes avec les mathématiques, par exemple sous la forme de la « comptabilité » ( :« bookkeeping »), et des assurances. Le 20ème siècle est marqué par la prise en compte du caractère « aléatoire » des principales quantités, procédures, etc..., intervenant dans ces échanges.
Le pionnier en est Louis Bachelier qui, dans sa thèse, en 1900, modèlise les cours de la Bourse à l’aide du mouvement brownien [3]. Paul Samuelson, en 1965, « corrige » ce modèle en prenant l’exponentielle du mouvement brownien. Un article très intéressant [ST] compare ces deux approches. La formule de Black-Scholes, en 1973, marque un tournant essentiel et, à ce jour, malgré nombre de critiques, reste un des piliers des Mathématiques Financières. Après le krach de 1987, l’industrie bancaire se décide résolument à « intégrer » la culture de l’aléa, i.e : utilisation des processus et calcul stochastiques, en particulier.
Des modèles extrêmement sophistiqués, mettant en jeu, processus de Lévy, etc... en fait, toute la panoplie de la théorie des processus stochastiques, sont constamment utilisés en relation avec les calculs de prix d’options, par exemple.
Une longue chaîne de spécialistes, allant des analystes fonctionnels et théoriciens des processus jusqu’aux « simulateurs », a permis à l’industrie bancaire, sinon de maîtriser tout l’ensemble correspondant des connaissances, tout au moins de pouvoir l’utiliser de façon convenable. Les revues de Mathématiques financières se multiplient, avec des lecteurs très motivés et attentifs aux erreurs (lesquelles peuvent coûter très cher !). La théorie des martingales a engendré celle du non-arbitrage ("on ne peut pas gagner sans risque à partir de rien"). Parallèlement, la théorie du risque se développe ( :« Coherent Risk Measures ») mais est encore loin de pouvoir répondre aux nombreuses questions posées par la crise actuelle.
Pour résumer, les besoins de l’industrie bancaire suscitent d’une part le développement de théories mathématiques directement liées aux problèmes de cette industrie, et demandent d’autre part un nouveau regard sur des questions « classiques » de théorie des probabilités, telles que l’étude des processus de Lévy, des lois de martingales, etc...
En outre, l’évolution profonde et constante du fonctionnement de l’industrie bancaire a pour conséquence que les théories mathématiques qu’elle suscite se trouvent rapidement remises en cause au niveau de leur applicabilité aux problèmes du moment. Il y a là une différence importante avec la recherche des lois « immuables » de la Physique, lesquelles évoluent elles-aussi...
Tous ces facteurs font que la recherche dans le domaine des Mathématiques financières s’avère, d’un point de vue purement intellectuel, présenter de nombreuses facettes originales ; par exemple, il est impressionnant de voir avec quelles difficultés les notions actuellement « dominantes » se sont frayées un chemin, empruntant aux théoriciens des probabilités beaucoup de leurs objets de prédilection. Une certaine grandeur et une certaine humilité se dégagent à la fois, me semble-t-il, de ce tâtonnement qui a duré plus d’un siècle, et est bien loin d’être achevé !
On trouvera, en référence, deux articles écrits, d’une part par [N. El Karoui], et d’autre part, par [R. Jarrow et Ph. Protter, qui détaillent soigneusement ce cheminement historique, et les problèmes actuels.
Depuis le début des années 90, les débouchés s’ouvrant aux mathématiciens (et également aux physiciens) de niveau Master 2 et les niveaux de rémunération de ces débouchés dans l’industrie bancaire ont suscité un engouement qui bat tous les records, aussi bien dans la durée (en tout cas, jusqu’à maintenant) que dans son ampleur... Hormis l’attrait purement pécuniaire, il est certainement très apprécié de beaucoup des jeunes mathématiciens embauchés dans les cellules quantitatives des banques, d’où leur nom de « quants », d’utiliser des mathématiques très sophistiquées qui sont directement appliquées au cœur du monde économique, selon la terminologie utilisée pendant la Table Ronde du 1er Avril.
Toutefois, un « quant » a une durée de vie moyenne de 3 ans, et passe souvent après une telle relativement courte période au niveau « Management », ou autre. Le renouvellement (« turnover ») des équipes se fait donc extrêmement rapidement, et à grande échelle.
Par ailleurs, la demande du secteur bancaire est telle que, en Europe tout au moins, et à la City de Londres en particulier, il n’est pas vraiment nécessaire d’avoir une thèse pour être embauché. (En exagérant un peu, ce serait peut être un handicap ; par contre, aux états-Unis, le PhD sert de référence à l’embauche de la plupart des « quants »). De plus, une fois dans la banque, notre « quant » n’a plus le temps nécessaire pour réfléchir tout à loisir, ainsi que la préparation d’une thèse le nécessite.
Cette mine d’emplois a, bien entendu, des retombées importantes sur la population étudiante concernée : il est certainement assez difficile à un(e) jeune probabiliste, un peu incertain(e) quant à son insertion dans la recherche, de résister à l’appel de ses pairs qui, eux, ont décidé de prendre un emploi dans le secteur bancaire. Cette attirance, un peu moutonnière, ne risque-t-elle pas d’appauvrir d’autres secteurs universitaires, de recherche, etc... ?
Du côté des responsables de Masters, on assiste également à un effet pervers. On entend souvent le discours suivant : si, dans mon université U, on ne développe pas un Master de Finance mathématique, alors les Masters Mathématiques de U vont devoir fermer, faute de candidats... Les responsables en question affirment ensuite, dans la foulée : tout professeur probabiliste est capable d’enseigner les Mathématiques « Financières... En d’autres temps, on a entendu des discours voisins, avec probabiliste » remplacé par « analyste », et « Mathématiques Financières » par « Probabilités », voire « Statistique », avec les dégâts que l’on sait...
L’industrie bancaire, pour l’essentiel, vient de mettre en place un système de chaires, très attrayant, qui permet aux professeurs titulaires de ces chaires de bénéficier de conditions incomparables à celles du professeur moyen... Tout un système de « gratifications » (H. Föllmer a parlé récemment de « wrong incentives ») est actuellement mis en place, qui va définitivement créer deux classes d’enseignants (en Probabilités, tout du moins ) selon que l’enseignant-probabiliste concerné traite ou non de Mathématiques Financières. La résultante de toutes ces exceptions est que les Masters de Mathématiques Financières deviennent un club à part, se situant bientôt dans les départements adhoc, type : Ingénierie Financière. Ces scissions sont tout à fait à l’ordre du jour, et sont présentées par un certain nombre de responsables et d’institutions comme quasiment inéluctables.
Notons toutefois que cette position est loin de faire l’unanimité, en particulier outre-Atlantique : le Professeur I. Karatzas (Columbia University, New-York) dont les contributions en Mathématiques Financières sont de tout premier ordre, écrit à ce sujet : "I believe strongly that Probability in general, and Math Finance in particular (you see already my bias in the set-inclusion) can only be healthy within a strong Mathematics environment (yet another set-inclusion). This only works if there is good will and generosity on both sides on the ’inclusion’". [4]
Avec l’analyse que je viens de faire dans les paragraphes précédents, il ne me semble pas avoir forcé le trait, bien au contraire...
D’autre part, les questions traitées lors de la Table Ronde du 1er Avril, et dans les paragraphes ci-dessus, sont considérées avec beaucoup d’attention, aussi bien par les praticiens que par les académiques concernés. Depuis le 1er Avril, j’ai eu connaissance de 2 exposés très liés à ces questions :
L’argumentation de ce second exposé est que l’approche mathématique a mis en lumière, de façon aveuglante, certains aspects de la finance, rejetant le « reste » dans une grande obscurité. H. Föllmer conclut en disant qu’il est nécessaire de porter la lumière sur d’autres aspects, i.e : risques de toutes sortes, et donc de développer les mathématiques correspondantes, mais que ceci doit se faire dans un esprit d’humilité qui n’a pas vraiment eu cours jusqu’alors.
Il apparaît ainsi que, après 20 ans d’interactions importantes avec l’industrie bancaire, la communauté probabiliste, française en particulier, est à la croisée des chemins. En particulier, si la crise bancaire internationale s’amplifie, peut-on laisser des bataillons de jeunes scientifiques s’engouffrer dans la brèche ?... (Les optimistes diront que « le marché » régulera tout cela, mais le mal sera fait, et peut être pour assez longtemps).
Pendant toutes ces années, et au fil des échanges avec de nombreux chercheurs théoriciens, aussi bien que praticiens, je me suis forgé les convictions suivantes :
N. El Karoui. Gestion des risques financiers dans un monde dynamique. In : Leçons de Mathématiques d’aujourd’hui, vol. 3. Editeurs : E. Charpentier, N. Nikolski. Cassini. Collection : Le Sel et le Fer (Janvier 2007).
R. Jarrow, Ph. Protter. A short history of stochastic integration and mathematical finance : the early years, 1880-1970. In The Herman Rubin Festschrift, éditeur : A. Dasgupta, IMS Lecture Notes 45 ; 75-91 (2004).
W. Schachermayer, J. Teichmann. How close are the option pricing formulas of Bachelier and Black-Merton-Scholes ? Mathematical Finance, Vol. 18 (2008), No. 1, pp. 55-76.
Remerciements : Ils vont à Hans Föllmer pour son exposé du 30 Mai 2008 à Paris V, et à Jean-Pierre Kahane pour ses remarques aussi bien sur la forme que sur le fond.
[2] par exemple : Aspects des Mathématiques Financières, Editions Tec & Doc, Lavoisier 2006. Ce volume a maintenant été traduit en anglais, et publié par Springer sous le titre : Aspects of Mathematical Finance, 2008.
[3] qui, à l’époque, n’était pas encore désigné par le terme « mouvement brownien », réservé à l’agitation incessante de grains de pollen en suspension dans l’eau, telle qu’elle a été observée par R. Brown en 1828.
[4] Je suis convaincu que les probabilités en général, et les mathématiques financières en particulier (vous pouvez déjà voir un a priori de ma part dans cette inclusion) ne peuvent rester saines qu’au milieu d’un environnement mathématique fort (encore une inclusion !). Cela ne peut fonctionner que si les deux côtés de l’« inclusion » font preuve de bonne volonté et de générosité.
[5] Il existe un tel observatoire au CNRS concernant les métiers de la recherche ; par ailleurs, H. Föllmer nous a appris l’existence pour les universités berlinoises d’un tel dispositif pour les Mathématiques des « Technologies Clé ». Ainsi, tout comme le débat qui fait l’objet de cet article, cette idée d’observatoire est « dans l’air », tout au moins en Europe de l’Ouest.
