Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

Un titre volontairement provocateur dans l’espoir de lancer un débat animé sur IdM. 

18 février 2015  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (66)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

En préambule, pour éviter un malentendu, je voudrais dire que je suis mathématicien, et plus précisément géomètre, et que je suis bien sûr admiratif du bel édifice que représente la géométrie du plan, avec ses joyaux, dont le célébrissime théorème de Pythagore. Je dirais même que c’est probablement la découverte de cette partie des mathématiques, au collège, qui a été le déclic pour mon intérêt pour les maths. Cela dit, les choses ont changé, le temps a passé, et la France du général de Gaulle ne ressemble pas beaucoup à celle de François Hollande. D’autre part nous conviendrons tous que le but principal de l’enseignement des mathématiques au collège n’est pas de former des chercheurs scientifiques.

Que faut-il enseigner aujourd’hui ? Un élève qui arrive au baccalauréat a subi [1] deux mille heures de cours de mathématiques. Il ne faut pas se cacher la face : le résultat est un échec. Pour fixer les idées, je prends l’exemple du théorème de Pythagore dont j’écrivais un peu plus haut qu’il est « célébrissime ». Le nom de Pythagore est sans aucun doute connu d’une vaste majorité de la population. Je serais prêt à parier qu’au moins 80% de réponses à la question « quels théorèmes pouvez-vous citer » contiendraient Pythagore ou Thalès. En revanche, je suis également prêt à parier que moins de 20% de la population seraient capables de l’énoncer (correctement), et probablement moins de 5% de le démontrer. Que s’est-il passé ? Pour quelle raison ce bijou mathématique passe-t-il aux oubliettes dès que possible ? Ne faut-il pas en tirer des conclusions et se demander s’il est vraiment utile d’enseigner à tous quelque chose que presque tous s’empressent d’oublier ?

Bien sûr, le théorème de Pythagore est utile à des tas de gens, comme par exemple… les scientifiques. On pourrait espérer aussi que les architectes l’utilisent, mais les angles droits deviennent si rares dans les bâtiments d’aujourd’hui, et les logiciels de conception sont si efficaces. On peut très bien vivre sans connaître le théorème de Pythagore et il y a infiniment d’autres choses plus importantes. Alors pourquoi l’enseigner ? Selon moi, il n’y aurait qu’une seule justification : ce serait de le démontrer. La plupart des manuels scolaires ont abandonné l’idée même de démontrer un théorème et le pauvre Pythagore en est réduit à une « propriété » qu’il faut apprendre par cœur, sans chercher à la comprendre. Pourquoi des carrés et pas des cubes ? Parce que c’est écrit dans le manuel ? Parfois, on demande à l’élève de mesurer les côtés avec sa règle, ou avec son logiciel de géométrie dynamique, et de « vérifier le théorème » [2]. Il me semble que l’un des rôles principaux de l’enseignement des mathématiques est d’apprendre aux élèves à distinguer une vérité indiscutable d’un point de vue, d’une opinion, ou d’une croyance. Nous pouvons avoir des idées qui divergent sur ceci ou sur cela, mais les mathématiques sont l’un des moyens de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables. Un antidote au dogmatisme, dont nous avons bien besoin. Les programmes de mathématiques actuels ont supprimé presque toutes les démonstrations. Selon moi, le théorème de Pythagore, sans une démonstration (il y en a beaucoup) n’a pas d’intérêt au collège.

Évidemment il faut faire des choix et on ne peut pas tout enseigner. Quand j’étais au collège, l’informatique n’existait pas et la biologie n’avait pas encore fait les progrès spectaculaires qu’on connaît aujourd’hui. Il est normal que les mathématiciens laissent la place à tous ces nouveaux domaines de connaissance et cela entraîne mécaniquement les diminutions d’horaires que nous avons connus. Mezalor, comment choisir la partie des mathématiques qu’on enseigne ? Jusqu’à présent, à l’exception de la désastreuse aventure des maths modernes [3], on a procédé par continuité en modifiant localement ceci ou cela. Le théorème de Pythagore a perdu son panache, sa raison d’être, sa démonstration, mais il est toujours là, un peu par inertie, transformé en une triste « propriété » qu’il faut apprendre par cœur. Hélas, cet énoncé ne fait pas partie du quotidien de nos jeunes, qui n’y voient aucun intérêt, pour la majorité d’entre eux. Ne faut-il pas prendre en compte le monde dans lequel ces jeunes vivent et essayer de trouver des mathématiques qui les aident à mieux s’y retrouver ? Se repérer dans le monde, n’est-ce pas la définition de la géométrie ?

Voici un exemple, très certainement discutable, d’une « nouvelle géométrie » qu’on pourrait aborder à l’école et qui serait plus proche des préoccupations des élèves : la géométrie des réseaux. C’est devenu une banalité : nous vivons dans des réseaux multiples, internet, Facebook, la SNCF, Skype, etc. Les adolescents (et autres) comptent leurs « amis » sur Facebook. Les grands réseaux ont des géométries qui n’ont rien d’euclidien. Les mathématiques qui sont impliquées sont variées : théorie des graphes et combinatoire bien sûr, mais aussi probabilités, sans oublier les aspects informatiques et algorithmiques. Je ne propose pas bien entendu un cours structuré sur la théorie des graphes au collège, mais il me semble qu’on peut aborder quelques points très simples et très instructifs. Plutôt que d’obliger les collégiens à apprendre par cœur, et sans explication, que le volume d’une boule de rayon $R$ est $\frac{4}{3} \pi R^3$, ne serait-il pas préférable de les faire réfléchir à la croissance exponentielle des boules dans les réseaux sociaux (combien y a-t-il d’amis des amis de mes amis ?). Comment se propage l’information (ou les fausses informations) à l’intérieur d’un réseau ? Qu’est-ce que le phénomène du petit monde ? Qu’est-ce qu’un triangle rectangle dans le réseau SNCF [4] ? Quel algorithme Google map utilise-t-il pour me proposer le meilleur itinéraire pour aller de A à B ? Évidemment, de la même manière qu’un théorème sans démonstration est une coquille vide, un algorithme requiert une preuve et on ne peut se contenter de l’utiliser aveuglément.

La géométrie a changé. Elle ne manipule plus seulement des triangles et des cercles ; elle se préoccupe du monde qui nous entoure qui n’est, heureusement, que très rarement euclidien.

Léo Ferré était-il visionnaire ?

« Il faut tuer l’intelligence des mots anciens
Avec des mots tout relatifs, courbes, comme tu voudras
Il faut mettre Euclide dans une poubelle
Mettez-vous-le bien dans la courbure. »

Le chien, 1969

Post-scriptum :

Évidemment, le théorème de Pythagore apparaît souvent dans IdM. Cliquez ici, , , ou encore .

Notes

[1Je pense que c’est le bon mot, pour la majorité des élèves.

[2Dans les meilleurs ouvrages on trouve parfois en fin de chapitre une esquisse de preuve avec des puzzles, mais je suis convaincu que les enseignants n’ont pas le temps d’en discuter sérieusement, ni même de saisir l’occasion pour expliquer le concept de démonstration en mathématiques.

[3Mon époque.

[4On assimile souvent le réseau SNCF, en exagérant beaucoup, à une structure arborescente. Le lecteur intéressé pourra s’inspirer de cet article pour montrer que dans un « triangle rectangle SNCF », l’hypoténuse est la somme des deux autres côtés... Pas besoin d’élever au carré. Bizarre :-)

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 14:40, par Clement_M

    Je trouve que vous évacuez un peu l’intérêt de la géométrie euclidienne dans la vie de tous les jours : faire des plans de bricolage, optimiser son rangement (en calculant des volumes), comprendre des objets du quotidien (sphère, cube, etc...), expliquer des notions simples de la vie courante : distance et angle...

    Ensuite, vous parlez d’autres géométries adaptées aux réseaux d’aujourd’hui. J’aurais plusieurs questions concernant l’introduction de ces géométries :

    • Vous souhaitez remplacer la géométrie euclidienne par ses géométries non-euclidiennes ?
    • Vous semblez attacher à la démonstration (et je le suis aussi !) donc j’aimerais savoir quelle(s) démonstration(s) voudriez-vous faire au collège à propos de cette géométrie des réseaux ?
    • Les enseignants et ceux qui évaluent les programmes s’attachent souvent à dire qu’on ne voit les bienfaits/méfaits d’un nouveau programme que des années plus tard, ne pensez-vous pas qu’un enseignement qui colle à la réalité (comme celui que vous proposez pour la géométrie) risque de perturber les élèves comme les enseignants ?
    • La géométrie a lentement mais sûrement disparu des programmes (aucun cours de géométrie ne m’a été proposé à l’université par exemple) car « la géométrie c’est les mathématiques de papa », au profit notamment des probabilités et des statistiques. Quand on voit ce qu’est devenu l’enseignement des probabilités (disparition de la notion d’indépendance au lycée par exemple), ne pensez-vous pas qu’il faudrait d’abord défendre la démonstration avant de penser à changer de géométrie ?

    Finalement, j’indique ce lien http://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/Ann... (La géométrie, pourquoi et comment ? de Daniel PERRIN) qui me semble un bon moyen de continuer à faire de la géométrie (euclidienne d’abord et autres géométries ensuite).

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 18 février 2015 à 16:45, par Étienne Ghys

      Cher Clement_M,

      Merci pour vos remarques et questions qui vont me permettre de préciser ma pensée.

      Je trouve que vous évacuez un peu l’intérêt de la géométrie euclidienne dans la vie de tous les jours : faire des plans de bricolage, optimiser son rangement (en calculant des volumes), comprendre des objets du quotidien (sphère, cube, etc...), expliquer des notions simples de la vie courante : distance et angle...

      Je n’ai pas proposé de supprimer la géométrie ! Loin de là. J’ai pris l’exemple du théorème de Pythagore et j’ai écrit 1/ que l’enseigner sans le démontrer n’a pas d’intérêt au collège et 2/ qu’il faut faire des choix dans ce qu’on enseigne et que, peut-être le théorème de Pythagore ne joue plus le même rôle aujourd’hui qu’il y a 50 ans. Bien entendu, je suis d’accord avec vous que « comprendre les objets du quotidiens » est une nécessité. Cubes et sphères par exemple, bien sûr. Mais de là à enseigner comme une boîte noire que le volume d’une boule est $\frac{4}{3} \pi R^3$, c’est un peu trop… Je ne suis pas sûr que beaucoup de gens ont besoin de cette formule pour leur bricolage ou pour optimiser leur rangement. Ceux qui en ont besoin la trouvent en quelques clics sur internet (s’ils savent naviguer dans le réseau internet !).

      Vous souhaitez remplacer la géométrie euclidienne par ses géométries non-euclidiennes ?

      Là encore, je n’ai pas proposé de supprimer la géométrie euclidienne :-) Il serait ridicule de remplacer la géométrie euclidienne par la géométrie hyperbolique. Je suggère simplement que nous naviguons en permanence dans des tas d’espaces différents (qu’ils soient physiques, virtuels, psychologiques ou autres) et que la « géométrie » telle que les mathématiciens d’aujourd’hui la comprennent est plurielle par essence et qu’elle ne peut se limiter à la géométrie euclidienne. Je ne propose pas de faire une révolution complète :-) mais de trouver le moyen de montrer d’autres espaces aux élèves, de leur montrer qu’ils ne se comportent pas nécessairement comme un plan euclidien et que la géométrie, bien comprise, peut aider à les comprendre mieux.

      Vous semblez attacher à la démonstration (et je le suis aussi !) donc j’aimerais savoir quelle(s) démonstration(s) voudriez-vous faire au collège à propos de cette géométrie des réseaux ?

      Je vais donner une réponse qui ne plaira peut-être pas. Il faut des démonstrations de toutes sortes. L’informatique va entrer à l’école, et c’est une très bonne chose. Un théorème en informatique, c’est un programme ou un algorithme, et faut le « démontrer » c’est-à-dire comprendre pourquoi il marche, comment il marche, à tous les coups. Cela nécessite une démarche intellectuelle. Alors, une réponse à votre question est dans mon texte : pourquoi ne pas discuter de quelques algorithmes qui permettent de trouver le plus court chemin d’un point à un autre sur une carte de géographie : y a-t-il plus géométrique que ce problème ?
      Mais je pourrais donner d’autres exemples.

      Les enseignants et ceux qui évaluent les programmes s’attachent souvent à dire qu’on ne voit les bienfaits/méfaits d’un nouveau programme que des années plus tard, ne pensez-vous pas qu’un enseignement qui colle à la réalité (comme celui que vous proposez pour la géométrie) risque de perturber les élèves comme les enseignants ?

      Là, je dois dire que je suis surpris par votre question. Vous craignez qu’un enseignement « qui colle à la réalité » perturbe élèves et enseignants ? C’est le contraire qui m’inquiète : je pense que l’une des plus grandes difficultés rencontrées par les élèves, la cause majeure de leur désintérêt pour les maths, est précisément le fait que ce qu’on leur enseigne ne colle pas avec leur réalité. S’ils s’agissait de former des chercheurs en mathématiques, je comprendrais bien qu’on propose un enseignement qui ne colle pas à la réalité (et encore ?) mais pour l’immense majorité des élèves, je suis au contraire convaincu que les maths doivent être au plus proche du réel.

      La géométrie a lentement mais sûrement disparu des programmes

      C’est un fait qu’il faut prendre en compte.

      « la géométrie c’est les mathématiques de papa »,

      Là encore, les personnes (dont je ne suis pas) qui disent « la géométrie c’est les mathématiques de papa) entendent le mot géométrie dans le sens qu’on lui donne au collège, essentiellement (ce qui reste) de la géométrie euclidienne. La géométrie, dans le sens où je comprends ce mot, va bien au delà de cela.

      au profit notamment des probabilités et des statistiques. Quand on voit ce qu’est devenu l’enseignement des probabilités (disparition de la notion d’indépendance au lycée par exemple), ne pensez-vous pas qu’il faudrait d’abord défendre la démonstration avant de penser à changer de géométrie ?

      Les deux questions me semblent indépendantes. Défendre la démonstration, je suis bien sûr pour. Mais les démonstrations ne sont pas l’apanage de la géométrie. La démonstration classique euclidienne est une forme de pensée qu’il faut préserver. Mais le raisonnement probabiliste est aussi d’une grande richesse, et très formateur également. Lui aussi, il faut le préserver. Cela dit, je crains que nous ne parlions d’un combat d’arrière garde. Le Socle commun de connaissances, de compétences et de culture qui vient d’être promulgué a tout simplement oublié cet aspect de l’enseignement :-(

      Finalement, j’indique ce lien http://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/Ann... (La géométrie, pourquoi et comment ? de Daniel PERRIN) qui me semble un bon moyen de continuer à faire de la géométrie (euclidienne d’abord et autres géométries ensuite).

      Ce document est très intéressant et je suis assez d’accord avec l’essentiel de son contenu. En particulier, il insiste beaucoup sur les différentes sortes de géométries. Le point de désaccord principal est qu’il considère qu’il faut se limiter à la géométrie euclidienne au collège. En ce qui me concerne, comme vous l’avez compris, je pense qu’il faut montrer qu’il y a de la géométrie partout, dans toutes les maths, pas seulement dans le chapitre du livre qui parle des triangles…

      En passant, j’aime bien la citation de Dieudonné qu’on trouve dans le texte de Daniel Perrin : « la trigonométrie est utile aux arpenteurs et aux auteurs de manuels de trigonométrie » ! J’ai eu l’occasion il y a un ou deux ans d’étudier le livre de géométrie écrit par Clairaut au 18 ème siècle. Dans son introduction, il écrit que les « éléments d’Euclide » sont « secs » et il n’a pas tort (je ne sais pas si vous avez déjà tenté de lire Euclide dans le texte ?). Alors Clairaut fait une innovation pédagogique : il écrit un livre du point de vue d’un arpenteur. Ses figures, ses triangles etc., sont traversées par des ponts, des rivières etc. Son objectif est de « coller au réel » et il y réussit très bien. Sauf que le réel du 18 ème siècle, qui mesurait la Terre avec des toises, n’est plus celui de notre siècle. Personne ne s’intéresse plus aux arpenteurs, et Dieudonné se moque… Je crois que Clairaut aujourd’hui parlerait d’internet dans son livre de géométrie :-)

      Désolé pour ma réponse un peu bavarde !

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

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      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 18 février 2015 à 21:27, par Clement_M

        Merci pour votre réponse.

        Arrêter de donner la formule du volume d’une sphère sans démonstration (qui semble difficile à faire au collège) tendrait à encourager à garder le théorème de Pythagore dont la démonstration est accessible.

        Je suis d’accord pour parler d’autres géométries si cela va dans le sens de plus de démonstrations (mais comme vous l’observez la tendance n’est pas à plus de démonstration).

        Ce que je cherchais à dire c’est que le système de l’éducation nationale ne permet pas de changer les programmes tous les ans (voir même tous les 5 ans) et chercher à coller à la réalité me semble complètement irréalisable (les programmes ont changé il y a à peine 2 ans...). De plus, les exercices qui se rapprochent de la réalité risque de faire disparaître la capacité d’abstraction chez les élèves. Il est bien sûr important d’expliquer pourquoi les mathématiques sont modernes et pourquoi elles permettent de faire plein de choses dans la vie de tous les jours mais chercher à façonner les programmes pour coller à la réalité me semble une mauvaise idée.

        Finalement, vous évoquez l’arrivée de l’informatique, j’avoue ne pas être complètement au courant : la création de concours (CAPES et Agrégation d’informatique) et ainsi d’un cours d’informatique complètement indépendant du cours de mathématique est-elle en projet ou va-t-on remplacer des parties des mathématiques par de l’informatique et ainsi ne faire correctement ni des mathématiques ni de l’informatique ?

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        • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

          le 18 février 2015 à 22:00, par Étienne Ghys

          encourager à garder le théorème de Pythagore dont la démonstration est accessible.

          Parfait ! Si on peut garder Pythagore en le traitant bien, je serais enchanté.

          « Il est bien sûr important d’expliquer pourquoi les mathématiques sont modernes et pourquoi elles permettent de faire plein de choses dans la vie de tous les jours mais chercher à façonner les programmes pour coller à la réalité me semble une mauvaise idée. »

          Regardez la « nouvelle stratégie pour les mathématiques » présentée par la ministre de l’Education Nationale en décembre dernier. Parmi les 10 points, je lis

          « 1- Des programmes de mathématiques en phase avec leur temps »

          Le document associé est intéressant.

          Je note en passant que la ministre à reconnu à la télévision qu’elle ne connaît pas le théorème de Pythagore :-)

          En ce qui concerne l’informatique, on en parle pour très bientôt. Je recommande ce rapport récent.

          Changements de programmes ? Eh bien si nous avons un tout nouveau Socle commun, c’est parce que de nouveaux programmes ne vont pas tarder ?

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          • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

            le 20 février 2015 à 11:30, par Clement_M

            L’idée d’être en phase avec son temps et de donner un coup de jeune à l’image des mathématiques est une bonne idée mais dans son application j’ai bien peur qu’elle soit une mauvaise idée. Dans le document que vous citez, on voit que les trois points qui concernent l’idée des mathématiques à l’image de notre temps, on voit :
            1) Faire plus d’informatique dans le cours de mathématiques (et donc avec des profs qui ne sont pas encore formés pour).
            2) Des thèmes en lien avec les autres disciplines et la vie quotidienne.
            3) Formation des profs à la recherche actuelle.

            Le point 3) est parfait. Par contre les points 1) et 2) sont plus que contestables. En plus de demander de faire de l’informatique à des gens qui ne connaissent peut-être pas l’informatique, on nous indique qu’on renforce les mathématiques en faisant...de l’informatique. Cela me semble assez bizarre. On peut certes faire des démonstrations en informatique mais on ne va pas enrichir le programme de mathématiques en faisant de l’informatique à la place. On va enrichir le programme d’informatique.

            Concernant le point 2), il faut déjà observer que les liens avec les autres disciplines ont déjà été sacrifiés lors de la précédente réforme des programmes. En filière scientifique, les équations différentielles ont disparu (pour faire le lien avec la physique et son principe fondamental de la dynamique ou la datation au carbone 14 en biologie, c’est parfait !). De plus, les exercices en lien avec la société sont complètement bricolés et sont souvent très éloignés de la réalité. Ils entraînent en plus des questions de mathématiques qui sont en fait des questions de lecture (voir exercice 4 (spécialité) 1) du bac 2014 Métropole S)...

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            • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

              le 20 février 2015 à 12:18, par Étienne Ghys

              Plusieurs remarques à ce sujet :

              D’abord, ce débat est axé autour des maths au collège et pas au lycée. On pourra faite un autre débat plus tard sur le lycée et discuter des équations différentielles et des maths au bac, mais c’est une autre question. Restons donc au collège (qui concerne donc tous les enfants).

              Vous abordez trois points :

              1) Le fait que les profs de maths ne sont pas formés à l’informatique. Vous avez tout à fait raison mais ce genre d’arguments conduirait à un immobilisme total puisqu’il serait impossible d’enseigner des choses nouvelles. En passant, il serait difficile de trouver un concept des maths de collège qui soit postérieur au 18 ème siècle... Je pense que nous connaissons tous le problème central : l’incapacité de l’Education Nationale à organiser une véritable formation professionnelle tout au long de la carrière. Eh bien, il faudra que ça change...

              En ce qui concerne la formation initiale, si on prend en compte la nécessité absolue d’enseigner de l’informatique dans notre système scolaire, il n’y a pas beaucoup de solutions :

              — La solution préconisée par les informaticiens (en particulier Gérard Berry). La création d’un capes et d’une agrégation d’informatique. Cela entraînerait mécaniquement une baisse des horaires de maths (et des autres sciences) et une baisse du nombre de postes au Capes de maths (qui d’ailleurs, comme nous le savons tous, a de grandes difficultés à recruter en ce moment). Il y aurait des profs d’info, formés pour ça et des profs de maths, formés pour ça.

              — L’instauration d’une épreuve d’informatique au capes de maths, pour former des profs de maths-info, comme il y a des profs d’histoire-géo, ou de physique-chimie. Donc des profs ayant une double compétence. Là encore, cela entraînerait une diminution de la quantité de maths enseignée aux élèves, au profit de l’informatique. Il faudrait alors choisir entre deux programmes disjoints (un peu comme l’élève qui a un livre pour l’histoire et un pour la géographie) ou essayer, si possible, d’inventer des programmes « mixtes » en quelque sorte.

              — Il y aurait bien une troisième option mais il me semble qu’elle ne satisfait pas les enseignants (probablement pour de bonnes raisons). Des enseignants ayant une double compétence, du genre maths-phyique, ou info-physique, ou info-chimie etc. , comme dans beaucoup de pays.

              Je ne sais pas à quelle échéance une telle option sera prise, mais je ne vois pas d’autre solution.

              2) « Les liens avec les autres disciplines et la vie quotidienne sont contestables ». C’est votre point de vue mais je le regrette. Il me semble que les mathématiques au collège doivent au contraire être au contact avec les autres disciplines et la vie quotidienne. A mon avis, si la grande majorité de la population a un si mauvais souvenir des maths, c’est en bonne partie à cause du fait que ces liens ne leur ont pas été montrés. Et pourtant les mathématiques ont un besoin vital de ces interactions pour se développer.

              3) Quant à « Formation des profs à la recherche actuelle », je me réjouis que vous la trouviez souhaitable. Cela ne sera pas facile pour la même raison que plus haut : le manque de formation continue à l’Education Nationale, mais on peut toujours rêver... Images des Mathématiques a l’ambition de contribuer à cette formation, mais là aussi il y a des progrès à faire et le monde de la recherche ne parvient pas toujours à communiquer avec le monde enseignant. Il faut faire des progrès !

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              • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

                le 20 février 2015 à 12:47, par Clement_M

                Pour le point 2) ce que je conteste c’est la mise en pratique du lien entre la vie quotidienne et les mathématiques qui risque d’aller vers moins de mathématiques et plus d’observations ou de modélisation. Même s’il est difficile de trouver des notions postérieurs au 18ième siècle dans le programme du collège je pense que vous m’accorderez qu’il est essentiel pour les collégiens de comprendre ses notions (qui sont utiles dans la vie de tous les jours et font partie du socle commun du collège) :

                • la proportionnalité
                • un peu de statistique
                • maîtriser les fractions et le calcul en général
                • comprendre les notions de longueur, aire, volume

                Ces notions, bien que très anciennes, sont utiles à tout le monde et ne sont pas maîtrisés par tout le monde malheureusement. Il me semble un peu plus urgent de maîtriser la proportionnalité que de comprendre la géométrie des réseaux. Pour comprendre l’utilité de la proportionnalité ou des fractions, je pense qu’il n’est pas forcément nécessaire de rajouter encore plus d’exemples de la vie de tous les jours. Bien sûr, il faut expliquer que ça sert et je pense qu’on peut très facilement donner des exemples qui le montrent. Rajouter des exemples pourrait conduire à maîtriser des exemples et non pas la théorie,ce qui serait un désastre.

                Je suis tout à fait d’accord pour dire que la situation maths-infos est très difficile à décoincer car toutes les solutions que vous apportez (et qui, vu le document du ministère, ne correspondent pas à celle envisagée : faire de l’info en maths et former les profs) implique une grosse période de transition (ce qui explique pourquoi elles risquent d’être abandonnées si on ne se décide pas à agir franchement). Il est impossible de recruter/former pour l’année suivante des profs d’informatique qui rempliraient toutes les classes du collège. C’est pour cela qu’on en rajouter à petites doses (sans vraiment de formation) dans le cours de mathématiques et que cela risque de continuer dans ce sens avec peut-être dans quelques années un capes maths-infos.

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                • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

                  le 20 février 2015 à 13:24, par Étienne Ghys

                  Votre point de vue est clair et cohérent, même si je ne vois pas les choses comme vous.

                  Je n’ai bien sûr pas remis en question le fait d’enseigner la proportionnalité, un peu de statistique, le calcul des fractions etc. au collège ! Loin de moi cette idée.

                  En revanche, il me semble que même si un concept est très ancien, la manière dont on l’enseigne peut tirer profit du quotidien des élèves.

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      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 30 mars 2015 à 05:50, par Pierre Arnoux

        Juste une petite remarque : l’algorithme de recherche d’un plus court chemin dans un graphe est enseigné au lycée depuis 15 ans, comme d’autres (coloriages, chemins eulériens...). Personne ne s’en est aperçu, ce qui semble montrer que le problème n’est pas vraiment là...

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        • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

          le 30 mars 2015 à 09:24, par Étienne Ghys

          Bonjour Pierre,

          Je ne crois pas avoir évoqué le lycée dans mon texte.

          Même si on en parlait, je me demande bien combien de lycées ont enseigné « l’algorithme du plus court chemin », dans quel contexte et sous quelle forme ? Quel algorithme a été choisi par exemple ?

          Mais il est préférable de ne pas prolonger ici ce débat.

          Amitiés,

          Etienne

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 16:22, par Jérôme Gavin

    Pythagore dans une poubelle ?

    Le pauvre ... il ne mérite pas cela.

    Je vais donc le défendre un peu et en même temps défendre l’enseignement du théorème qui porte son nom.

    Pour commencer, comme le titre de l’article le montre, le théorème est aujourd’hui identifié au personnage historique et inversement pour la majorité des gens (dont vous ne faites, bien entendu, pas partie). Supprimer la présentation de ce théorème aux élèves pourrait renvoyer ce philosophe singulier aux oubliettes. Cet argument est évidemment à double tranchant.

    Ensuite, c’est un sujet apprécié par les élèves ; pas forcément pour de bonnes raisons, mais apprécié quand même.

    Je passe à deux arguments plus importants à mes yeux.

    L’un des grands intérêt du théorème de Pythagore est qu’il constitue une vérité non évidente et peut donc provoquer une envie ou un besoin de démonstration. C’est une belle occasion à ne pas manquer. Je vous rejoins donc sur l’importance de le démontrer. On peut même aller plus loin en proposant trois ou quatre preuves différentes.

    Enfin, ce théorème permet de parler d’invariance et il me semble que l’on touche ici à quelque chose de très fort en mathématiques. Tous les triangles rectangles aussi différents soient-ils ont une relation numérique simple qui concerne la longueur de leurs côtés. C’est un formidable exemple d’invariant qui en plus est spectaculaire.

    En conclusion, ce sujet permet, de mon point de vue, d’aborder gentiment des aspects importants des mathématiques et pourquoi pas, vous en êtes une preuve vivante, de susciter des vocations.

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 18 février 2015 à 17:03, par Étienne Ghys

      Très bien, le débat commence !

      Pour commencer, comme le titre de l’article le montre, le théorème est aujourd’hui identifié au personnage historique et inversement pour la majorité des gens (dont vous ne faites, bien entendu, pas partie). Supprimer la présentation de ce théorème aux élèves pourrait renvoyer ce philosophe singulier aux oubliettes.

      Je serais content que le nom de Pythagore soit identifié au personnage historique mais je crains que ça ne soit pas le cas : au mieux les élèves savent que « c’était un grec qui vivait il y a très longtemps ». Combien de professeurs ont le temps de parler un peu du philosophe ? Je pense, et je suis le premier à le regretter, que Pythagore est déjà dans une oubliette. Le pauvre !

      L’un des grands intérêt du théorème de Pythagore est qu’il constitue une vérité non évidente et peut donc provoquer une envie ou un besoin de démonstration. C’est une belle occasion à ne pas manquer. Je vous rejoins donc sur l’importance de le démontrer. On peut même aller plus loin en proposant trois ou quatre preuves différentes.

      Je vois que nous sommes d’accord. Je ne dis pas le contraire.
      On peut proposer trois ou quatre preuves. J’adore tout cela bien entendu. Cela dit, en pratique, ce n’est pas ce qui se passe.

      Mais si le professeur présente quatre preuves, il y a d’autres choses qu’il n’a pas le temps de faire. Alors, il faut choisir...

      Enfin, ce théorème permet de parler d’invariance et il me semble que l’on touche ici à quelque chose de très fort en mathématiques. Tous les triangles rectangles aussi différents soient-ils ont une relation numérique simple qui concerne la longueur de leurs côtés. C’est un formidable exemple d’invariant qui en plus est spectaculaire.

      Vous avez bien sûr raison. L’invariance est en en effet une chose très importante en mathématique (ou tout au moins dans une certaine forme de mathématiques). Mais combien de professeurs ou de manuels présentent le théorème de cette façon ?

      En conclusion, ce sujet permet, de mon point de vue, d’aborder gentiment des aspects importants des mathématiques et pourquoi pas, vous en êtes une preuve vivante, de susciter des vocations.

      Je ne suis pas convaincu que susciter des vocations de mathématiciens soit le principal enjeu de notre système éducatif :-)

      Cordialement,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 18:53, par Rémi Duluc

    Bonjour , je voudrais réagir en tant que professeur de mathématiques de lycée.

    Si il est un résultat de collège dont les élèves de seconde maitrisent l’application, c’est le théorème de Pythagore.

    Ils savent d’ailleurs pour la grande majorité distinguer le théorème de sa réciproque et pour certains parler de sa contraposée.

    Ce théorème n’est pas juste une curiosité qu’ils ne réinvestiraient plus ensuite. Il est à la base de tous les calculs géométriques dans les repères orthonormés.

    Tout d’abord, en seconde, il permet de calculer la distance entre deux points dont on connait les coordonnées dans le plan, résultat qui sera généralisé en terminale avec la géométrie dans l’espace.
    Ensuite à partir de la première, il se généralise avec le théorème d’al kashi et permet alors de donner du sens à la notion de produit scalaire.
    On le revoit lorsque l’on doit calculer les valeurs des sinus et des cosinus des angles remarquables.
    On le réinvestit aussi avec les équations cartésiennes de cercle et de sphère.
    Enfin, il apparait de nouveau pour interpréter géométriquement la notion de module d’un nombre complexes.

    Je travaille dans un lycée général et technologiques avec des filières de sciences de l’ingénieur et de science et technique industrielle. En parlant avec mes collègues de mécanique, il apparait que c’est de ce type de connaissances géométriques dont ils ont besoin (Si le produit vectoriel pouvait revenir dans les programmes, ça les arrangerait aussi). Ces notions sont indispensables à tout étudiant en section industrielle , surtout pour ceux qui espèrent réussir à maitriser un logiciel de modélisation efficacement.

    Quant à la démonstration du théorème de Pythagore, elle est présentée en collège par la grande majorité de mes collègues. C’est une démonstration d’autant plus intéressante qu’elle permet de mettre les élèves en activité sur un sujet regroupant géométrie et calcul littéral. Il est par contre bien évident que les élèves n’apprennent pas cette démonstration et l’oublient bien vite ; mais c’est un des rares résultats de collège dont la démonstration peut intéresser les élèves.

    En conclusion, tout ne va pas bien dans l’enseignement secondaire en sciences et en mathématiques en particulier.
    Il y aurait sans doute beaucoup de choses à changer. Conservons néanmoins ce qui marche avec les élèves et qui donne du sens à la suite de leur études.

    Dans les années 1960, on avait entendu « à bas Euclide ! » avec des conséquences désastreuses. Évitons « à bas Pythagore ! ».

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 18 février 2015 à 21:16, par Étienne Ghys

      Cher Monsieur,
      Merci pour votre témoignage.
      Faire évoluer les contenus des programmes n’est certainement pas une chose facile et je n’ai pas proposé une révolution ! Comment faire, alors qu’il est évident que les autres sciences ont explosé en 50 ans et qu’il est nécessaire que les maths leur laissent un peu de place, alors que les maths ont explosé depuis 50 ans et qu’il est nécessaire de faire la place aux probabilités, mais aussi à l’informatique ? Comment faire pour choisir ce que nous souhaitons enseigner, fatalement en abandonnant ceci ou cela ?

      Votre description du rôle du théorème de Pythagore dans les programmes est tout à fait pertinente, mais tout cela est interne aux programmes de maths mais ne répond pas la question « Dans quels buts enseigne-t-on cela, quels bénéfices nos élèves vont-ils en tirer dans leur vie active, au delà de leur vie scolaire ? ». Je ne crois pas me tromper en disant que, disons dix ans après le bac, une grande majorité de nos concitoyens, en gros ceux qui n’ont pas de lien avec une activité scientifique, ont oublié les théorèmes de Pythagore, les produits scalaires, les nombres complexes, etc. N’aurait-on pas pu utiliser le même temps à l’école avec plus d’efficacité ?

      Vous convenez que les élèves ne se souviennent pas de la démonstration, (quand elle leur est présentée). De mon point de vue, c’est un échec.

      Conservons néanmoins ce qui marche avec les élèves et qui donne du sens à la suite de leur études.

      C’est probablement là que nos points de vue divergent. En ce qui me concerne, je ne vois autour de moi que des gens qui n’ont plus la moindre idée de ce qu’est le théorème de Pythagore, ou qui ne se souviennent plus que de la musique... [Enfin, quand je parle des gens autour de moi, je ne parle pas de mes collègues mathématiciens !]

      Il y aurait sans doute beaucoup de choses à changer.

      A quoi pensez-vous en particulier ?

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 19:25, par Simon Billouet

    Bonjour Étienne.

    Au sujet de l’assertion « enseigner [le théorème de Pythagore] sans le démontrer n’a pas d’intérêt au collège », j’apporte un bémol. Il me semble qu’on ne m’a pas démontré le théorème de Pythagore au collège, il y a environ quinze ans. Pourtant, j’ai l’impression qu’on faisait des maths, et peut-être même pour la première fois : je me souviens de ma prof nous marteler qu’une réponse à un exercice de maths commençait par « On sait que », se poursuivait par « Or », et se finissait par « On en conclut que » (il fallait le souligner). Simplement, le théorème de Pythagore était pris comme axiome.

    Si c’est clairement dit (ce qui n’est probablement pas le cas actuellement, et même à l’époque ; ma demande à quelques camarades en 5/2 d’une preuve sans produit scalaire ou autre connaissance avancée avait conduit à une bonne heure de réflexion au fond de la classe), il n’y a pas a priori de problème.

    Pour conclure, je commence tous mes enseignements depuis 3 ans (en L1-L2) par un nuage de mots sur le thème « Qu’est-ce que les maths ? » ; le mot qui revient le plus souvent est « théorème », et nous discutons ensuite de ce qu’est un théorème, et s’ils en connaissent. Le théorème cité le plus souvent est largement Pythagore. S’il ne reste plus de théorèmes qui ont de « noms », l’exercice deviendra plus difficile ! ;-)

    Bonne soirée

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 18 février 2015 à 20:19, par Étienne Ghys

      S’il ne reste plus de théorèmes qui ont de « noms », l’exercice deviendra plus difficile ! ;-)

      En effet !

      Je suis d’accord pour le bémol proposé. Mais malheureusement ce n’est pas comme ça qu’on présente le théorème de Pythagore.

      ma demande à quelques camarades en 5/2 d’une preuve sans produit scalaire ou autre connaissance avancée avait conduit à une bonne heure de réflexion au fond de la classe

      Intéressant. Je trouve que cette observation va dans mon sens : on se retrouve dans une situation où des élèves de classes prépas en maths ne comprennent pas le théorème de Pythagore (même si, j’espère !, ils savent l’utiliser). Ben, j’espère que les ingénieurs qu’ils deviennent par la suite ne croient pas tout ce qu’on leur dit, ou qu’ils lisent dans Wikipedia, sans vérifier que c’est correct !

      Pour éviter les malentendus, je parlais du collège. A l’université, en classes prépas, je suis bien sûr pour le théorème de Pythagore !

      Bonsoir,

      Etienne

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      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 19 février 2015 à 08:10, par Simon Billouet

        Je trouve que cette observation va dans mon sens : on se retrouve dans une situation où des élèves de classes prépas en maths ne comprennent pas le théorème de Pythagore (même si, j’espère !, ils savent l’utiliser). Ben, j’espère que les ingénieurs qu’ils deviennent par la suite ne croient pas tout ce qu’on leur dit, ou qu’ils lisent dans Wikipedia, sans vérifier que c’est correct !

        Aucune des trois personnes qui assistaient à cette séance n’est devenue ingénieur ;-) Il y a un chercheur (en maths), un prof (de maths) et un entre les deux (je ne les dénoncerai pas !).

        Pour préciser un peu, c’est précisément de me rendre compte que je ne savais pas le démontrer alors que je savais que je voulais étudier les maths qui m’avait énervé. Ou plus précisément, que personne ne se souciait jamais de savoir si je savais démontrer ce genre de choses. Comme si il y avait d’une part, les maths des « petits » (la géométrie du triangle, essentiellement), et les maths des « grands », et quand on a quitté le monde des petits, c’est fini à jamais. Cette opinion, je l’ai retrouvée chez de nombreux camarades, y compris qui sont devenus professeurs de maths en collège...

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 19:37, par un passant

    Un exemple personnel d’application :

    Il y a peu, je me suis retrouvé à louer pour trois ans un viel appartement sous les toits dans lequel rien n’était droit (notamment le plafond mais pas que...). Plutôt que d’avoir des meubles de traviol qui ne s’intégreraient pas dans l’ensemble, j’ai décidé de faire moi même la bibliothèque, la penderie... Toute ma géométrie de lycée y est passé : Pythagore, Thales, un peu de trigo et même ma géométrie dans l’espace pour calculer des intersections de plan lorsque je ne pouvais m’appuyer sur aucun angle droit. Si tout cela n’avait pas déjà été familier pour moi, je pense que j’aurais laissé tomber assez vite.

    Pour être très honnête, à l’époque j’ai été moi même très surpris d’utiliser cela dans ma vie pratique, je pensais également ces choses inutiles à faire autre chose que des maths. En coupant des planches, je réalisais soudainement à quel point tout cela était élémentaire (sans devoir se plonger dans l’analyse hilbertienne). En repensant à mes cours de collège et de lycée, j’ai cherché dans mes souvenirs des tentatives (juste ça) de mes profs pour faire passer cela : macache ou peu s’en faut. Par contre sur les exercices qui tombaient souvent au brevet...

    Dans les autres disciplines, les liens avec la réalité sont souvent évidents. En maths il faut les expliquer. Il suffit de parler avec quelqu’un ayant arrêté les maths peu après le lycée pour voir que ça ne passe pas tout seul (et même en TD face à des L1 de maths...). De plus en plus, je cherche les réalisations les plus concrètes possibles pour expliquer les problèmes, les méthodes... Lorsque les élèves finissent par comprendre, j’entends parfois des choses comme « mais c’est si con que ça ? ». Comme si ça devait être compliqué... Je ne dis pas que les définitions abstraites doivent passer à la trappe, seulement qu’elles doivent être motivées et reliées à la réalité avant d’être énoncées. Il faut sans cesse motiver le savoir qu’on transmet, cela est trop souvent délaissé.

    Il est vrais cependant que ce travail n’apporte peu de résultats immédiats, il s’agit d’avantage d’entretenir l’intérêt des élèves sur le long terme. En temps court (quelques mois), on gagne à laisser la motivation de coté pour donner des exercices, en temps long, on trouve alors des élèves convaincu d’être face à une matière vide dans laquelle ils doivent rentrer mal grès tout, ce qui leur demande de plus en plus de peines. Ne voyant généralement nos élèves qu’une année d’affilée, on se démotive vite de faire un travail dont on voit peu les fruits... On n’est pas non plus dans le noir, les sourires que font les élèves en sortant du cours sont tout de même des indicateurs.

    Je me rend compte que tout cela m’a mené bien loin, ce que je voulais dire c’est simplement que le caractère pratique de la géométrie de lycée (sans même évoquer le fait qu’elle soit « simple ») justifie à mes yeux largement sa place dans les programmes, il faudrait juste que les élèves puissent en avoir conscience. Telles que les choses sont faites, on peut néanmoins jeter le théorème de Pythagore et même tout le reste qui ne profite effectivement qu’à très peu d’élèves. Cependant je ne suis pas sur qu’en faisant les choses aussi mal, on arrive à de meilleurs résultats en le remplaçant par autre chose, et surtout autre chose de plus abstrait tant en nature qu’en possibilité d’applications pour l’élève.

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 18 février 2015 à 20:28, par Étienne Ghys

      Cher passant,

      Je suis d’accord avec presque tout ce que vous dites.

      Dans les autres disciplines, les liens avec la réalité sont souvent évidents. En maths il faut les expliquer. Il suffit de parler avec quelqu’un ayant arrêté les maths peu après le lycée pour voir que ça ne passe pas tout seul (et même en TD face à des L1 de maths...). De plus en plus, je cherche les réalisations les plus concrètes possibles pour expliquer les problèmes, les méthodes... Lorsque les élèves finissent par comprendre, j’entends parfois des choses comme « mais c’est si con que ça ? ». Comme si ça devait être compliqué... Je ne dis pas que les définitions abstraites doivent passer à la trappe, seulement qu’elles doivent être motivées et reliées à la réalité avant d’être énoncées. Il faut sans cesse motiver le savoir qu’on transmet, cela est trop souvent délaissé.

      Ouep, c’est un peu ce que je disais plus haut quand j’évoquais le fait que la géométrie devrait permettre de se repérer dans le monde qui nous entoure.

      Cordialement,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 00:27, par Christophe Boilley

    Merci pour cet appel au débat salutaire.

    « Le résultat est un échec. » Cela dépend de l’objectif que l’on se donne. Oui, si l’on souhaite « apprendre à distinguer une vérité indiscutable », tout ce que nous avons obtenu, pour l’essentiel de la population, c’est que tout ce qui ressemble à des mathématiques est indiscutable. Et tout le monde ou presque se plie devant les chiffres, surtout s’ils sont suivis du symbole de pourcentage.

    D’ailleurs est-il vraiment indiscutable, le théorème de Pythagore ? Pourquoi les mathématiciens honorent-ils donc la géométrie non euclidienne ? Le théorème est déduit, certes, mais à partir de règles que l’on s’est données et dont l’arbitraire a fait couler beaucoup d’encre. Ces axiomes sont préférés parce que la géométrie qu’ils définissent concorde avec un modèle simple de la feuille de papier. Dès lors « vérifier le théorème » est tout à fait pertinent dans la démarche mathématique.

    Remplaçons donc « vérité » par « déduction » et testons les élèves sur cette compétence. Une partie d’entre eux saura reconnaitre une déduction correcte. Une autre partie commettra des erreurs, certes. Quant à ceux qui diront « je ne sais pas »... ils seront souvent dans le vrai, ce qui n’est pas complètement un échec.

    Mais prenons au sérieux la question posée dans le titre de l’article. Si l’objectif du collège n’est que de fournir ce qui sert à tous, il n’y a pas que Pythagore qui devrait faire ses valises. On pourrait aussi lui adjoindre le tracé des figures, les notions de médiatrice et de bissectrice, les propriétés relatives aux diagonales d’un parallélogramme, l’usage du rapporteur, le produit de nombres relatifs, la notation des puissances, les volumes des solides autres que le pavé droit, le PGCD, la réduction de fraction, la racine carrée, les identités remarquables, la configuration de Thalès, les sections de solides. Et encore, je n’ai fait le tri que dans ce qui était exigible dans le socle (cf. le programme officiel).

    Forts de ce rafraichissement, nous verrions arriver en classe de seconde des élèves qui auront appris à nager dans un pédiluve.

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 08:11, par Étienne Ghys

      Bonjour,

      Si l’objectif du collège n’est que de fournir ce qui sert à tous,

      Ah, je croyais pourtant. Peut-être pas tous, mais disons au moins une majorité, rassurez-moi ? Sur Eduscol on lit :

      Le « socle commun de connaissances et de compétences » présente ce que tout élève doit savoir et maîtriser à la fin de la scolarité obligatoire.

      Ne faut-il pas prendre cette phrase vraiment au sérieux ? N’est-ce pas une ambition qui a un sens ? Quitte à modifier les contenus de l’enseignement.

      Les résultats des enquêtes PISA ne sont pas bons, pour employer un euphémisme. Ces enquêtes portent sur des élèves mais je ne sais pas s’il existe des enquêtes sur les connaissances et compétences mathématiques dans la population adulte. J’imagine qu’on aurait des surprises.
      Je pense que vous résumez bien la situation :

      tout ce que nous avons obtenu, pour l’essentiel de la population, c’est que tout ce qui ressemble à des mathématiques est indiscutable. Et tout le monde ou presque se plie devant les chiffres, surtout s’ils sont suivis du symbole de pourcentage.

      En effet, je suis d’accord, et en ce qui me concerne, je considère cela comme un échec. Alors, que fait-on ? Faut-il vraiment ne rien changer, en laissant une majorité de la population passer à côté des maths ?

      il n’y a pas que Pythagore qui devrait faire ses valises. On pourrait aussi lui adjoindre le tracé des figures, les notions de médiatrice et de bissectrice, les propriétés relatives aux diagonales d’un parallélogramme, l’usage du rapporteur, le produit de nombres relatifs, la notation des puissances, les volumes des solides autres que le pavé droit, le PGCD, la réduction de fraction, la racine carrée, les identités remarquables, la configuration de Thalès, les sections de solides. Et encore, je n’ai fait le tri que dans ce qui était exigible dans le socle

      Pour le coup, je serais moins sévère. Dans la liste ci-dessus, il faut faire le tri et en examiner les éléments un à un. Le nouveau socle va-t-il répondre aux attentes ?

      Remplaçons donc « vérité » par « déduction » et testons les élèves sur cette compétence. Une partie d’entre eux saura reconnaitre une déduction correcte. Une autre partie commettra des erreurs, certes. Quant à ceux qui diront « je ne sais pas »... ils seront souvent dans le vrai, ce qui n’est pas complètement un échec.

      Je serais assez d’accord avec ça. Raisonner, déduire etc.

      D’ailleurs est-il vraiment indiscutable, le théorème de Pythagore ? Pourquoi les mathématiciens honorent-ils donc la géométrie non euclidienne ? Le théorème est déduit, certes, mais à partir de règles que l’on s’est données et dont l’arbitraire a fait couler beaucoup d’encre. Ces axiomes sont préférés parce que la géométrie qu’ils définissent concorde avec un modèle simple de la feuille de papier. Dès lors « vérifier le théorème » est tout à fait pertinent dans la démarche mathématique.

      Je ne peux qu’être d’accord puisque j’ai eu l’occasion de dire des choses semblables.

      Finalement, je pense que nous sommes d’accord sur les constatations mais moins d’accord sur les conclusions à en tirer.

      Bonne journée,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 10:27, par Gaston Rachlou

    « les mathématiques sont l’un des moyens de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables »

    Quels sont les autres moyens ?

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 11:48, par Étienne Ghys

      La physique, la chimie, la biologie, les sciences de la Terre. Les sciences en général.

      La géographie, une bonne partie de l’Histoire. Une partie des sciences humaines.

      J’irais même jusqu’à proposer une partie de la philosophie, mais je pense que tout le monde ne sera pas d’accord :-)

      Les mathématiciens ne sont pas propriétaires de la notion de vérité.

      Et je ne parle pas d’autres vérités révélées dont certains considèrent qu’elles sont indiscutables ! Passons sur celles-là :-)

      Cordialement,

      Etienne Ghys

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      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 23 février 2015 à 13:13, par Gaston Rachlou

        La physique, pour ne parler que d’elle, n’est pas un « moyen de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables », c’est un discours descriptif, explicatif, prédictif concernant la nature, dont la partie « indiscutable » est ... mathématique !

        Les textes de Newton sur la physique, par exemple, ne sont pas constitués que de « vérités indiscutables » ; Einstein les a génialement « discutés ». Ils n’en restent pas moins de grands textes de physique, toujours pertinents aujourd’hui.

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        • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

          le 23 février 2015 à 17:00, par Étienne Ghys

          Je continue à penser que le mot « vérité » n’est pas la propriété des mathématiciens.
          Le sens que les mathématiciens donnent à ce mot est très particulier.

          En revanche, je reconnais volontiers que le mot « indiscutable » que j’ai employé n’était certainement pas approprié. En effet, on peut toujours discuter et remettre tout en question, y compris en maths. D’une part, certaines erreurs peuvent passer inaperçues pendant longtemps et être perçues comme des vérités, comme par exemple celles que je décris dans cet article. D’autre part, le concept même de vérité mathématique ne doit pas être confondu avec celui de démontrabilité. Sans parler des axiomes dont certains sont très « discutables » et d’ailleurs très discutés.

          Je pense aussi qu’il y a en physique des vérités qui ne sont pas mathématiques.
          Par exemple, pour connecter avec le débat sur Euclide et Pythagore, le fait que le monde qui m’entoure, à petite échelle, disons à l’échelle de mon salon et avec une précision d’un micron, est régi par la géométrie euclidienne est un fait physique, expérimental, qu’aucune méthode mathématique ne pourra jamais justifier.

          J’aime bien ce livre Truth in science, the humanity and religion.

          Deux citations :

          D’un mathématicien pur, Hardy 1928 :
          « Les preuves sont du verbiage, fleurs de rhétorique conçues pour impressionner les étudiants, pour stimuler l ’imagination des élèves ».

          D’un physicien, Feynman : « A great deal more is known than has been proved ».

          Donc, vous avez raison, je n’aurais pas dû écrire « indiscutable ».

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          • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

            le 25 février 2015 à 08:16, par Gaston Rachlou

            Au contraire, « indiscutable » est le mot le plus intéressant de votre article. Le mot « vérité » est tellement malmené, quotidiennement et partout, qu’il faudrait lui offrir quelques vacances bien méritées.

            Je propose une définition des mathématiques : recherche de l’indiscutable par ... la discussion !

            Mais nous nous nous éloignons de Pythagore et des poubelles... Merci en tout cas pour vos articles et bravo pour votre talent de « lanceur de débat ».

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 13:05, par Cédric Villani

    Non pour alimenter le debat, mais pour illustrer une facette de la question, voici un extrait d’un joli temoignage recu il y a quelque temps par courrier electronique.

    "(...) J’ai été un bon élève en mathématiques ce qui m’a conduit à obtenir le Bac C il y a maintenant près de 40 ans. Mon père a commencé à travailler à 13 ans après avoir obtenu le Certificat d’études. Il était peintre en bâtiment. Pendant mes années de lycée, j’ai vécu une sorte de césure entre son monde à lui et le monde auquel l’enseignement m’ouvrait. Rien que de très banal pour un adolescent mais c’est là que le théorème de Pythagore intervient.

    Je travaillais avec mon père sur un chantier pendant l’été pour gagner un peu d’argent de poche. Un jour, je le vis utiliser son double-mètre pliant, mesurer, à partir de l’angle de deux murs, 40 cm d’un côté et 30 cm de l’autre, puis vérifier que les deux points obtenus étaient distants de 50 cm. Je lui demandai de m’expliquer ce qu’il venait de faire. Il me répondit qu’il s’assurait que les murs étaient bien à angle droit. Je lui dis qu’il utilisait le théorème de Pythagore en pensant à la prose de Monsieur Jourdain. Ce fut un moment magique, un pont entre nous."

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 17:38, par Étienne Ghys

      Très belle histoire en effet... d’il y a quarante ans.

      Je ne dis pas qu’une telle histoire ne peut pas se reproduire aujourd’hui, mais ce n’est qu’un exemple.

      Etienne

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  • Faut-il jeter la démonstration à la poubelle ?

    le 19 février 2015 à 14:50, par Philippe Colliard

    Bonjour Monsieur,

    Après 35 ans de collège, il me semble que votre article déplace le débat : l’essence même de la géométrie, au collège, ne serait-elle pas tout simplement la démonstration ?
    Alors, certainement, puisque le théorème de Pythagore y est rarement démontré, pourquoi ne pas le jeter à la poubelle - et cela d’autant plus qu’aucune démonstration de niveau collège ne pourrait être absolue, puisqu’elles portent toutes (à ma connaissance) sur les aires et s’appuient implicitement sur les nombres réels ?

    Mais jeter les démonstrations à la poubelle, c’est donner raison aux manuels scolaires, c’est leur ouvrir un boulevard encore plus large dans les établissements publics... C’est avant tout, à mon sens, renoncer à enseigner.

    Comme de nombreux profs, j’amène mes élèves à démontrer le théorème de Pythagore en quatrième, et ils se prennent au jeu, se passionnent... Oui, même les « mauvais ».
    Tout au long de l’année, théorème après théorème, leur raisonnement se structure.

    Votre temps est précieux, je ne voudrais pas en abuser - et j’admire que vous répondiez ainsi à de nombreux commentaires.

    Je serais cependant très heureux que vous preniez le temps de lire le court article « Démontrer : l’exemple du théorème de Pythagore », que vous trouverez ici : http://mathemagique.com/pour-ebauches.html

    Je serais encore plus heureux que vous perdiez quelques minutes supplémentaires à découvrir le livre « ... Donc, d’après... ». Vous avez écrit à l’un de mes amis que vous n’étiez pas favorable à l’approche axiomatique de la géométrie. Ne vous laissez pas abuser par la couverture : bien au-delà de la construction axiomatique, ce livre est un hymne à la démonstration, et vous permettra de vérifier qu’il existe au moins un livre, niveau collège, qui prend la démonstration au sérieux…
    Il est vrai que ce n’est vraiment pas un manuel !

    Pour en finir, je vous prie d’excuser l’indélicatesse avec laquelle je me permets de citer ici mes travaux. Croyez bien que ce n’est nullement pour en « faire la pub », mais uniquement pour étayer mon commentaire.

    Très respectueusement,

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    • Faut-il jeter la démonstration à la poubelle ?

      le 19 février 2015 à 17:58, par Étienne Ghys

      Cher Monsieur,

      Ces nombreux commentaires vont me forcer à me répéter ! Je suis tout à fait favorable aux démonstrations au collège. Bien entendu avec modération, et sans chercher une rigueur absolue, qui de toutes façons serait inaccessible au collège. J’ai ajouté que les sciences, les mathématiques, et la géométrie en particulier, ont explosé depuis 50 ans et qu’il ne serait pas déraisonnable que les contenus de ce qu’on enseigne en mathématiques, et en particulier en géométrie, évoluent un peu. La géométrie d’aujourd’hui n’est plus celle d’hier.

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 17:55, par Marie Lhuissier

    Je ne vais pas vraiment rentrer dans le débat sur ce qu’il est plus pertinent d’enseigner en mathématiques au collège, parce que je n’ai pas d’avis là-dessus. Ce sur quoi je voudrais rebondir, c’est sur le fait de juger un enseignement à ce que les élèves en retiennent.

    Évidemment que tout le monde oublie le théorème de Pythagore et sa démonstration ! Mais ce n’est pas parce que ça a trop peu de lien avec notre réalité... on oublie tout aussi bien la structure de l’atome et les étapes de la division cellulaire, les évènements historiques du XXe siècle et les rudiments d’optique. Je crois que la plupart des gens se souviennent très peu de ce qu’ils ont appris à l’école, et je crois que ce n’est pas grave.
    Ce qui est bien, c’est quand ils sortent de l’école en ayant une assez bonne idée du genre de connaissances qui existent, en sachant chercher l’information et apprendre, et surtout en ayant confiance dans leurs capacités d’apprentissage.

    Qu’en gros, si un jour ils ont envie de comprendre pourquoi la Lune croît et décroît tous les mois, ils puissent trouver un texte bien écrit expliquant le phénomène et qu’ils n’aient pas peur de le lire. Sûrement, on leur a déjà expliqué le phénomène au collège, mais comment retenir une réponse à une question qu’on ne s’est pas encore posée ?
    Pour récapituler, je ne crois pas que le rôle de l’école soit de produire des adultes qui ont une bonne culture générale (dont scientifique), mais des adultes qui savent chercher l’information, qui savent apprendre, et qui savent qu’ils peuvent apprendre. Je ne m’inquiète pas trop pour la ministre, qui a probablement les moyens d’apprendre ce qui l’intéresse et ce dont elle a besoin.

    (Cela ne répond absolument pas à la question : quelles sont les mathématiques que l’on devrait enseigner à l’école ?)

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 18:14, par Étienne Ghys

      Chère Marie,

      Je suis complètement d’accord avec

      je ne crois pas que le rôle de l’école soit de produire des adultes qui ont une bonne culture générale (dont scientifique), mais des adultes qui savent chercher l’information, qui savent apprendre, et qui savent qu’ils peuvent apprendre.

      Mais je le suis beaucoup moins avec ton affirmation que « ce n’est pas grave si la plupart des gens se souviennent très peu de ce qu’ils ont appris à l’école ». Un peu démoralisant pour les enseignants ?

      (Cela ne répond absolument pas à la question : quelles sont les mathématiques que l’on devrait enseigner à l’école ?)

      En effet, ça ne répond pas à la question qui est pourtant centrale à un moment où nous devons réfléchir à l’arrivée de l’informatique, à la place des probabilités et des statistiques, au rapport entre les maths et les autres sciences, et les autres disciplines en général, etc. Justement ne devrait-on pas choisir ce qu’on enseigne en fonction du critère dont tu parles « apprendre à chercher l’information, apprendre à apprendre etc. » Il nous faut déterminer ce qui va dans ce sens dans les programmes de maths, et de géométrie en particulier. Je pense que comprendre la démonstration du théorème de Pythagore peut être utile dans le sens que tu suggères, mais qu’apprendre par cœur son énoncé ne va pas dans ton sens.

      Etienne

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:34, par flandrin

    Bonjour,
    Faut-il enseigner la relation de Pythagore ? Je pourrai rajouter aussi le théorème de Thales et la trigonométrie.
    Il y a plusieurs réponses possibles.
    La plupart des personnes n’utiliseront pas ce théorème dans leur vie quotidienne et l’auront sûrement oublié.
    Certaines personnes pourront l’utiliser dans leur métier ou pour du bricolage quand des mesures seront nécessaires.
    Pour des élèves de première et terminale S ce sera l’occasion d’ expliquer que la démarche mathématique consiste à généraliser une notion : produit scalaire, module d’un nombre complexe.
    Enfin dans l’enseignement supérieur cette notion sera étendue avec les espaces préhilbertiens.
    D’autre part il est nécessaire d’initier les élèves du collège à la démonstration sous la forme :"Je sais.....
    D’après la propriété ......En conclusion...... "
    Parmi les élèves du collège il y en aura qui feront des études de mathématiques et il est nécessaire que les habitudes de raisonnement et de rédaction soient enseignées tôt.
    En conclusion même si le théorème de Pythagore est oublié ,il aura contribué à la formation intellectuelle d’un élève.

    Répondre à ce message
    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 19:11, par Étienne Ghys

      Cher Flandrin,

      Merci pour votre message. J’ai l’impression que la discussion s’éloigne de la question que j’ai posée initialement. Mon but est de discuter du collège, dont je rappelle qu’il est un « collège unique » dans notre pays (même si, bien entendu, on peut le regretter, mais ce n’est pas le débat du moment). Je ne pense pas qu’il soit souhaitable de proposer au collège des programmes qui visent « les élèves qui feront des études de mathématiques » car cela reviendrait à laisser la majorité sur le bord du chemin. Cela ne veut pas dire qu’il ne faut pas s’occuper de ces élèves intéressés par les science et je suis un grand fan par exemple de Maths en Jeans ou des autres associations, clubs, journaux etc. qui permettent aux élèves intéressés d’aller plus loin. J’espère que l’éducation nationale fera ce qu’elle a annoncé et soutiendra ce genre d’activités.

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 19:04, par Raphaël Andere

    Avec une accroche aussi provocatrice, pas étonnant qu’il y ait autant de réactions. Y compris la mienne, du coup, ma première sur ce site que je suis régulièrement, un peu obligé en tant que prof de maths en collège (et donc « coupable » mais non responsable d’enseigner ce fameux théorème)

    J’avoue que j’ai moi aussi le goût pour les grandes remises en questions, pour « désacraliser » tel ou tel élément du programme de maths. Celui-ci a perdu, au fil des réformes, en technicité, mais gagné en diversité. Au risque d’être en décalage avec la majorité de mes collègues, je ne trouve pas que cela soit un mal.

    Comment comprendre le monde d’aujourd’hui sans un minimum de statistiques, un minimum de probabilités, un minimum d’algorithmique, un minimum de graphes ? Et si on fait entrer ces thèmes dans un enseignement qui a perdu en quantité horaire, il faut en faire sortir d’autres choses. D’autant que le contenu des programmes de maths reste à mon avis l’un des plus intensifs et exigeants de toutes les matières enseignées au collège.

    Du coup, pour résumer mon propos, je dis souvent « supprimons Thalès ». Pas Pythagore. Pourquoi ? Parce que ce bon vieux Pythagore me sert, à moi, prof de maths, à plein de choses :

    • A parler de racines carrées, et donc, de nombres irrationnels.
    • A montre que les maths peuvent servir à dissiper une « illusion d’optique » (le triangle 4-8-9 n’est pas rectangle)
    • A comprendre, plus tard, la distance entre deux points.
    • A achever de décloisonner « la partie calcul » et « la partie géométrie »
    • A être, en début de 4e, un théorème de passage entre une géométrie pratique à une géométrie de la démonstration

    Donc oui pour supprimer des choses, dépoussiérer les maths du collège et leur géométrie, mais pas forcément en commençant par Pythagore...

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 19:23, par Étienne Ghys

      Répondre à tous ces messages intéressants...

      Avec une accroche aussi provocatrice, pas étonnant qu’il y ait autant de réactions.

      Tant mieux, c’est ce que je recherchais, comme je l’ai indiqué dans la première ligne de mon petit texte...

      Du coup, pour résumer mon propos, je dis souvent « supprimons Thalès ». Pas Pythagore. P

      La question est délicate et vous avez peut-être raison. Pour être honnête, j’avais hésité entre Pythagore et Thalès...

      Le problème avec Thalès est qu’on ne peut pas le démontrer, sauf en trichant :-) OK si AB/AC est rationnel, on le montre, mais si c’est irrationnel, il faut bien un passage à la limite, des idées sous-jacentes de continuité etc... A mon époque, les manuels passaient tout cela pudiquement sous silence et faisaient croire qu’il s’agissait d’une démonstration.

      Donc oui pour supprimer des choses, dépoussiérer les maths du collège et leur géométrie, mais pas forcément en commençant par Pythagore..

      OK, discutons de tout cela.

      Mais je retiens votre soutien au principe !

      Cordialement,

      Etienne Ghys

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      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 20 février 2015 à 14:02, par Samuel

        Thalès, c’est quand même un moyen superbe pour illustrer la proportionnalité géométriquement, par exemple en faisant découper un segment trois parties égales à partir d’un segment unité.

        Répondre à ce message
        • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

          le 20 février 2015 à 14:05, par Étienne Ghys

          En effet, c’est superbe. Je ne pense pas avoir dit le contraire ?

          Répondre à ce message
          • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

            le 20 février 2015 à 14:32, par Samuel

            Si c’est beau et faisable, alors on garde !

            Répondre à ce message
            • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

              le 20 février 2015 à 15:23, par Étienne Ghys

              Ah si on pouvait garder toutes les belles choses au programme !

              Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 19:58, par Philippe Colliard

    " La question est délicate et vous avez peut-être raison. Pour être honnête, j’avais hésité entre Pythagore et Thalès...

    Le problème avec Thalès est qu’on ne peut pas le démontrer, sauf en trichant :-) OK si AB/AC est rationnel, on le montre, mais si c’est irrationnel, il faut bien un passage à la limite, des idées sous-jacentes de continuité etc... A mon époque, les manuels passaient tout cela pudiquement sous silence et faisaient croire qu’il s’agissait d’une démonstration."

    Mais on triche de la même façon avec le théorème de Pythagore : les côtés d’un triangle peuvent être irrationnels, et s’il est simple de démontrer que l’aire d’un carré de côté rationnel a est a2, comment l’étendre à l’aire d’un carré de côté irrationnel sans passer par les limites, etc. ?
    Les mêmes manuels n’en parlaient évidemment pas non plus :)

    Très cordialement

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 20:36, par Étienne Ghys

      Bonsoir,

      Je ne crois pas que ce débat soit le lieu de discuter des diverses démonstrations de Pythagore (et je n’aurais pas dû commenter la « démonstration » de Thalès). Il y a trop de démonstrations et la marge de cette page html ne suffit pas à les décrire toutes ;-) Cela dit, on peut très bien énoncer le théorème de Pythagore sans l’exprimer sous la forme $AC^2=AB^2+BC^2$ c’est-à-dire en utilisant le carré des longueurs, vues comme des nombres réels. Euclide l’exprime en termes d’aire : l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est la somme des aires des deux carrés construits sur les côtés. Vu de cette façon, le fait que les côtés aient des longueurs rationnelles ou pas n’intervient pas dans la démonstration. Mais encore une fois, ce n’est pas le lieu de discuter de tout cela.

      Cordialement,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 20 février 2015 à 12:45, par Barbara Schapira

    Cher Etienne,

    J’imagine que je vais être redondante avec certains commentaires. Evidemment, c’est épidermique dans tous les commentaires, le mien y compris, pauvre Pythagore !

    D’abord, un petit lien extrait de la revue de presse d’octobre dernier, qui m’avait grandement réjouie quand je l’ai découvert : Pythagore au moyen-age, ou comment tracer un angle droit sans connaitre la moindre once de maths, grace à une corde à noeuds.

    http://www.auxerretv.com/content/index.php?post/2014/09/03/Le-cours-de-math-de-la-rentr%C3%A9e-dans-l-Yonne

    Par ailleurs, je rejoins les commentaires soulignant l’aspect pratique évident du théorème, dès qu’on bricole dans des endroits tordus (une intersection de pans de toits bizarres au fond d’un grenier) et qu’on a besoin de tracer un angle droit. On a épaté un petit jeune sorti de l’école avant la fin du collège, qu’on avait embauché pour nous aider à bricoler dans le dit grenier. C’était trop de la balle, pour lui, de découvrir Pythagore...

    Pour revenir à ton article de départ, je suis entièrement d’accord que les programmes peuvent être dépoussiérés, refondus, repensés, et la géométrie avec. Et qu’il faut supprimer des choses si on veut faire de la place à l’info, la bio, ...

    En revanche, je suis en désaccord total avec l’idée que tout ce qu’on apprend au collège doit être utile à tou-te-s. Je trouve que l’enseignement doit ouvrir des portes, des fenêtres sur des pans de connaissances et d’applications des dites connaissances. Et qu’à ce titre,
    il est légitime de présenter un peu de géométrie euclidienne élémentaire, avec les démos, pour donner une chance aux enfants d’aimer les maths. En plus, le fait
    que Pythagore soit un concentré à la fois de belles maths et d’utilité potentielle ne peut que le justifier.
    Evidemment, je ne suis pas objective, j’ai fait des maths grâce à (à cause de ?) la géométrie de collège.

    Néanmoins, je pense qu’on oublie tou-te-s plein de choses de ce qu’on a appris, que c’est une nécessité pour faire de la place dans notre cerveau, mais qu’on a besoin de découvrir plein de choses pour en aimer certaines.

    Un dernier argument pour défendre le pauvre Pythagore. Je pense qu’il faut, dans une société démocratique, que les citoyens maitrisent infiniment mieux qu’aujourd’hui les outils de stats descriptives que les journalistes ignorent si souvent. A ce titre, maitriser les bases de la géométrie euclidienne ne me semble pas délirant ni superflu.

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 20 février 2015 à 13:11, par Étienne Ghys

    Chère Barbara,

    Pour revenir à ton article de départ, je suis entièrement d’accord que les programmes peuvent être dépoussiérés, refondus, repensés, et la géométrie avec. Et qu’il faut supprimer des choses si on veut faire de la place à l’info, la bio, ...

    Très bien, alors entrons dans les détails. Selon toi, que faudrait-il dépoussiérer ? Que faut-il supprimer ?

    Sur le fait qu’il soit légitime d’oublier des choses, je suis bien sûr d’accord. Mais de là à trouver normal que nos concitoyens oublient presque tout ce qu’on leur a enseigné en maths, c’est peut-être un peu trop non ?

    Crois-tu qu’enseigner le théorème de Pythagore comme une boîte noire, sans preuve, comme une recette, ouvre des portes pour employer ton expression ?

    Qu’il soit légitime d’« enseigner un peu de géométrie euclidienne élémentaire, avec les démos », je suis d’accord, je n’ai pas écrit autre chose,
    avec les démos
     :-)

    Amitiés,

    Etienne

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 20 février 2015 à 14:50, par Arnaud Lionnet

    Bonjour,

    Juste une réflexion ou deux, sans forcément répondre beaucoup aux questions posées.

    Dans ce débat, sur la pertinence du théorème de Pythagore au collège, il y a la question sous-jacente et fondamentale de ce que l’Ecole doit enseigner dans sa globalité, du rôle de l’Ecole dans la société.

    Faut-il que l’enseignement (en maths ?) se raccroche au réel (pour accrocher les élèves) ? Faut-il qu’il soit utile, et à tous, dans la vie quotidienne ? Faut-il avant tout former des citoyens au raisonnement et au sens critique ? Il y a aussi la question de l’apprentissage indirect quand on enseigne un contenu X, tout ce qui n’est pas strictement X mais qui rentre quand même. Le commentaire de Marie Lhuissier et d’autres vont dans ce sens. Le fait que les gens se souvienne de X en particulier est-il le plus important ?

    Le débat sur l’enseignement de Pythagore (ou des maths) n’est pas vain tant qu’on a pas répondu à cette question, mais il est à mon avis bien de l’avoir à l’esprit.
    Car chacun a ses réponses, et argumente de prémices différentes. Un peu comme discuter sur la somme des angles d’un triangle sans s’accorder sur la géométrie dans laquelle on se place. Bien sûr, on n’aura probablement jamais un consensus sur la question fondamentale. Et on n’aura probablement jamais, sauf bouleversement majeur dans la société, une refonte complète de l’Ecole.
    En attendant, il faut probablement quand même avancer, et ce donc (fatalement ?) par continuité et modifications locales. Mais à mon avis on gagne à indiquer en marge des choix faits les raisons fondamentales qui les guident.

    Sur le cas particulier du théorème Pythagore, ce que je trouve le plus intéressant c’est qu’il semble y avoir un décalage entre d’une part ce que disent les programmes et les manuels (« propriété » de Pythagore, sans preuves) et ce que semblent faire les prof de collège (cf interventions de Philippe Colliard et Raphaël Andere entre autres). Y a t’il un (petit ?) groupe de profs qui résistent encore et toujours à la dilution du sens des programmes ? Voilà au moins une bonne nouvelle. Enfin, c’est mon avis.

    Arnaud.

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 20 février 2015 à 18:05, par Étienne Ghys

      Merci pour ce message qui sonne un peu comme une synthèse du débat.

      Il est peut-être temps en effet de clore cette discussion.

      Je vais tenter de le faire tout de suite.

      Cordialement,

      Etienne Ghys

      Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 20 février 2015 à 17:30, par Philippe Colliard

    « Sur le cas particulier du théorème Pythagore, ce que je trouve le plus intéressant c’est qu’il semble y avoir un décalage entre d’une part ce que disent les programmes et les manuels (« propriété » de Pythagore, sans preuves) et ce que semblent faire les prof de collège (cf interventions de Philippe Colliard et Raphaël Andere entre autres). Y a t’il un (petit ?) groupe de profs qui résistent encore et toujours à la dilution du sens des programmes ? »

    Merci Arnaud :)

    ... Mais... Qui résistent, qui résistent ?
    Parfois, c’est difficile :
    voulez-vous jeter un coup d’oeil à cet article ?

    (Vous ne m’en voudrez pas pour le lien... Qui confortera vraisemblablement Etienne Ghys dans l’opinion un peu passéiste qu’il a de moi ?)

    Bonne soirée à tous, et un merci très sincère à E.G. pour ce débat :)

    Répondre à ce message
    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 20 février 2015 à 18:05, par Étienne Ghys

      Merci !

      Etienne Ghys

      Répondre à ce message
    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 14 mai à 20:54, par Mateo_13

      Bonjour,

      un nouveau livre va bientôt paraître, du même style que le précédent, sur le cycle 4 des collèges, dont vous trouverez un extrait ici :
      http://mathemagique-com.blogspot.com.es/2016/05/alea-jacta-est.html

      Amicalement,
      — 
      Mateo.

      Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 20 février 2015 à 18:14, par Étienne Ghys

    UNE SYNTHESE

    Débattre sur un forum n’est pas facile. Fatalement, le fil de la discussion s’envole et on en oublie la direction initiale.
    Au bout d’un certain temps, les arguments des uns et des autres se brouillent.

    Je pense qu’il est temps ce clore ce forum. Alors je vais tenter une synthèse de ce que je crois avoir compris.

    Merci à tous ceux et à toutes celles qui ont bien voulu partager leurs points de vue.

    1/ D’abord, je m’y attendais, et mon titre provocateur n’y est pas pour rien, presque tous les commentaires reçus contenaient une réaction quasi-épidermique « touche pas à mon Pythagore ! ».
    C’est qu’on l’aime bien le Pythagore de notre enfance. Je comprends parfaitement cela et je peux garantir que, comme je l’écrivais dans mon texte, je suis aussi un grand admirateur de la géométrie euclidienne et en particulier du théorème de Pythagore.

    2/ Très clairement, mon titre était une interrogation et je ne m’engageais pas sur le sort qu’il faudrait donner à notre illustre philosophe. En revanche, j’écrivais que le théorème de Pythagore au collège devrait être indissociable de sa démonstration (ou d’une de ses démonstrations). Aujourd’hui, sauf si je me trompe, le programme officiel ne mentionne pas la démonstration. Heureusement, certains professeurs décident de présenter ces démonstrations, ce dont je me réjouis. J’ai l’impression qu’il y a eu consensus sur ce point : il faut démontrer le théorème (même si, nous le savons bien, en regardant dans les détails, les « preuves » en question n’en sont pas vraiment et elles contiennent un certain nombre d’implicites).

    3/ Certains d’entre vous ont pensé (en extrapolant très largement mon propos) que je proposais de supprimer la géométrie au collège. Ce n’est bien sûr pas ce que j’ai écrit. J’ai proposé (en ajoutant que c’est discutable) de compléter en cherchant quelques autres aspects de la géométrie contemporaine, plus proches du quotidien des élèves. Pas beaucoup de succès de ce côté :-)

    4/ Le débat plus profond, et bien plus délicat, consiste à savoir si ce qu’on enseigne au collège devrait être destiné à tous les élèves et s’il est normal qu’un élève oublie ce qu’il a appris au collège lorsqu’il est dans la vie active. Certains pensent que ce n’est pas grave d’oublier des choses, voire beaucoup de choses, si ça permet d’apprendre d’autres choses. En ce qui me concerne, je pense qu’il est en effet tout à fait normal d’oublier certaines choses, mais quand même pas tout !

    5/ Un autre aspect de la discussion concerne le rapport que les maths du collège doivent entretenir avec les autres sciences et avec le quotidien des élèves. Sur ce point, je n’ai pas vu de convergence :-(

    6/ Enfin j’aurais aimé que les défenseurs du théorème de Pythagore donnent leur opinion sur la manière dont ils voient un programme de maths au collège lorsque l’informatique aura fait son apparition. Je n’ai lu aucune suggestion allant dans ce sens. En nous limitant à la géométrie du collège, cela signifie peut-être que les personnes qui se sont exprimées sont satisfaites par la situation actuelle ? Il me semblait que le défi posé par l’informatique à l’enseignement en collège mériterait une discussion plus approfondie. On y reviendra plus tard peut-être, dans un autre débat ?

    Merci encore,

    Longue vie au théorème de Pythagore :-)

    PS : Mon frère m’a fait un bien joli cadeau cette semaine : une réédition de la version de Byrne des éléments d’Euclide (1847). Il s’agit de présenter les 6 premiers livres d’Euclide sans utiliser de lettres pour les triangles, les segments etc. Tous les éléments des figures sont colorés et le texte est en couleurs. Au lieu de dire « le triangle ABC », il est écrit « le triangle » et c’est suivi par un petit triangle coloré. C’est très beau et facile à lire. J’ai toujours eu du mal à trouver les points PQR dans une figure compliquée et ça rend ma lecture difficile, alors que mon œil détecte tout de suite le triangle bleu. Un livre de géométrie haut en couleurs. Bien sûr le théorème de Pythagore orne la couverture, en bleu, jaune, rouge et noir. Magnifique...

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 21 février 2015 à 11:24, par Pierre Gallais

    Bonjour à vous tous,

    Pour rire un peu :-)... mais ça arrive un peu tard puisque la porte du forum se ferme... peut-être qu’elle ne joint pas bien et que j’arriverai à me glisser.

    Comme proposition plastico-mathématique du théorème de Pythagore j’avais proposé de la faire démontrer (vérifier plutôt) par des lapins. Au printemps chez mes parents on sortait les lapins de leur clapier et on les mettait « au vert » dans un parc que l’on déplaçait sur l’herbe. Je trouvais cela assez émouvant de les voir gambader et passais du temps à les regarder. Par ailleurs j’ai toujours trouvé agréable « esthétiquement » l’image construite avec les trois carrés placés sur les côtés du triangle 3 x 4 x 5.

    Proposition : Plaçons trois parcs 3 x 4 x 5. Mettons y 9, 16, 25 lapins (identiques ! :-)). On verra bien si chacun des parcs est totalement brouté dans le même temps ! La proposition artistique n’a pas été retenue et je n’ai donc pas pu vérifier.

    Ceci n’est qu’un clin d’œil mais pas si décalé car c’est bien souvent ainsi que jeune (et encore) j’ai aimé les mathématiques... et qu’elles m’ont fait rêver.

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 22 février 2015 à 20:25, par Étienne Ghys

      Un lapin solitaire dans un mètre carré broute-t-il à la même vitesse que deux lapins dans deux mètres carrés ? Pas clair pour moi.

      Bonsoir,

      Etienne

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 22 février 2015 à 12:20, par Olivier Courcelle

    Pythagore à la poubelle, passe encore, mais Led Zep en reggae, franchement ;-)

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 22 février 2015 à 19:22, par Étienne Ghys

       :-)

      Etienne

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 22 février 2015 à 18:31, par Jean AYMES

    Ah ! les programmes scolaires, voilà bien une obsession française …
    Merci d’abord, chaleureusement merci, pour ce texte, fenêtre ouverte, c’est bien d’apprendre !

    « A bas Euclide ! » c’était écrié Jean Dieudonné en 1959 ; propos qu’il tempéra par la suite. « Mise à la poubelle », est plus rassurant, il y a éventualité de récupération de déchets !

    Cette question de mise à la poubelle est provoquante, elle en soulève bien d’autres …

    Comment ? Avec qui ? Quoi ? Pour quoi ? Quand ? Pour qui ?

    Je me suis trop pris au jeu. C’est un texte long, non « moderne », désolé.

    Depuis 1965 combien de changements de pente pour la courbe des programmes de Mathématiques ?
    Une fois, essentiellement, une rupture en effet … avec un fâcheux bilan, longuement analysé par la suite :

    • de là peut-être un sentiment qu’ « on a déjà donné ! »
    • comment s’est-il fait qu’une telle transformation, pensée en commission (!) se soit traduite par un échec radical de mise en œuvre ?
    • récitaient-ils ces professeurs à qui on a enjoint d’enseigner ce qui était « moderne » ?
    • comment le savoir enseigné est-il lié au savoir savant ?

    Dans le comment, interrogeons l’organisation institutionnelle.
    L’histoire de certaine sociologie de la chose depuis 50 ans n’est pas sans intérêt. Par exemple, on a connu des moments où telle orientation disons « un peu trop princière » a du être tempérée en faisant appel à l’Académie des Sciences ! Sorte d’arbitre en l’occurrence … d’où par la suite émergea l’ossature de la géométrie actuellement enseignée au Collège, euclidienne donc.
    Sans oublier que, dans ce pays, changement politique implique réforme scolaire !
    On en est venu à des organisations un peu plus partenariales, maintenant le Conseil National des Programmes et son émanation pour les disciplines.
    Tout bien pesé, d’une certaine manière ce désastre de la phase « moderne » n’a-t-il pas révélé cet impératif d’organisation de la préparation et de la décision ? Une profesionnalisation.
    Alors cette construction collective n’induit-elle nécessairement pas un lissage des décisions ? Consensus oblige … d’autant plus que le débat « programmes scolaires » peut difficilement être pensé dans une tour d’ivoire.
    Par ailleurs, nous questionne ce que soulignait Emile Borel « Tout changement des programmes doit nécessairement échouer, ou du moins avoir des apparences d’échouer, par la simple raison que la masse des professeurs ne peut arriver du premier coup à une technique pédagogique aussi bonne pour les matières nouvelles que la technique traditionnelle l’était pour les anciennes. Mais la contre partie de cette constatation pessimiste n’est pas moins exacte : s’il est vrai que l’essentiel de l’enseignement est moins le programme que la méthode, tout changement de programmes doit en définitive donner de bons résultats, après que l’on aura su créer les méthodes nouvelles appropriées aux matières nouvelles. »
    Avons-nous le corps enseignant propre à porter le combat nouveau ? Sinon, comment l’obtenir ? le former ?
    D’autant qu’aujourd’hui, le corps enseignant n’est plus celui de 1920 ou pas plus celui du général De Gaulle !
    Dans un tel mouvement la prise en compte d’un rythme, peut-elle inclure des anticipations ? se pourrait-il que préparer endigue le subir ? (ici il s’agit des professeurs).
    On n’a connu qu’en de très rares cas, la mise en œuvre de cette idée qui voudrait qu’on expérimente avant de décider. Est-ce une utopie ? Ou bien un luxe ?
    Est-il possible que l’exécutant – le professeur - puisse mieux comprendre ce qu’on attend de lui ? Cette compréhension n’est-elle pas une garantie ?
    Au fil du temps, on a su progresser là dessus ; c’est un véritable acquis.

    Enseigner pour démonter, en démontrant … pourquoi pas … cependant …
    Dans le programme de Terminale C de 1970 (il a duré quelques années tout de même), on démontrait l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ! Etait-ce pour faire des probabilités ? Faire ? en décrire ? produire des démonstrations ?
    Mais noter qu’une telle critique est évidemment facile … après coup. Est-il quelqu’un ayant prévu ?
    La démonstration est-elle le tout de la compréhension ?
    Démontrer ! démontrer quoi au juste ?
    En passant, une anecdote des années 70 : dans certaine commission où se discutait l’adéquate axiomatique de la géométrie (idéale pour ce niveau du Collège), il fût d’éminents mathématiciens pour se tromper en ces questions de fine logique ! Ce fut quelque peu rassurant.
    Démontrer, ce ne pourrait guère être total … sinon ce serait un peu 1970, le retour ! … ne serait-on alors pas en train d’astiquer un véhicule qui de fait reste au garage ?
    Si ce n’est total, c’est quoi ? Que choisir de démontrer ou de ne pas démontrer ? selon quels présupposés ? explicites ou implicites ? selon quel agencement ? sur quoi repose ce qui est admis ? est-il possible pour enseigner d’user avec profit de « démonstrations » à la Gromov ? ou encore des inspirations en pas de côté par rapport à l’exposé logico-déductif d’un Clairaut ?
    Y a-t-il, spécifiquement, en géométrie un drame intime ? celui de l’axiomatique, infernale si on la montre et qui absorbe alors l’énergie, avec le risque du flou mathématique dénaturant si on la tait ? Est-il d’autres domaines plus sereins à cet égard ? Peut-être, examinons leur potentiel instructeur au niveau du Collège.

    Qu’est-ce que l’activité mathématique dans la classe ? Est-ce un récit, un peu à la manière de la « leçon de choses » ? Est-ce un exposé ? où le maître règne garant de pureté ? de vérité ? est-ce un temps d’étude ? d’exercice ? d’esprit scientifique ? Un peu de tout cela combiné, et d’autres.
    Cette activité mathématique peut-elle comporter recherche ? expérience d’un doute ? rencontre d’une question ? expérimentation ? Jamais comme aujourd’hui on n’a disposé, peut-être, d’autant de moyens d’essayer !
    Comme c’est bizarre, cet équipement formidable pour l’essai particulièrement disponible pour la géométrie est un peu marginalisé !

    Ne peut-on être un peu sage ? Du côté des professeurs, il ne semble pas interdit de démontrer (modulo certain dosage, il y a par ailleurs beaucoup à faire) et qui plus est de faire démontrer, mieux encore de saisir « l’occasion pour expliquer le concept de démonstration en mathématiques », mieux peut-être pour l’expliquer et le faire éprouver !
    Comment se fait-il que ces recommandations bien présentes – sujettes à un accent marqué même - dans le libellé des programmes, encouragées par les relais institutionnels, mises en pensée par des décennies de travaux en didactique des Mathématiques, comment se fait-il que tout cela soit si peu opérationnel ?
    Augmenter la compétence des professeurs de Mathématiques ! La « méthode » disait Emile Borel.

    La durée consacrée à l’enseignement des Mathématiques a connu des vicissitudes ; au lycée essentiellement, surtout depuis vingt ans. Les conséquences perdurent. Faut-il seulement regarder le résultat endogène ? Quels bilans ?
    Mettant cela en rapport avec les équilibres nouveaux attachés aux évolutions d’autres champs de savoir, peut-on dire ce qu’est l’effet pour ces autres champs ? La Biologie, la Physique, par exemple, se portent-t-elles mieux, elles, avec un capital de temps amélioré ?
    Mettant cela en rapport avec d’autres facteurs de l’effet scolaire, peut-on dire que l’étude, l’implication des élèves dans l’étude se porte mieux ?

    Dans cette durée contenue – plus encore en lycée qu’en collège, quoique ! – l’ambition d’un vif déploiement d’objectifs demeure assez puissante, cela se comprend ; c’est vrai dans la visée de culture générale, - on se refuse à spécialiser -, c’est vrai à l’interne des disciplines – on se refuse à trop alléger. Est-ce alors désormais hors de proportion pour des acquisitions solides ? comment y pourvoir ?

    Pour qui ?
    L’élève a-t-il le droit d’oublier ?
    Pour venir sur ma personne, je ne me rappelle guère de règles de grammaire, s’il faut les exprimer précisément ! Etait-ce aussi le cas déjà en Terminale ? probablement ! Pourtant cette Grammaire apprise du Cours Préparatoire à la Troisième a bien dû décanter quelque chose … Cette carence habite peut-être le présent texte.
    Pire, au débotté, saurai-je démontrer le théorème de Pythagore ? ou l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ? ou quoi d’autre ? Je sais que cela se démontre, je sais ce que cela veut dire (c’était mon métier !) et que pour le théorème de Pythagore il existe des centaines de démonstrations et sais où en trouver.
    Savoir où trouver !
    Conserver l’idée de ce qu’est une démonstration, caractéristique majeure des Mathématiques !

    L’élève est là, au Collège, pour quoi ?
    Actuellement c’est assez clairement exprimé par l’institution, par exemple, pour une base, à travers un « socle commun » (hum !) posé à côté de dits programmes.
    Il faut inscrire dans une société démocratique et laïque, donner un bagage existentiel (la vie quotidienne), ouvrir les horizons de destins professionnels, aider les modifications de trajectoire en cours de vie …
    Cette question des buts, n’est-elle pas aussi terriblement encombrée par la complexité du temps ?
    Il n’est que de voir comment, ce début janvier 2011, avec ces événements, a provoqué un ouragan de mises en question ; n’avons-nous donc pas quelques fondations un peu solides ?

    Jamais on n’a tant fait pour « populariser » les Mathématiques et finalement quel résultat ?
    Le premier colloque national à propos de crise en scientifiques « Objectifs de la formation scientifique » date de 1990 !

    Le débat « séduire ou conduire » est intéressant en matière d’éducation.
    « On ne peut pas instruire sans supposer toute l’intelligence possible dans un marmot » Alain
    « C’est en tirant sur la corde du cerf-volant qu’on le fait monter » André Gide
    La prise en compte des préoccupations des élèves peut-elle être autre chose qu’un point de départ ? Une marque aussi de l’inscription des orientations des anciens pour l’actualité des sujets de la jeunesse ?
    De son côté, la jeunesse ne sait-elle pas qu’elle est là pour faire société ? Que les anciens lèguent un héritage ?
    Enseigner n’est-ce pas opter pour l’idée que l’élève ira ailleurs ? Souvent on évoque l’étymologie du mot « élève » …
    Alors, les débats de méthode surgissent.
    Faut-il ne faire droit qu’au savoir nouveau, voire aux sujets du présent de l’élève ? Cela peut-il s’enseigner ?
    Intéresser, « motiver » ; mais cela ne peut-il procéder parfois par d’étonnantes démarches, mystérieuses même ? Multiples recours, l’utile, l’application, le triomphe sur une difficulté, de la réussite dûment vécue, une activité de chercheur, quelque défi, une production publiée, un recours à de la genèse historique, les tenants et aboutissants, l’établissement d’une relation humaine dans la classe, le pourquoi … Tel professeur évoquant l’aire du disque (formule qu’il assène, admise de fait, naturellement), peut-il se montrer capable de susciter un « pourquoi » ? Moment intéressant, vivant moment de classe, lien avec ce vieil Archimède. Sans parler de volume de la sphère … C’est en Cinquième, le calcul infinitésimal commence en Première, qu’importe.
    Oui, les professeurs sont déterminants ! Y songe-t-on suffisamment ?

    Je suis bien vieux ! on l’aura compris.
    Elève, je ne me souviens pas d’une démonstration du théorème de Pythagore durant le collège (en Troisième alors, années 60). Celle d’Euclide, par exemple, n’est venue dans ma vie que plus tard, ces carrés sont donc des aires, merveille !
    Mon intérêt pour les Mathématiques s’est éveillé par les problèmes, ceux que mon instituteur proposait quotidiennement en Cours Moyen (numériques), puis progressivement au Collège, au Lycée avec quelques professeurs remarquables. Remarquables aussi certains professeurs de diverses disciplines, des éclaireurs ; puis-je dire qu’ils étaient d’abord professeurs d’intelligence ?
    Professeur de Mathématiques, j’en suis au temps des souvenirs. Entré dans le métier avec les Mathématiques modernes dont le fond faisait partie de mon bagage universitaire, c’était donc familier. J’ai ainsi, jeune devant de bien plus âgés, enseigné en stage de « recyclage » que la sinusoïde est une droite affine (au sens de 1972, en Quatrième). C’était totalement mathématique ! Cela ne pouvait à peu près rien produire scolairement parlant, je l’ai aperçu plus tard.
    Puis sont venues des décennies professionnelles marquées par cette préoccupation majeure de ce qu’on enseigne et comment on l’enseigne, cela avec la culture – étroite, forcément étroite – qu’on peut se forger au fil des années, merci aux institutions qui font tant en ce sens !
    J’ai aussi toujours estimé qu’il y avait quelque risque à fonder des choix d’orientation scolaire sur des expériences toutes personnelles. Gare aux généralisations hâtives.

    Alors ce Pythagore, faut-il le mettre à la poubelle ?
    C’est le sort fait à l’enseignement de la géométrie qui est ainsi posé, reposé.
    Au Collège, elle est un terrain assez fertile pour apprendre ce qu’est démontrer et apprendre à le pratiquer ; à mon sens pourvu qu’on sache raison garder, on a parlé jadis « d’ilots déductifs », manière de ne pas s’épuiser dans quelqu’axiomatique … c’est dire qu’il vaut mieux des présupposés productifs, quelques trous déductifs, et de la clarté à cet égard.
    Le non-euclidien est rarement évoqué, encore moins illustré ; comme si la géométrie euclidienne, engoncée dans le représenté, la figure, était la seule ! C’est du sens des Mathématiques qu’il s’agit pourtant.
    Une décennie et demi comme inspecteur m’a permis bien des observations de classe, instructives.
    Au Lycée, nous venons de connaître des évolutions amoindrissant la place de la géométrie (!) au profit d’autre chose (démontre-t-on le théorème de Moivre-Laplace ?), c’est un choix ; à côté de cela on assiste à l’expansion des moyens logiciels disponibles aujourd’hui. Ne pourraient-ils permettre une activité géométrique renouvelée, bien plus riche ?
    Mais il faut choisir !

    Actuellement, le théorème de Pythagore marque la classe de Quatrième, représentatif de la géométrie « classique ». Il est aussi un outil ; il a un aspect procédural ; l’élève apprend à faire avec ; espérons que c’est à travers des situations dans lesquelles, par exemple, il devra trouver qu’il est un recours … bref à travers des problèmes. Ce théorème ouvre un espace de travail au delà de son statut de théorème, cela n’est pas son moindre aspect.
    Il se trouve aussi qu’il interroge la notion de nombre. Quelle histoire !
    Ces composantes hétérogènes ne sont-elles pas pas ce qui contribue à la consistance d’un enseignement ? un savoir, un savoir situé dans un cadre disciplinaire (ici démontrer) et relié aux autres domaines disciplinaires, des situations d’étude, de quoi s’exercer dans un commencement de maniement abstrait, l’existence de relations avec d’autres territoires mathématiques, un certain degré de richesse « intellectuelle » (bien sûr ! pour l’élève de Quatrième), le fait pour l’élève d’avoir à faire ses preuves (il est testé).
    Je doute que depuis au moins un siècle on ait jamais enseigné ce théorème pour la menuiserie ou le bâtiment, il s’agit là d’un surcroît ; cette géométrie vient de la veine des lycées classiques, c’est dire !
    Modestement, pourrait-on analyser une conception de programmes, renouvelés, selon de telles aunes ?

    Ce théorème s’inscrit aussi dans un parcours, celui de la géométrie de l’Ecole au Lycée ; penser un changement peut-il éluder une prise en compte de cohérence, celle des apprentissages, des approfondissements progressifs (devenir un peu plus « mathématicien » on l’espère), des aptitudes que l’on manifeste (devenir plus apte à abstraire).

    Que serait la proposition de géométrie des réseaux inscrite dans un cadre scolaire, au sens d’étude, comme au sens d’une inscription dans un programme pluri annuel ?

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 22 février 2015 à 19:20, par Étienne Ghys

      Cher Monsieur,

      Quel message ! Merci infiniment.

      J’avais proposé de clore le débat et voilà que vous écrivez un texte qui contient quatre-vingt-neuf points d’interrogations (merci aux outils de traitement de texte). Pour (ne pas) y répondre, il faudrait que je pose $89^2$ autres questions. Comment faire face à la croissance exponentielle ?

      Le site « Images des Mathématiques » souhaite sincèrement être un lieu de débat. Un forum de cette nature est-il le bon moyen ? Je ne le sais pas.

      Ma « provoc » a engendré des réactions vives. Un correspondant privé (car j’ai reçu pas mal de mails privés à ce sujet) résume bien la situation : tous les commentaires sont en quelque sorte des déclarations d’amour ! Amour de Pythagore, de la géométrie, des maths en général. Que les lecteurs ne doutent pas que je suis aussi amoureux qu’eux :-) Mais certains disent que l’amour rend aveugle !

      Alors je pose la question à Aziz, François et Valerio, les responsables de cette rubrique de IdM. Que proposez-vous pour continuer le débat ? Quel est le bon mode opératoire ? Que proposez-vous ?

      Continuer ce forum ? Comment mener une discussion sur internet ?

      Peut-être proposer à l’un(e) des commentateurs de relancer le prochain débat du 18 ?

      Encore merci à tous et à toutes pour leurs commentaires,

      Etienne Ghys

      Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 24 février 2015 à 13:30, par Bastien_B

    Nous devrions d’abord enseigner ou plutôt introduire les cours de maths par rapport à l’histoire des mathématiques.
    En effet si on ne sais pas pourquoi, et dans quelle utilité nos savant mathématiciens on chercher de résoudre tels ou tels problème. On ne peut pas rentrer complètement dans le programme..
    J’ai heureusement la chance d’avoir une professeur de mathématiques très intéressante, je site « on ne fait pas de mathématiques sans un peu d’histoire ».
    Je suis passionnée de mathématiques, et j’essai de transmettre cette passions à des personnes détestant les maths, je m’aperçoit au final qu’ils n’aiment pas ça pour une simple raison : ils ne voient pas l’utilité de faire ceci ou cela..

    Pour moi, aujourd’hui nous manquons de bon professeur qui transmettent la passion des mathématiques. Faire comprendre pourquoi on fait ça, quelle est alors l’utilité de nos jours ?
    J’ai aussi remarqué un paradoxe : certaines personnes étant « dégoutté » des cours et en particulier des mathématiques. Ils vont alors s’orienté vers un enseignement type « bac professionnelle » où l’enseignement des mathématiques n’est pas mis en valeur. J’ai alors regardé un peu leur cours qu’il leur donne. Au final ce qu’ils leur est enseigné est seulement l’application de formule brut sans démonstration. Je comprend tous à fait ces élèves qui ne voient pas l’utilité de ses application.. Et donc peuvent finalement être encore plus « dégoutté » par cette matière..
    Le paradoxe est donc que lorsque les élève n’ont déjà pas goût aux mathématiques, ont leur donne alors des cours d’application avec des professeurs moins qualifiés. Ils ne pourront alors plus jamais avoir la passions des mathématiques ?

    Pour revenir sur le sujet, Je suis en total accord avec vous Mr Ghys, La démonstrations du fameux théorème de Pythagore devrais être enseigné dans le second cycle, comme cours d’introduction pour le théorème ? Sous forme d’une activité ? (niveau 5ème tous à fait envisageable)

    De plus il n’y aurais pas seulement le théorème de Pythagore à démontrer mais plusieurs théorème tels les angles alternes-internes ou la somme des angles d’un triangle est égal à 180° qui est d’un niveau relativement simple !
    On commence à voir certaines démonstrations seulement à partir de l’enseignement de la 1er S..

    Le temps des recherches Grecs est merveilleuse et peut être considéré comme l’invention de la géométrie, de l’arithmétique et de la logique (Thalès de Milet, Pythagore Euclide Archimède..)
    Avec Éléments d’Euclide nous à permit de synthétisé l’ensembles des recherches grecque, les démonstrations de l’époque sont envisageable dans le programme secondaire.

    Sur ce merci à Pythagore, le titre provocateur de l’article ma directement intrigué. Merci à Etienne Ghys d’avoir ouvert ce débat, Vive Pythagore (de Samos) et Vive les Mathématiques !
    Bastien.B

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 26 février 2015 à 11:23, par Aziz El Kacimi

    Bonjour à tous !

    Un débat vif, bien animé...il y a un bout de temps que nous (François, Valerio et moi, responsables de
    la rubrique) n’avons pas vu cela ! C’est une très bonne chose et nous en sommes très heureux ! Cela montre, contrairement à certaines apparences, qu’il y a pas mal de gens à qui l’enseignement des maths
    tient tant à cœur. Il faut dire que la question a de quoi mettre
    le feu aux poudres : Boom ! Pythagore dans une poubelle ? Mais ce serait mal connaître Étienne pour penser qu’il en est
    convaincu. Aussi bien dans ses travaux de recherche que dans ses innombrables conférences de vulgarisation ou autres, il a traversé presque tous les thèmes des mathématiques. Il sait donc que le théorème de Pythagore y est lourdement présent, et particulièrement en analyse et en géométrie :
    hormis le fait qu’on le voit un peu partout en dimensions 2 et 3 (dans la vie quotidienne en somme), il est dans
    les Hilbert (par l’inégalité de Bessel, l’égalité de Parseval, les bases hilbertiennes, le procédé d’orthonormalisation
    de Hilbert-Schmidt, le théorème spectral, la théorie des représentations...), il abonde dans toute géométrie riemannienne (l’euclidienne s’avère
    souvent être l’approximation à l’ordre 1 de toute autre géométrie : hyperbolique, euclidienne...).

    Il est cependant un peu regrettable que la discussion soit restée bilatérale :
    d’un côté les commentateurs avec de bons arguments certes mais dont certains se sont sentis
    presque agressés par la question posée ; de l’autre côté, Étienne répondant tout le temps seul, et
    essayant courageusement et pédagogiquement de dissiper les malentendus et d’expliquer les points qui ont été mal compris ou interprétés différemment. Mais... cela a été
    comme ça ! et il n’y a rien à contester ni aux ni aux autres, les points de vue ont été avancés et c’est l’essentiel.

    Personnellement, je reste très attaché à la géométrie
    euclidienne pour pas mal de raisons dont la principale est liée au « bassin géométrique » dans lequel
    mon père m’a plongé assez tôt. Je me permets une petite digression extraite (et adaptée) de l’avant-propos de mon livre
    Géométrie euclidienne élémentaire.
    (Un témoignage du genre a été apporté à ce débat ; donc je ne m’en prive pas non plus !)

    "Mon père était à la fois menuisier, ébéniste et charpentier.
    Jusqu’à un certain âge, j’avais l’habitude de passer une partie de mon temps libre
    dans son atelier. C’est là que j’ai commencé à prendre inconsciemment
    goût à la géométrie : il m’a appris à en faire de façon expérimentale,
    pour l’utilité de la vie quotidienne. Je me contente de donner un exemple de ce que j’ai
    appris auprès de lui : il s’agit justement de Pythagore ! Dans son métier de charpentier, il avait toujours à
    dresser en premier lieu une ferme.
    C’est une structure qui en supporte d’autres et notamment les lattes sur lesquelles se posent les tuiles.
    Elle a la forme d’un triangle isocèle dont la base est l’entrait, les deux côtés égaux sont les
    arbalétriers et la hauteur relative à la base le poinçon.
    Pour la solidité de l’édifice, la mesure de l’angle droit que fait le poinçon avec l’entrait
    et l’égalité des arbalétriers doivent être des plus précises. Son équerre habituelle étant trop petite pour vérifier cela,
    il procède alors comme suit. À partir du milieu de la base, il repère un point à 60 cm d’un côté, un autre à 80 cm
    sur la hauteur et s’arrange pour que la distance entre les deux soit de 100 cm. Il m’explique que cela lui
    garantit que l’angle en question est droit et que son grand triangle est aussi isocèle.
    Il prend la peine de me démontrer cela en mesurant encore une fois.
    "

    Cet attachement si particulier ne me dispense nullement d’être pour l’introduction de doses de
    géométries non euclidiennes sous une forme un peu légère (j’ai des idées dans ce sens) déjà dans les lycées et collèges mais à condition
    qu’elles n’évacuent pas la géométrie euclidienne ! Toutefois, la tâche ne sera pas du tout évidente :
    qui va enseigner ces géométries ? Ces dernières années, la
    formation des enseignants en mathématiques est assez boiteuse, malmenée par les réformes successives...
    Et on sait que l’obtention du CAPES ne signifie absolument pas que les compétences ont été acquises (voir ce billet
    à cet effet).

    En attendant des « jours meilleurs » on peut toujours ouvrir une discussion du même genre le mois prochain.
    Étienne nous (responsables de la rubrique) a d’ailleurs posé explicitement la question là-dessus.
    Si l’un des commentateurs souhaite « provoquer » le « Débat du 18 mars », j’y serai entièrement favorable de mon côté ; et je pense
    que François et Valerio le seront aussi.

    Cordialement,

    Aziz

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 28 février 2015 à 00:25, par Pierre Colmez

    De l’autre côté de l’Atlantique

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 16 mars 2015 à 21:49, par Valerio Vassallo

      Bonjour à tous, bonjour Étienne,

      Pardon pour ce retard... mais je ne pouvais pas rester absent de ce débat. Merci Étienne de l’avoir lancé et d’avoir répondu à tout le monde avec engagement, courtoisie, fermeté, sans langue de bois, d’une façon toujours sympathique, etc. etc. Merci !

      Et merci aux lecteurs pour la richesse des échanges et une vivacité plus remarquable que d’habitude !

      Il a fallu une première question provocatrice d’Étienne pour que beaucoup d’autres soient posées. Tant mieux !

      Dans le contexte actuel, il me semble maintenant important d’élargir ce débat à une vue d’ensemble de l’École. C’est pour ça que Aziz, François et moi-même avons cru bon de décider de poursuivre les échanges dans le Débat du 18 mars sur un thème plus large.

      Ma contribution au Débat du 18 février et à celle du 18 mars est contenue dans un long billet dans la rubrique « Nos billets » (parution le 17 mars).

      Ce débat du 18 février fut un bon moment de « déclarations d’amour »... à la géométrie euclidienne. Il me semble.

      Bien à vous

      Valerio Vassallo

      Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 16 avril 2015 à 11:59, par Claire Parizel

    Bonjour ! Merci pour ce beau billet auquel je réponds avec du retard... j’espère que le débat n’en est pas pour autant terminé.

    Au risque de paraître iconoclaste je vais répondre à cette question par un : « bien sur que oui, il faut mettre Pythagore à la poubelle ». Lorsqu’on demande à des élèves à quelle époque vivait Pythagore et qu’on nous répond « En Autriche au XIXè siècle », bien sûr que oui, il faut mettre Pythagore à la poubelle, car Pythagore y est en fait ... déjà.

    Ce billet me semble d’autant plus intéressant qu’il pose la question de l’utilisation des mathématiques. Des interactions qu’elles permettent et des raisons pour lesquelles nous les regardons, les faisons. Pour comprendre le monde, comme ( justement ) Pythagore ? Oui. Pour agir avec le monde, être capable de s’y intégrer en ayant des connaissances semblables à celles de nos contemporains ? Oui aussi ! Pour modeler le monde, y être acteur et investi : oui, surtout.

    Dans cette mesure, je pense que l’enseignement des mathématiques doit permettre l’émancipation et la liberté. Et les mathématiques permettent la liberté à la seule condition qu’on les appréhende de façon non dogmatique : en les montrant, en les manipulant, en les mettant en question. Si l’utilisation qui est faite de ce théorème ne permet pas de faire émerger l’esprit critique des élèves, alors c’est inutile.

    La question qui se pose ensuite est : les élèves pourraient-ils mieux faire fonctionner leur esprit critique face à des problèmes qui les « touchent » plus ? La croissance des réseaux, la résolution de problèmes pratiques liés à la technologie ? Je pense que oui, même s’il sera alors impératif de guider les élèves dans la compréhension de la démarche qui guiderait cette pédagogie. Il ne s’agirait pas de faire d’eux des utilisateurs des mathématiques ( comme on utilise tous un ordinateur sans savoir une seule ligne de code ) mais des créateurs munis d’un droit de remise en question.

    Un type d’espace fonctionne beaucoup sur ce modèle participatif : il s’agit des FabLab. Ce sont des endroits munis de machines, en accès souvent très libre, et qui sont basés sur une philosophie liée à la démarche plus qu’au résultat. L’expérimentation y règne en maître mot, l’échec y est si naturel qu’il perd son caractère d’« échec » et devient juste un tournant du chemin.

    Peut-être qu’il serait intéressant d’imaginer dans quelle mesure l’enseignement des mathématiques pourrait agir avec ces fablab afin d’achever de connecter des élèves à un enseignement qui leur semble, sinon, aussi poussiéreux, intimidant et inutile qu’une époque qu’ils ne connaîtront jamais si on ne se donne pas la peine de la leur faire goûter auparavant dans toutes les disciplines ( la Grèce, du Vè siècle avant J.-C. ) ?

    Après Pythagore à la poubelle, je propose alors : « Pythagore au FabLab ? »

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 16 avril 2015 à 12:44, par Étienne Ghys

      Merci pour ce commentaire, qui me fait bien plaisir car je me sentais un peu seul.

      Les projets de nouveaux programmes pour le collège viennent d’être présentés à la ministre. En ce qui concerne la théorème de Pythagore, il est mentionné qu’il s’agit de l’utiliser. Il n’est pas écrit qu’il s’agit de le démontrer, ni même de le comprendre. Non, il s’agit de l’utiliser. Apprendre des recettes aux élèves ;-(

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

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      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 16 avril 2015 à 17:16, par Claire Parizel

        Alors que pouvons-nous faire face à ce programme ?
        Avez-vous des idées ?

        Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 16 avril 2015 à 22:47, par Étienne Ghys

    Eh bien, une consultation nationale vient d’être lancée. Tout le monde est invité à donner son point de vue sur la question. Je ne m’en prive pas depuis quelques jours :-) Cela dit, la question est de savoir si cette consultation est purement formelle ou si elle aura une quelconque utilité.

    Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 25 mai 2015 à 19:13, par Vivelesmaths

    Bonsoir

    C’est avec un grand intérêt que j’ai lu l’intitulé de ce débat : « Faut-il jeter le théorème de Pythagore à la poubelle ? ». Cette question mérite en effet d’être posée depuis l’entrée en vigueur de la réforme des collèges. Les programmes sont devenus plus modernes parce qu’il est évident que plus la science avance et plus les programmes doivent se mettent au goût du jour. Certaines notions doivent être abandonnées au profit d’autres plus prometteuses pour former les scientifiques de demain. On ne peut effectivement pas apprendre aux collégiens le double de notions sur une même période. Cela reviendrait à suivre des cours de mathématiques à un rythme d’enfer. Pourtant est-ce une raison suffisante pour mettre Pythagore à la poubelle ?

    Certains avanceront que l’état d’esprit de ces programmes demande aux élèves d’acquérir de plus en plus de notions en de moins en moins de temps. La suppression du théorème offrirait alors un gain de temps non négligeable pour terminer les programmes dans les meilleurs délais. D’autres en revanche, s’insurgeront car supprimer le théorème c’est toucher aux classiques des mathématiques du collège, c’est supprimer des fondements essentiels à la culture collégienne. D’autres encore proposeront de le présenter très rapidement aux élèves afin de ne pas fâcher les deux partis en présence. Pourquoi privilégier alors la suppression du théorème de notre bon vieux Pythagore au lieu des cours de probabilités ?

    On peut faire l’hypothèse que les détracteurs du théorème le critiquent non pas pour ce qu’il est mais pour son utilité et la difficulté de le rendre accessible aux élèves. Le théorème de Pythagore doit-il se résumer à faire un grand nombre d’exercices pour voir les diverses situations auxquelles il se rapporte ou ,au contraire ,doit-il être démontré pour être jugé utile ? Il ne faut pas oublier que les démonstrations en mathématiques sont un art et un cheminement de pensée qui peut échapper aux collégiens uniquement évalués sur la mise en œuvre du théorème de Pythagore lors de sujet du Brevet des Collèges. Le manque de pratique, le manque d’outils en logique et l’explication même d’une démarche visant à démontrer un théorème dont on connaît déjà le résultat peuvent donc être des obstacles non négligeables pour amorcer une démonstration au collège.

    Ne pas démontrer le théorème de Pythagore ne signifie pas pour autant le jeter aux oubliettes. Si les probabilités ont autant de succès c’est parce que la manière dont elles sont abordées est très plaisante. Elles peuvent-être en effet être modélisées par un tirage au sort ou encore une partie de cartes. Ces approches montrent bien que les mathématiques sont loin d’être figées et servent au quotidien. En revanche, si on décide de démontrer le théorème de Pythagore uniquement avec une bonne vieille craie sur un tableau terne alors il y a fort à parier que les élèves ne vont pas s’y intéresser. Aussi si on veut que Pythagore ne disparaisse pas ,il faudrait peut-être changer l’image qu’on en donne. Construction d’un puzzle, utilisation de GEOGEBRA, les pistes sont nombreuses. Un public séduit par Pythagore au collège voudra absolument qu’il continue à être enseigné. Car il est évident qu’on retient mieux ce qu’on apprend en s’amusant.

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 30 avril à 08:21, par Mateo_13

    Bonjour,

    les « Cahiers Pédagogiques » viennent de publier leur numéro de mai : « des maths pour tous » :
    http://librairie.cahiers-pedagogiques.com/640-des-maths-pour-tous.html

    dont un article de Philippe Colliard, en accès libre, sur l’enseignement du théorème de Thalès :
    http://www.cahiers-pedagogiques.com/Susciter-et-entretenir-la-motivation-des-eleves-pour-les-mathematiques

    Amicalement,
    — 
    Mateo.

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