Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

Un titre volontairement provocateur dans l’espoir de lancer un débat animé sur IdM. 

Le 18 février 2015  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (66)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

En préambule, pour éviter un malentendu, je voudrais dire que je suis mathématicien, et plus précisément géomètre, et que je suis bien sûr admiratif du bel édifice que représente la géométrie du plan, avec ses joyaux, dont le célébrissime théorème de Pythagore. Je dirais même que c’est probablement la découverte de cette partie des mathématiques, au collège, qui a été le déclic pour mon intérêt pour les maths. Cela dit, les choses ont changé, le temps a passé, et la France du général de Gaulle ne ressemble pas beaucoup à celle de François Hollande. D’autre part nous conviendrons tous que le but principal de l’enseignement des mathématiques au collège n’est pas de former des chercheurs scientifiques.

Que faut-il enseigner aujourd’hui ? Un élève qui arrive au baccalauréat a subi [1] deux mille heures de cours de mathématiques. Il ne faut pas se cacher la face : le résultat est un échec. Pour fixer les idées, je prends l’exemple du théorème de Pythagore dont j’écrivais un peu plus haut qu’il est « célébrissime ». Le nom de Pythagore est sans aucun doute connu d’une vaste majorité de la population. Je serais prêt à parier qu’au moins 80% de réponses à la question « quels théorèmes pouvez-vous citer » contiendraient Pythagore ou Thalès. En revanche, je suis également prêt à parier que moins de 20% de la population seraient capables de l’énoncer (correctement), et probablement moins de 5% de le démontrer. Que s’est-il passé ? Pour quelle raison ce bijou mathématique passe-t-il aux oubliettes dès que possible ? Ne faut-il pas en tirer des conclusions et se demander s’il est vraiment utile d’enseigner à tous quelque chose que presque tous s’empressent d’oublier ?

Bien sûr, le théorème de Pythagore est utile à des tas de gens, comme par exemple… les scientifiques. On pourrait espérer aussi que les architectes l’utilisent, mais les angles droits deviennent si rares dans les bâtiments d’aujourd’hui, et les logiciels de conception sont si efficaces. On peut très bien vivre sans connaître le théorème de Pythagore et il y a infiniment d’autres choses plus importantes. Alors pourquoi l’enseigner ? Selon moi, il n’y aurait qu’une seule justification : ce serait de le démontrer. La plupart des manuels scolaires ont abandonné l’idée même de démontrer un théorème et le pauvre Pythagore en est réduit à une « propriété » qu’il faut apprendre par cœur, sans chercher à la comprendre. Pourquoi des carrés et pas des cubes ? Parce que c’est écrit dans le manuel ? Parfois, on demande à l’élève de mesurer les côtés avec sa règle, ou avec son logiciel de géométrie dynamique, et de « vérifier le théorème » [2]. Il me semble que l’un des rôles principaux de l’enseignement des mathématiques est d’apprendre aux élèves à distinguer une vérité indiscutable d’un point de vue, d’une opinion, ou d’une croyance. Nous pouvons avoir des idées qui divergent sur ceci ou sur cela, mais les mathématiques sont l’un des moyens de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables. Un antidote au dogmatisme, dont nous avons bien besoin. Les programmes de mathématiques actuels ont supprimé presque toutes les démonstrations. Selon moi, le théorème de Pythagore, sans une démonstration (il y en a beaucoup) n’a pas d’intérêt au collège.

Évidemment il faut faire des choix et on ne peut pas tout enseigner. Quand j’étais au collège, l’informatique n’existait pas et la biologie n’avait pas encore fait les progrès spectaculaires qu’on connaît aujourd’hui. Il est normal que les mathématiciens laissent la place à tous ces nouveaux domaines de connaissance et cela entraîne mécaniquement les diminutions d’horaires que nous avons connus. Mezalor, comment choisir la partie des mathématiques qu’on enseigne ? Jusqu’à présent, à l’exception de la désastreuse aventure des maths modernes [3], on a procédé par continuité en modifiant localement ceci ou cela. Le théorème de Pythagore a perdu son panache, sa raison d’être, sa démonstration, mais il est toujours là, un peu par inertie, transformé en une triste « propriété » qu’il faut apprendre par cœur. Hélas, cet énoncé ne fait pas partie du quotidien de nos jeunes, qui n’y voient aucun intérêt, pour la majorité d’entre eux. Ne faut-il pas prendre en compte le monde dans lequel ces jeunes vivent et essayer de trouver des mathématiques qui les aident à mieux s’y retrouver ? Se repérer dans le monde, n’est-ce pas la définition de la géométrie ?

Voici un exemple, très certainement discutable, d’une « nouvelle géométrie » qu’on pourrait aborder à l’école et qui serait plus proche des préoccupations des élèves : la géométrie des réseaux. C’est devenu une banalité : nous vivons dans des réseaux multiples, internet, Facebook, la SNCF, Skype, etc. Les adolescents (et autres) comptent leurs « amis » sur Facebook. Les grands réseaux ont des géométries qui n’ont rien d’euclidien. Les mathématiques qui sont impliquées sont variées : théorie des graphes et combinatoire bien sûr, mais aussi probabilités, sans oublier les aspects informatiques et algorithmiques. Je ne propose pas bien entendu un cours structuré sur la théorie des graphes au collège, mais il me semble qu’on peut aborder quelques points très simples et très instructifs. Plutôt que d’obliger les collégiens à apprendre par cœur, et sans explication, que le volume d’une boule de rayon $R$ est $\frac{4}{3} \pi R^3$, ne serait-il pas préférable de les faire réfléchir à la croissance exponentielle des boules dans les réseaux sociaux (combien y a-t-il d’amis des amis de mes amis ?). Comment se propage l’information (ou les fausses informations) à l’intérieur d’un réseau ? Qu’est-ce que le phénomène du petit monde ? Qu’est-ce qu’un triangle rectangle dans le réseau SNCF [4] ? Quel algorithme Google map utilise-t-il pour me proposer le meilleur itinéraire pour aller de A à B ? Évidemment, de la même manière qu’un théorème sans démonstration est une coquille vide, un algorithme requiert une preuve et on ne peut se contenter de l’utiliser aveuglément.

La géométrie a changé. Elle ne manipule plus seulement des triangles et des cercles ; elle se préoccupe du monde qui nous entoure qui n’est, heureusement, que très rarement euclidien.

Léo Ferré était-il visionnaire ?

« Il faut tuer l’intelligence des mots anciens
Avec des mots tout relatifs, courbes, comme tu voudras
Il faut mettre Euclide dans une poubelle
Mettez-vous-le bien dans la courbure. »

Le chien, 1969

Post-scriptum :

Évidemment, le théorème de Pythagore apparaît souvent dans IdM. Cliquez ici, , , ou encore .

Notes

[1Je pense que c’est le bon mot, pour la majorité des élèves.

[2Dans les meilleurs ouvrages on trouve parfois en fin de chapitre une esquisse de preuve avec des puzzles, mais je suis convaincu que les enseignants n’ont pas le temps d’en discuter sérieusement, ni même de saisir l’occasion pour expliquer le concept de démonstration en mathématiques.

[3Mon époque.

[4On assimile souvent le réseau SNCF, en exagérant beaucoup, à une structure arborescente. Le lecteur intéressé pourra s’inspirer de cet article pour montrer que dans un « triangle rectangle SNCF », l’hypoténuse est la somme des deux autres côtés... Pas besoin d’élever au carré. Bizarre :-)

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 14:40, par Clement_M

    Je trouve que vous évacuez un peu l’intérêt de la géométrie euclidienne dans la vie de tous les jours : faire des plans de bricolage, optimiser son rangement (en calculant des volumes), comprendre des objets du quotidien (sphère, cube, etc...), expliquer des notions simples de la vie courante : distance et angle...

    Ensuite, vous parlez d’autres géométries adaptées aux réseaux d’aujourd’hui. J’aurais plusieurs questions concernant l’introduction de ces géométries :

    • Vous souhaitez remplacer la géométrie euclidienne par ses géométries non-euclidiennes ?
    • Vous semblez attacher à la démonstration (et je le suis aussi !) donc j’aimerais savoir quelle(s) démonstration(s) voudriez-vous faire au collège à propos de cette géométrie des réseaux ?
    • Les enseignants et ceux qui évaluent les programmes s’attachent souvent à dire qu’on ne voit les bienfaits/méfaits d’un nouveau programme que des années plus tard, ne pensez-vous pas qu’un enseignement qui colle à la réalité (comme celui que vous proposez pour la géométrie) risque de perturber les élèves comme les enseignants ?
    • La géométrie a lentement mais sûrement disparu des programmes (aucun cours de géométrie ne m’a été proposé à l’université par exemple) car « la géométrie c’est les mathématiques de papa », au profit notamment des probabilités et des statistiques. Quand on voit ce qu’est devenu l’enseignement des probabilités (disparition de la notion d’indépendance au lycée par exemple), ne pensez-vous pas qu’il faudrait d’abord défendre la démonstration avant de penser à changer de géométrie ?

    Finalement, j’indique ce lien http://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/Ann... (La géométrie, pourquoi et comment ? de Daniel PERRIN) qui me semble un bon moyen de continuer à faire de la géométrie (euclidienne d’abord et autres géométries ensuite).

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 18 février 2015 à 16:45, par Étienne Ghys

      Cher Clement_M,

      Merci pour vos remarques et questions qui vont me permettre de préciser ma pensée.

      Je trouve que vous évacuez un peu l’intérêt de la géométrie euclidienne dans la vie de tous les jours : faire des plans de bricolage, optimiser son rangement (en calculant des volumes), comprendre des objets du quotidien (sphère, cube, etc...), expliquer des notions simples de la vie courante : distance et angle...

      Je n’ai pas proposé de supprimer la géométrie ! Loin de là. J’ai pris l’exemple du théorème de Pythagore et j’ai écrit 1/ que l’enseigner sans le démontrer n’a pas d’intérêt au collège et 2/ qu’il faut faire des choix dans ce qu’on enseigne et que, peut-être le théorème de Pythagore ne joue plus le même rôle aujourd’hui qu’il y a 50 ans. Bien entendu, je suis d’accord avec vous que « comprendre les objets du quotidiens » est une nécessité. Cubes et sphères par exemple, bien sûr. Mais de là à enseigner comme une boîte noire que le volume d’une boule est $\frac{4}{3} \pi R^3$, c’est un peu trop… Je ne suis pas sûr que beaucoup de gens ont besoin de cette formule pour leur bricolage ou pour optimiser leur rangement. Ceux qui en ont besoin la trouvent en quelques clics sur internet (s’ils savent naviguer dans le réseau internet !).

      Vous souhaitez remplacer la géométrie euclidienne par ses géométries non-euclidiennes ?

      Là encore, je n’ai pas proposé de supprimer la géométrie euclidienne :-) Il serait ridicule de remplacer la géométrie euclidienne par la géométrie hyperbolique. Je suggère simplement que nous naviguons en permanence dans des tas d’espaces différents (qu’ils soient physiques, virtuels, psychologiques ou autres) et que la « géométrie » telle que les mathématiciens d’aujourd’hui la comprennent est plurielle par essence et qu’elle ne peut se limiter à la géométrie euclidienne. Je ne propose pas de faire une révolution complète :-) mais de trouver le moyen de montrer d’autres espaces aux élèves, de leur montrer qu’ils ne se comportent pas nécessairement comme un plan euclidien et que la géométrie, bien comprise, peut aider à les comprendre mieux.

      Vous semblez attacher à la démonstration (et je le suis aussi !) donc j’aimerais savoir quelle(s) démonstration(s) voudriez-vous faire au collège à propos de cette géométrie des réseaux ?

      Je vais donner une réponse qui ne plaira peut-être pas. Il faut des démonstrations de toutes sortes. L’informatique va entrer à l’école, et c’est une très bonne chose. Un théorème en informatique, c’est un programme ou un algorithme, et faut le « démontrer » c’est-à-dire comprendre pourquoi il marche, comment il marche, à tous les coups. Cela nécessite une démarche intellectuelle. Alors, une réponse à votre question est dans mon texte : pourquoi ne pas discuter de quelques algorithmes qui permettent de trouver le plus court chemin d’un point à un autre sur une carte de géographie : y a-t-il plus géométrique que ce problème ?
      Mais je pourrais donner d’autres exemples.

      Les enseignants et ceux qui évaluent les programmes s’attachent souvent à dire qu’on ne voit les bienfaits/méfaits d’un nouveau programme que des années plus tard, ne pensez-vous pas qu’un enseignement qui colle à la réalité (comme celui que vous proposez pour la géométrie) risque de perturber les élèves comme les enseignants ?

      Là, je dois dire que je suis surpris par votre question. Vous craignez qu’un enseignement « qui colle à la réalité » perturbe élèves et enseignants ? C’est le contraire qui m’inquiète : je pense que l’une des plus grandes difficultés rencontrées par les élèves, la cause majeure de leur désintérêt pour les maths, est précisément le fait que ce qu’on leur enseigne ne colle pas avec leur réalité. S’ils s’agissait de former des chercheurs en mathématiques, je comprendrais bien qu’on propose un enseignement qui ne colle pas à la réalité (et encore ?) mais pour l’immense majorité des élèves, je suis au contraire convaincu que les maths doivent être au plus proche du réel.

      La géométrie a lentement mais sûrement disparu des programmes

      C’est un fait qu’il faut prendre en compte.

      « la géométrie c’est les mathématiques de papa »,

      Là encore, les personnes (dont je ne suis pas) qui disent « la géométrie c’est les mathématiques de papa) entendent le mot géométrie dans le sens qu’on lui donne au collège, essentiellement (ce qui reste) de la géométrie euclidienne. La géométrie, dans le sens où je comprends ce mot, va bien au delà de cela.

      au profit notamment des probabilités et des statistiques. Quand on voit ce qu’est devenu l’enseignement des probabilités (disparition de la notion d’indépendance au lycée par exemple), ne pensez-vous pas qu’il faudrait d’abord défendre la démonstration avant de penser à changer de géométrie ?

      Les deux questions me semblent indépendantes. Défendre la démonstration, je suis bien sûr pour. Mais les démonstrations ne sont pas l’apanage de la géométrie. La démonstration classique euclidienne est une forme de pensée qu’il faut préserver. Mais le raisonnement probabiliste est aussi d’une grande richesse, et très formateur également. Lui aussi, il faut le préserver. Cela dit, je crains que nous ne parlions d’un combat d’arrière garde. Le Socle commun de connaissances, de compétences et de culture qui vient d’être promulgué a tout simplement oublié cet aspect de l’enseignement :-(

      Finalement, j’indique ce lien http://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/Ann... (La géométrie, pourquoi et comment ? de Daniel PERRIN) qui me semble un bon moyen de continuer à faire de la géométrie (euclidienne d’abord et autres géométries ensuite).

      Ce document est très intéressant et je suis assez d’accord avec l’essentiel de son contenu. En particulier, il insiste beaucoup sur les différentes sortes de géométries. Le point de désaccord principal est qu’il considère qu’il faut se limiter à la géométrie euclidienne au collège. En ce qui me concerne, comme vous l’avez compris, je pense qu’il faut montrer qu’il y a de la géométrie partout, dans toutes les maths, pas seulement dans le chapitre du livre qui parle des triangles…

      En passant, j’aime bien la citation de Dieudonné qu’on trouve dans le texte de Daniel Perrin : « la trigonométrie est utile aux arpenteurs et aux auteurs de manuels de trigonométrie » ! J’ai eu l’occasion il y a un ou deux ans d’étudier le livre de géométrie écrit par Clairaut au 18 ème siècle. Dans son introduction, il écrit que les « éléments d’Euclide » sont « secs » et il n’a pas tort (je ne sais pas si vous avez déjà tenté de lire Euclide dans le texte ?). Alors Clairaut fait une innovation pédagogique : il écrit un livre du point de vue d’un arpenteur. Ses figures, ses triangles etc., sont traversées par des ponts, des rivières etc. Son objectif est de « coller au réel » et il y réussit très bien. Sauf que le réel du 18 ème siècle, qui mesurait la Terre avec des toises, n’est plus celui de notre siècle. Personne ne s’intéresse plus aux arpenteurs, et Dieudonné se moque… Je crois que Clairaut aujourd’hui parlerait d’internet dans son livre de géométrie :-)

      Désolé pour ma réponse un peu bavarde !

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

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      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 18 février 2015 à 21:27, par Clement_M

        Merci pour votre réponse.

        Arrêter de donner la formule du volume d’une sphère sans démonstration (qui semble difficile à faire au collège) tendrait à encourager à garder le théorème de Pythagore dont la démonstration est accessible.

        Je suis d’accord pour parler d’autres géométries si cela va dans le sens de plus de démonstrations (mais comme vous l’observez la tendance n’est pas à plus de démonstration).

        Ce que je cherchais à dire c’est que le système de l’éducation nationale ne permet pas de changer les programmes tous les ans (voir même tous les 5 ans) et chercher à coller à la réalité me semble complètement irréalisable (les programmes ont changé il y a à peine 2 ans...). De plus, les exercices qui se rapprochent de la réalité risque de faire disparaître la capacité d’abstraction chez les élèves. Il est bien sûr important d’expliquer pourquoi les mathématiques sont modernes et pourquoi elles permettent de faire plein de choses dans la vie de tous les jours mais chercher à façonner les programmes pour coller à la réalité me semble une mauvaise idée.

        Finalement, vous évoquez l’arrivée de l’informatique, j’avoue ne pas être complètement au courant : la création de concours (CAPES et Agrégation d’informatique) et ainsi d’un cours d’informatique complètement indépendant du cours de mathématique est-elle en projet ou va-t-on remplacer des parties des mathématiques par de l’informatique et ainsi ne faire correctement ni des mathématiques ni de l’informatique ?

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        • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

          le 18 février 2015 à 22:00, par Étienne Ghys

          encourager à garder le théorème de Pythagore dont la démonstration est accessible.

          Parfait ! Si on peut garder Pythagore en le traitant bien, je serais enchanté.

          « Il est bien sûr important d’expliquer pourquoi les mathématiques sont modernes et pourquoi elles permettent de faire plein de choses dans la vie de tous les jours mais chercher à façonner les programmes pour coller à la réalité me semble une mauvaise idée. »

          Regardez la « nouvelle stratégie pour les mathématiques » présentée par la ministre de l’Education Nationale en décembre dernier. Parmi les 10 points, je lis

          « 1- Des programmes de mathématiques en phase avec leur temps »

          Le document associé est intéressant.

          Je note en passant que la ministre à reconnu à la télévision qu’elle ne connaît pas le théorème de Pythagore :-)

          En ce qui concerne l’informatique, on en parle pour très bientôt. Je recommande ce rapport récent.

          Changements de programmes ? Eh bien si nous avons un tout nouveau Socle commun, c’est parce que de nouveaux programmes ne vont pas tarder ?

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          • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

            le 20 février 2015 à 11:30, par Clement_M

            L’idée d’être en phase avec son temps et de donner un coup de jeune à l’image des mathématiques est une bonne idée mais dans son application j’ai bien peur qu’elle soit une mauvaise idée. Dans le document que vous citez, on voit que les trois points qui concernent l’idée des mathématiques à l’image de notre temps, on voit :
            1) Faire plus d’informatique dans le cours de mathématiques (et donc avec des profs qui ne sont pas encore formés pour).
            2) Des thèmes en lien avec les autres disciplines et la vie quotidienne.
            3) Formation des profs à la recherche actuelle.

            Le point 3) est parfait. Par contre les points 1) et 2) sont plus que contestables. En plus de demander de faire de l’informatique à des gens qui ne connaissent peut-être pas l’informatique, on nous indique qu’on renforce les mathématiques en faisant...de l’informatique. Cela me semble assez bizarre. On peut certes faire des démonstrations en informatique mais on ne va pas enrichir le programme de mathématiques en faisant de l’informatique à la place. On va enrichir le programme d’informatique.

            Concernant le point 2), il faut déjà observer que les liens avec les autres disciplines ont déjà été sacrifiés lors de la précédente réforme des programmes. En filière scientifique, les équations différentielles ont disparu (pour faire le lien avec la physique et son principe fondamental de la dynamique ou la datation au carbone 14 en biologie, c’est parfait !). De plus, les exercices en lien avec la société sont complètement bricolés et sont souvent très éloignés de la réalité. Ils entraînent en plus des questions de mathématiques qui sont en fait des questions de lecture (voir exercice 4 (spécialité) 1) du bac 2014 Métropole S)...

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            • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

              le 20 février 2015 à 12:18, par Étienne Ghys

              Plusieurs remarques à ce sujet :

              D’abord, ce débat est axé autour des maths au collège et pas au lycée. On pourra faite un autre débat plus tard sur le lycée et discuter des équations différentielles et des maths au bac, mais c’est une autre question. Restons donc au collège (qui concerne donc tous les enfants).

              Vous abordez trois points :

              1) Le fait que les profs de maths ne sont pas formés à l’informatique. Vous avez tout à fait raison mais ce genre d’arguments conduirait à un immobilisme total puisqu’il serait impossible d’enseigner des choses nouvelles. En passant, il serait difficile de trouver un concept des maths de collège qui soit postérieur au 18 ème siècle... Je pense que nous connaissons tous le problème central : l’incapacité de l’Education Nationale à organiser une véritable formation professionnelle tout au long de la carrière. Eh bien, il faudra que ça change...

              En ce qui concerne la formation initiale, si on prend en compte la nécessité absolue d’enseigner de l’informatique dans notre système scolaire, il n’y a pas beaucoup de solutions :

              — La solution préconisée par les informaticiens (en particulier Gérard Berry). La création d’un capes et d’une agrégation d’informatique. Cela entraînerait mécaniquement une baisse des horaires de maths (et des autres sciences) et une baisse du nombre de postes au Capes de maths (qui d’ailleurs, comme nous le savons tous, a de grandes difficultés à recruter en ce moment). Il y aurait des profs d’info, formés pour ça et des profs de maths, formés pour ça.

              — L’instauration d’une épreuve d’informatique au capes de maths, pour former des profs de maths-info, comme il y a des profs d’histoire-géo, ou de physique-chimie. Donc des profs ayant une double compétence. Là encore, cela entraînerait une diminution de la quantité de maths enseignée aux élèves, au profit de l’informatique. Il faudrait alors choisir entre deux programmes disjoints (un peu comme l’élève qui a un livre pour l’histoire et un pour la géographie) ou essayer, si possible, d’inventer des programmes « mixtes » en quelque sorte.

              — Il y aurait bien une troisième option mais il me semble qu’elle ne satisfait pas les enseignants (probablement pour de bonnes raisons). Des enseignants ayant une double compétence, du genre maths-phyique, ou info-physique, ou info-chimie etc. , comme dans beaucoup de pays.

              Je ne sais pas à quelle échéance une telle option sera prise, mais je ne vois pas d’autre solution.

              2) « Les liens avec les autres disciplines et la vie quotidienne sont contestables ». C’est votre point de vue mais je le regrette. Il me semble que les mathématiques au collège doivent au contraire être au contact avec les autres disciplines et la vie quotidienne. A mon avis, si la grande majorité de la population a un si mauvais souvenir des maths, c’est en bonne partie à cause du fait que ces liens ne leur ont pas été montrés. Et pourtant les mathématiques ont un besoin vital de ces interactions pour se développer.

              3) Quant à « Formation des profs à la recherche actuelle », je me réjouis que vous la trouviez souhaitable. Cela ne sera pas facile pour la même raison que plus haut : le manque de formation continue à l’Education Nationale, mais on peut toujours rêver... Images des Mathématiques a l’ambition de contribuer à cette formation, mais là aussi il y a des progrès à faire et le monde de la recherche ne parvient pas toujours à communiquer avec le monde enseignant. Il faut faire des progrès !

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              • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

                le 20 février 2015 à 12:47, par Clement_M

                Pour le point 2) ce que je conteste c’est la mise en pratique du lien entre la vie quotidienne et les mathématiques qui risque d’aller vers moins de mathématiques et plus d’observations ou de modélisation. Même s’il est difficile de trouver des notions postérieurs au 18ième siècle dans le programme du collège je pense que vous m’accorderez qu’il est essentiel pour les collégiens de comprendre ses notions (qui sont utiles dans la vie de tous les jours et font partie du socle commun du collège) :

                • la proportionnalité
                • un peu de statistique
                • maîtriser les fractions et le calcul en général
                • comprendre les notions de longueur, aire, volume

                Ces notions, bien que très anciennes, sont utiles à tout le monde et ne sont pas maîtrisés par tout le monde malheureusement. Il me semble un peu plus urgent de maîtriser la proportionnalité que de comprendre la géométrie des réseaux. Pour comprendre l’utilité de la proportionnalité ou des fractions, je pense qu’il n’est pas forcément nécessaire de rajouter encore plus d’exemples de la vie de tous les jours. Bien sûr, il faut expliquer que ça sert et je pense qu’on peut très facilement donner des exemples qui le montrent. Rajouter des exemples pourrait conduire à maîtriser des exemples et non pas la théorie,ce qui serait un désastre.

                Je suis tout à fait d’accord pour dire que la situation maths-infos est très difficile à décoincer car toutes les solutions que vous apportez (et qui, vu le document du ministère, ne correspondent pas à celle envisagée : faire de l’info en maths et former les profs) implique une grosse période de transition (ce qui explique pourquoi elles risquent d’être abandonnées si on ne se décide pas à agir franchement). Il est impossible de recruter/former pour l’année suivante des profs d’informatique qui rempliraient toutes les classes du collège. C’est pour cela qu’on en rajouter à petites doses (sans vraiment de formation) dans le cours de mathématiques et que cela risque de continuer dans ce sens avec peut-être dans quelques années un capes maths-infos.

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                • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

                  le 20 février 2015 à 13:24, par Étienne Ghys

                  Votre point de vue est clair et cohérent, même si je ne vois pas les choses comme vous.

                  Je n’ai bien sûr pas remis en question le fait d’enseigner la proportionnalité, un peu de statistique, le calcul des fractions etc. au collège ! Loin de moi cette idée.

                  En revanche, il me semble que même si un concept est très ancien, la manière dont on l’enseigne peut tirer profit du quotidien des élèves.

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      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 30 mars 2015 à 05:50, par Pierre Arnoux

        Juste une petite remarque : l’algorithme de recherche d’un plus court chemin dans un graphe est enseigné au lycée depuis 15 ans, comme d’autres (coloriages, chemins eulériens...). Personne ne s’en est aperçu, ce qui semble montrer que le problème n’est pas vraiment là...

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        • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

          le 30 mars 2015 à 09:24, par Étienne Ghys

          Bonjour Pierre,

          Je ne crois pas avoir évoqué le lycée dans mon texte.

          Même si on en parlait, je me demande bien combien de lycées ont enseigné « l’algorithme du plus court chemin », dans quel contexte et sous quelle forme ? Quel algorithme a été choisi par exemple ?

          Mais il est préférable de ne pas prolonger ici ce débat.

          Amitiés,

          Etienne

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 16:22, par Jérôme Gavin

    Pythagore dans une poubelle ?

    Le pauvre ... il ne mérite pas cela.

    Je vais donc le défendre un peu et en même temps défendre l’enseignement du théorème qui porte son nom.

    Pour commencer, comme le titre de l’article le montre, le théorème est aujourd’hui identifié au personnage historique et inversement pour la majorité des gens (dont vous ne faites, bien entendu, pas partie). Supprimer la présentation de ce théorème aux élèves pourrait renvoyer ce philosophe singulier aux oubliettes. Cet argument est évidemment à double tranchant.

    Ensuite, c’est un sujet apprécié par les élèves ; pas forcément pour de bonnes raisons, mais apprécié quand même.

    Je passe à deux arguments plus importants à mes yeux.

    L’un des grands intérêt du théorème de Pythagore est qu’il constitue une vérité non évidente et peut donc provoquer une envie ou un besoin de démonstration. C’est une belle occasion à ne pas manquer. Je vous rejoins donc sur l’importance de le démontrer. On peut même aller plus loin en proposant trois ou quatre preuves différentes.

    Enfin, ce théorème permet de parler d’invariance et il me semble que l’on touche ici à quelque chose de très fort en mathématiques. Tous les triangles rectangles aussi différents soient-ils ont une relation numérique simple qui concerne la longueur de leurs côtés. C’est un formidable exemple d’invariant qui en plus est spectaculaire.

    En conclusion, ce sujet permet, de mon point de vue, d’aborder gentiment des aspects importants des mathématiques et pourquoi pas, vous en êtes une preuve vivante, de susciter des vocations.

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 18 février 2015 à 17:03, par Étienne Ghys

      Très bien, le débat commence !

      Pour commencer, comme le titre de l’article le montre, le théorème est aujourd’hui identifié au personnage historique et inversement pour la majorité des gens (dont vous ne faites, bien entendu, pas partie). Supprimer la présentation de ce théorème aux élèves pourrait renvoyer ce philosophe singulier aux oubliettes.

      Je serais content que le nom de Pythagore soit identifié au personnage historique mais je crains que ça ne soit pas le cas : au mieux les élèves savent que « c’était un grec qui vivait il y a très longtemps ». Combien de professeurs ont le temps de parler un peu du philosophe ? Je pense, et je suis le premier à le regretter, que Pythagore est déjà dans une oubliette. Le pauvre !

      L’un des grands intérêt du théorème de Pythagore est qu’il constitue une vérité non évidente et peut donc provoquer une envie ou un besoin de démonstration. C’est une belle occasion à ne pas manquer. Je vous rejoins donc sur l’importance de le démontrer. On peut même aller plus loin en proposant trois ou quatre preuves différentes.

      Je vois que nous sommes d’accord. Je ne dis pas le contraire.
      On peut proposer trois ou quatre preuves. J’adore tout cela bien entendu. Cela dit, en pratique, ce n’est pas ce qui se passe.

      Mais si le professeur présente quatre preuves, il y a d’autres choses qu’il n’a pas le temps de faire. Alors, il faut choisir...

      Enfin, ce théorème permet de parler d’invariance et il me semble que l’on touche ici à quelque chose de très fort en mathématiques. Tous les triangles rectangles aussi différents soient-ils ont une relation numérique simple qui concerne la longueur de leurs côtés. C’est un formidable exemple d’invariant qui en plus est spectaculaire.

      Vous avez bien sûr raison. L’invariance est en en effet une chose très importante en mathématique (ou tout au moins dans une certaine forme de mathématiques). Mais combien de professeurs ou de manuels présentent le théorème de cette façon ?

      En conclusion, ce sujet permet, de mon point de vue, d’aborder gentiment des aspects importants des mathématiques et pourquoi pas, vous en êtes une preuve vivante, de susciter des vocations.

      Je ne suis pas convaincu que susciter des vocations de mathématiciens soit le principal enjeu de notre système éducatif :-)

      Cordialement,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 18:53, par Rémi Duluc

    Bonjour , je voudrais réagir en tant que professeur de mathématiques de lycée.

    Si il est un résultat de collège dont les élèves de seconde maitrisent l’application, c’est le théorème de Pythagore.

    Ils savent d’ailleurs pour la grande majorité distinguer le théorème de sa réciproque et pour certains parler de sa contraposée.

    Ce théorème n’est pas juste une curiosité qu’ils ne réinvestiraient plus ensuite. Il est à la base de tous les calculs géométriques dans les repères orthonormés.

    Tout d’abord, en seconde, il permet de calculer la distance entre deux points dont on connait les coordonnées dans le plan, résultat qui sera généralisé en terminale avec la géométrie dans l’espace.
    Ensuite à partir de la première, il se généralise avec le théorème d’al kashi et permet alors de donner du sens à la notion de produit scalaire.
    On le revoit lorsque l’on doit calculer les valeurs des sinus et des cosinus des angles remarquables.
    On le réinvestit aussi avec les équations cartésiennes de cercle et de sphère.
    Enfin, il apparait de nouveau pour interpréter géométriquement la notion de module d’un nombre complexes.

    Je travaille dans un lycée général et technologiques avec des filières de sciences de l’ingénieur et de science et technique industrielle. En parlant avec mes collègues de mécanique, il apparait que c’est de ce type de connaissances géométriques dont ils ont besoin (Si le produit vectoriel pouvait revenir dans les programmes, ça les arrangerait aussi). Ces notions sont indispensables à tout étudiant en section industrielle , surtout pour ceux qui espèrent réussir à maitriser un logiciel de modélisation efficacement.

    Quant à la démonstration du théorème de Pythagore, elle est présentée en collège par la grande majorité de mes collègues. C’est une démonstration d’autant plus intéressante qu’elle permet de mettre les élèves en activité sur un sujet regroupant géométrie et calcul littéral. Il est par contre bien évident que les élèves n’apprennent pas cette démonstration et l’oublient bien vite ; mais c’est un des rares résultats de collège dont la démonstration peut intéresser les élèves.

    En conclusion, tout ne va pas bien dans l’enseignement secondaire en sciences et en mathématiques en particulier.
    Il y aurait sans doute beaucoup de choses à changer. Conservons néanmoins ce qui marche avec les élèves et qui donne du sens à la suite de leur études.

    Dans les années 1960, on avait entendu « à bas Euclide ! » avec des conséquences désastreuses. Évitons « à bas Pythagore ! ».

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 18 février 2015 à 21:16, par Étienne Ghys

      Cher Monsieur,
      Merci pour votre témoignage.
      Faire évoluer les contenus des programmes n’est certainement pas une chose facile et je n’ai pas proposé une révolution ! Comment faire, alors qu’il est évident que les autres sciences ont explosé en 50 ans et qu’il est nécessaire que les maths leur laissent un peu de place, alors que les maths ont explosé depuis 50 ans et qu’il est nécessaire de faire la place aux probabilités, mais aussi à l’informatique ? Comment faire pour choisir ce que nous souhaitons enseigner, fatalement en abandonnant ceci ou cela ?

      Votre description du rôle du théorème de Pythagore dans les programmes est tout à fait pertinente, mais tout cela est interne aux programmes de maths mais ne répond pas la question « Dans quels buts enseigne-t-on cela, quels bénéfices nos élèves vont-ils en tirer dans leur vie active, au delà de leur vie scolaire ? ». Je ne crois pas me tromper en disant que, disons dix ans après le bac, une grande majorité de nos concitoyens, en gros ceux qui n’ont pas de lien avec une activité scientifique, ont oublié les théorèmes de Pythagore, les produits scalaires, les nombres complexes, etc. N’aurait-on pas pu utiliser le même temps à l’école avec plus d’efficacité ?

      Vous convenez que les élèves ne se souviennent pas de la démonstration, (quand elle leur est présentée). De mon point de vue, c’est un échec.

      Conservons néanmoins ce qui marche avec les élèves et qui donne du sens à la suite de leur études.

      C’est probablement là que nos points de vue divergent. En ce qui me concerne, je ne vois autour de moi que des gens qui n’ont plus la moindre idée de ce qu’est le théorème de Pythagore, ou qui ne se souviennent plus que de la musique... [Enfin, quand je parle des gens autour de moi, je ne parle pas de mes collègues mathématiciens !]

      Il y aurait sans doute beaucoup de choses à changer.

      A quoi pensez-vous en particulier ?

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 19:25, par Simon Billouet

    Bonjour Étienne.

    Au sujet de l’assertion « enseigner [le théorème de Pythagore] sans le démontrer n’a pas d’intérêt au collège », j’apporte un bémol. Il me semble qu’on ne m’a pas démontré le théorème de Pythagore au collège, il y a environ quinze ans. Pourtant, j’ai l’impression qu’on faisait des maths, et peut-être même pour la première fois : je me souviens de ma prof nous marteler qu’une réponse à un exercice de maths commençait par « On sait que », se poursuivait par « Or », et se finissait par « On en conclut que » (il fallait le souligner). Simplement, le théorème de Pythagore était pris comme axiome.

    Si c’est clairement dit (ce qui n’est probablement pas le cas actuellement, et même à l’époque ; ma demande à quelques camarades en 5/2 d’une preuve sans produit scalaire ou autre connaissance avancée avait conduit à une bonne heure de réflexion au fond de la classe), il n’y a pas a priori de problème.

    Pour conclure, je commence tous mes enseignements depuis 3 ans (en L1-L2) par un nuage de mots sur le thème « Qu’est-ce que les maths ? » ; le mot qui revient le plus souvent est « théorème », et nous discutons ensuite de ce qu’est un théorème, et s’ils en connaissent. Le théorème cité le plus souvent est largement Pythagore. S’il ne reste plus de théorèmes qui ont de « noms », l’exercice deviendra plus difficile ! ;-)

    Bonne soirée

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 18 février 2015 à 20:19, par Étienne Ghys

      S’il ne reste plus de théorèmes qui ont de « noms », l’exercice deviendra plus difficile ! ;-)

      En effet !

      Je suis d’accord pour le bémol proposé. Mais malheureusement ce n’est pas comme ça qu’on présente le théorème de Pythagore.

      ma demande à quelques camarades en 5/2 d’une preuve sans produit scalaire ou autre connaissance avancée avait conduit à une bonne heure de réflexion au fond de la classe

      Intéressant. Je trouve que cette observation va dans mon sens : on se retrouve dans une situation où des élèves de classes prépas en maths ne comprennent pas le théorème de Pythagore (même si, j’espère !, ils savent l’utiliser). Ben, j’espère que les ingénieurs qu’ils deviennent par la suite ne croient pas tout ce qu’on leur dit, ou qu’ils lisent dans Wikipedia, sans vérifier que c’est correct !

      Pour éviter les malentendus, je parlais du collège. A l’université, en classes prépas, je suis bien sûr pour le théorème de Pythagore !

      Bonsoir,

      Etienne

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      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 19 février 2015 à 08:10, par Simon Billouet

        Je trouve que cette observation va dans mon sens : on se retrouve dans une situation où des élèves de classes prépas en maths ne comprennent pas le théorème de Pythagore (même si, j’espère !, ils savent l’utiliser). Ben, j’espère que les ingénieurs qu’ils deviennent par la suite ne croient pas tout ce qu’on leur dit, ou qu’ils lisent dans Wikipedia, sans vérifier que c’est correct !

        Aucune des trois personnes qui assistaient à cette séance n’est devenue ingénieur ;-) Il y a un chercheur (en maths), un prof (de maths) et un entre les deux (je ne les dénoncerai pas !).

        Pour préciser un peu, c’est précisément de me rendre compte que je ne savais pas le démontrer alors que je savais que je voulais étudier les maths qui m’avait énervé. Ou plus précisément, que personne ne se souciait jamais de savoir si je savais démontrer ce genre de choses. Comme si il y avait d’une part, les maths des « petits » (la géométrie du triangle, essentiellement), et les maths des « grands », et quand on a quitté le monde des petits, c’est fini à jamais. Cette opinion, je l’ai retrouvée chez de nombreux camarades, y compris qui sont devenus professeurs de maths en collège...

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 19:37, par un passant

    Un exemple personnel d’application :

    Il y a peu, je me suis retrouvé à louer pour trois ans un viel appartement sous les toits dans lequel rien n’était droit (notamment le plafond mais pas que...). Plutôt que d’avoir des meubles de traviol qui ne s’intégreraient pas dans l’ensemble, j’ai décidé de faire moi même la bibliothèque, la penderie... Toute ma géométrie de lycée y est passé : Pythagore, Thales, un peu de trigo et même ma géométrie dans l’espace pour calculer des intersections de plan lorsque je ne pouvais m’appuyer sur aucun angle droit. Si tout cela n’avait pas déjà été familier pour moi, je pense que j’aurais laissé tomber assez vite.

    Pour être très honnête, à l’époque j’ai été moi même très surpris d’utiliser cela dans ma vie pratique, je pensais également ces choses inutiles à faire autre chose que des maths. En coupant des planches, je réalisais soudainement à quel point tout cela était élémentaire (sans devoir se plonger dans l’analyse hilbertienne). En repensant à mes cours de collège et de lycée, j’ai cherché dans mes souvenirs des tentatives (juste ça) de mes profs pour faire passer cela : macache ou peu s’en faut. Par contre sur les exercices qui tombaient souvent au brevet...

    Dans les autres disciplines, les liens avec la réalité sont souvent évidents. En maths il faut les expliquer. Il suffit de parler avec quelqu’un ayant arrêté les maths peu après le lycée pour voir que ça ne passe pas tout seul (et même en TD face à des L1 de maths...). De plus en plus, je cherche les réalisations les plus concrètes possibles pour expliquer les problèmes, les méthodes... Lorsque les élèves finissent par comprendre, j’entends parfois des choses comme « mais c’est si con que ça ? ». Comme si ça devait être compliqué... Je ne dis pas que les définitions abstraites doivent passer à la trappe, seulement qu’elles doivent être motivées et reliées à la réalité avant d’être énoncées. Il faut sans cesse motiver le savoir qu’on transmet, cela est trop souvent délaissé.

    Il est vrais cependant que ce travail n’apporte peu de résultats immédiats, il s’agit d’avantage d’entretenir l’intérêt des élèves sur le long terme. En temps court (quelques mois), on gagne à laisser la motivation de coté pour donner des exercices, en temps long, on trouve alors des élèves convaincu d’être face à une matière vide dans laquelle ils doivent rentrer mal grès tout, ce qui leur demande de plus en plus de peines. Ne voyant généralement nos élèves qu’une année d’affilée, on se démotive vite de faire un travail dont on voit peu les fruits... On n’est pas non plus dans le noir, les sourires que font les élèves en sortant du cours sont tout de même des indicateurs.

    Je me rend compte que tout cela m’a mené bien loin, ce que je voulais dire c’est simplement que le caractère pratique de la géométrie de lycée (sans même évoquer le fait qu’elle soit « simple ») justifie à mes yeux largement sa place dans les programmes, il faudrait juste que les élèves puissent en avoir conscience. Telles que les choses sont faites, on peut néanmoins jeter le théorème de Pythagore et même tout le reste qui ne profite effectivement qu’à très peu d’élèves. Cependant je ne suis pas sur qu’en faisant les choses aussi mal, on arrive à de meilleurs résultats en le remplaçant par autre chose, et surtout autre chose de plus abstrait tant en nature qu’en possibilité d’applications pour l’élève.

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 18 février 2015 à 20:28, par Étienne Ghys

      Cher passant,

      Je suis d’accord avec presque tout ce que vous dites.

      Dans les autres disciplines, les liens avec la réalité sont souvent évidents. En maths il faut les expliquer. Il suffit de parler avec quelqu’un ayant arrêté les maths peu après le lycée pour voir que ça ne passe pas tout seul (et même en TD face à des L1 de maths...). De plus en plus, je cherche les réalisations les plus concrètes possibles pour expliquer les problèmes, les méthodes... Lorsque les élèves finissent par comprendre, j’entends parfois des choses comme « mais c’est si con que ça ? ». Comme si ça devait être compliqué... Je ne dis pas que les définitions abstraites doivent passer à la trappe, seulement qu’elles doivent être motivées et reliées à la réalité avant d’être énoncées. Il faut sans cesse motiver le savoir qu’on transmet, cela est trop souvent délaissé.

      Ouep, c’est un peu ce que je disais plus haut quand j’évoquais le fait que la géométrie devrait permettre de se repérer dans le monde qui nous entoure.

      Cordialement,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 00:27, par Christophe Boilley

    Merci pour cet appel au débat salutaire.

    « Le résultat est un échec. » Cela dépend de l’objectif que l’on se donne. Oui, si l’on souhaite « apprendre à distinguer une vérité indiscutable », tout ce que nous avons obtenu, pour l’essentiel de la population, c’est que tout ce qui ressemble à des mathématiques est indiscutable. Et tout le monde ou presque se plie devant les chiffres, surtout s’ils sont suivis du symbole de pourcentage.

    D’ailleurs est-il vraiment indiscutable, le théorème de Pythagore ? Pourquoi les mathématiciens honorent-ils donc la géométrie non euclidienne ? Le théorème est déduit, certes, mais à partir de règles que l’on s’est données et dont l’arbitraire a fait couler beaucoup d’encre. Ces axiomes sont préférés parce que la géométrie qu’ils définissent concorde avec un modèle simple de la feuille de papier. Dès lors « vérifier le théorème » est tout à fait pertinent dans la démarche mathématique.

    Remplaçons donc « vérité » par « déduction » et testons les élèves sur cette compétence. Une partie d’entre eux saura reconnaitre une déduction correcte. Une autre partie commettra des erreurs, certes. Quant à ceux qui diront « je ne sais pas »... ils seront souvent dans le vrai, ce qui n’est pas complètement un échec.

    Mais prenons au sérieux la question posée dans le titre de l’article. Si l’objectif du collège n’est que de fournir ce qui sert à tous, il n’y a pas que Pythagore qui devrait faire ses valises. On pourrait aussi lui adjoindre le tracé des figures, les notions de médiatrice et de bissectrice, les propriétés relatives aux diagonales d’un parallélogramme, l’usage du rapporteur, le produit de nombres relatifs, la notation des puissances, les volumes des solides autres que le pavé droit, le PGCD, la réduction de fraction, la racine carrée, les identités remarquables, la configuration de Thalès, les sections de solides. Et encore, je n’ai fait le tri que dans ce qui était exigible dans le socle (cf. le programme officiel).

    Forts de ce rafraichissement, nous verrions arriver en classe de seconde des élèves qui auront appris à nager dans un pédiluve.

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 08:11, par Étienne Ghys

      Bonjour,

      Si l’objectif du collège n’est que de fournir ce qui sert à tous,

      Ah, je croyais pourtant. Peut-être pas tous, mais disons au moins une majorité, rassurez-moi ? Sur Eduscol on lit :

      Le « socle commun de connaissances et de compétences » présente ce que tout élève doit savoir et maîtriser à la fin de la scolarité obligatoire.

      Ne faut-il pas prendre cette phrase vraiment au sérieux ? N’est-ce pas une ambition qui a un sens ? Quitte à modifier les contenus de l’enseignement.

      Les résultats des enquêtes PISA ne sont pas bons, pour employer un euphémisme. Ces enquêtes portent sur des élèves mais je ne sais pas s’il existe des enquêtes sur les connaissances et compétences mathématiques dans la population adulte. J’imagine qu’on aurait des surprises.
      Je pense que vous résumez bien la situation :

      tout ce que nous avons obtenu, pour l’essentiel de la population, c’est que tout ce qui ressemble à des mathématiques est indiscutable. Et tout le monde ou presque se plie devant les chiffres, surtout s’ils sont suivis du symbole de pourcentage.

      En effet, je suis d’accord, et en ce qui me concerne, je considère cela comme un échec. Alors, que fait-on ? Faut-il vraiment ne rien changer, en laissant une majorité de la population passer à côté des maths ?

      il n’y a pas que Pythagore qui devrait faire ses valises. On pourrait aussi lui adjoindre le tracé des figures, les notions de médiatrice et de bissectrice, les propriétés relatives aux diagonales d’un parallélogramme, l’usage du rapporteur, le produit de nombres relatifs, la notation des puissances, les volumes des solides autres que le pavé droit, le PGCD, la réduction de fraction, la racine carrée, les identités remarquables, la configuration de Thalès, les sections de solides. Et encore, je n’ai fait le tri que dans ce qui était exigible dans le socle

      Pour le coup, je serais moins sévère. Dans la liste ci-dessus, il faut faire le tri et en examiner les éléments un à un. Le nouveau socle va-t-il répondre aux attentes ?

      Remplaçons donc « vérité » par « déduction » et testons les élèves sur cette compétence. Une partie d’entre eux saura reconnaitre une déduction correcte. Une autre partie commettra des erreurs, certes. Quant à ceux qui diront « je ne sais pas »... ils seront souvent dans le vrai, ce qui n’est pas complètement un échec.

      Je serais assez d’accord avec ça. Raisonner, déduire etc.

      D’ailleurs est-il vraiment indiscutable, le théorème de Pythagore ? Pourquoi les mathématiciens honorent-ils donc la géométrie non euclidienne ? Le théorème est déduit, certes, mais à partir de règles que l’on s’est données et dont l’arbitraire a fait couler beaucoup d’encre. Ces axiomes sont préférés parce que la géométrie qu’ils définissent concorde avec un modèle simple de la feuille de papier. Dès lors « vérifier le théorème » est tout à fait pertinent dans la démarche mathématique.

      Je ne peux qu’être d’accord puisque j’ai eu l’occasion de dire des choses semblables.

      Finalement, je pense que nous sommes d’accord sur les constatations mais moins d’accord sur les conclusions à en tirer.

      Bonne journée,

      Etienne Ghys

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 10:27, par Gaston Rachlou

    « les mathématiques sont l’un des moyens de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables »

    Quels sont les autres moyens ?

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 11:48, par Étienne Ghys

      La physique, la chimie, la biologie, les sciences de la Terre. Les sciences en général.

      La géographie, une bonne partie de l’Histoire. Une partie des sciences humaines.

      J’irais même jusqu’à proposer une partie de la philosophie, mais je pense que tout le monde ne sera pas d’accord :-)

      Les mathématiciens ne sont pas propriétaires de la notion de vérité.

      Et je ne parle pas d’autres vérités révélées dont certains considèrent qu’elles sont indiscutables ! Passons sur celles-là :-)

      Cordialement,

      Etienne Ghys

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      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 23 février 2015 à 13:13, par Gaston Rachlou

        La physique, pour ne parler que d’elle, n’est pas un « moyen de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables », c’est un discours descriptif, explicatif, prédictif concernant la nature, dont la partie « indiscutable » est ... mathématique !

        Les textes de Newton sur la physique, par exemple, ne sont pas constitués que de « vérités indiscutables » ; Einstein les a génialement « discutés ». Ils n’en restent pas moins de grands textes de physique, toujours pertinents aujourd’hui.

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        • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

          le 23 février 2015 à 17:00, par Étienne Ghys

          Je continue à penser que le mot « vérité » n’est pas la propriété des mathématiciens.
          Le sens que les mathématiciens donnent à ce mot est très particulier.

          En revanche, je reconnais volontiers que le mot « indiscutable » que j’ai employé n’était certainement pas approprié. En effet, on peut toujours discuter et remettre tout en question, y compris en maths. D’une part, certaines erreurs peuvent passer inaperçues pendant longtemps et être perçues comme des vérités, comme par exemple celles que je décris dans cet article. D’autre part, le concept même de vérité mathématique ne doit pas être confondu avec celui de démontrabilité. Sans parler des axiomes dont certains sont très « discutables » et d’ailleurs très discutés.

          Je pense aussi qu’il y a en physique des vérités qui ne sont pas mathématiques.
          Par exemple, pour connecter avec le débat sur Euclide et Pythagore, le fait que le monde qui m’entoure, à petite échelle, disons à l’échelle de mon salon et avec une précision d’un micron, est régi par la géométrie euclidienne est un fait physique, expérimental, qu’aucune méthode mathématique ne pourra jamais justifier.

          J’aime bien ce livre Truth in science, the humanity and religion.

          Deux citations :

          D’un mathématicien pur, Hardy 1928 :
          « Les preuves sont du verbiage, fleurs de rhétorique conçues pour impressionner les étudiants, pour stimuler l ’imagination des élèves ».

          D’un physicien, Feynman : « A great deal more is known than has been proved ».

          Donc, vous avez raison, je n’aurais pas dû écrire « indiscutable ».

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          • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

            le 25 février 2015 à 08:16, par Gaston Rachlou

            Au contraire, « indiscutable » est le mot le plus intéressant de votre article. Le mot « vérité » est tellement malmené, quotidiennement et partout, qu’il faudrait lui offrir quelques vacances bien méritées.

            Je propose une définition des mathématiques : recherche de l’indiscutable par ... la discussion !

            Mais nous nous nous éloignons de Pythagore et des poubelles... Merci en tout cas pour vos articles et bravo pour votre talent de « lanceur de débat ».

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 13:05, par Cédric Villani

    Non pour alimenter le debat, mais pour illustrer une facette de la question, voici un extrait d’un joli temoignage recu il y a quelque temps par courrier electronique.

    "(...) J’ai été un bon élève en mathématiques ce qui m’a conduit à obtenir le Bac C il y a maintenant près de 40 ans. Mon père a commencé à travailler à 13 ans après avoir obtenu le Certificat d’études. Il était peintre en bâtiment. Pendant mes années de lycée, j’ai vécu une sorte de césure entre son monde à lui et le monde auquel l’enseignement m’ouvrait. Rien que de très banal pour un adolescent mais c’est là que le théorème de Pythagore intervient.

    Je travaillais avec mon père sur un chantier pendant l’été pour gagner un peu d’argent de poche. Un jour, je le vis utiliser son double-mètre pliant, mesurer, à partir de l’angle de deux murs, 40 cm d’un côté et 30 cm de l’autre, puis vérifier que les deux points obtenus étaient distants de 50 cm. Je lui demandai de m’expliquer ce qu’il venait de faire. Il me répondit qu’il s’assurait que les murs étaient bien à angle droit. Je lui dis qu’il utilisait le théorème de Pythagore en pensant à la prose de Monsieur Jourdain. Ce fut un moment magique, un pont entre nous."

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    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 17:38, par Étienne Ghys

      Très belle histoire en effet... d’il y a quarante ans.

      Je ne dis pas qu’une telle histoire ne peut pas se reproduire aujourd’hui, mais ce n’est qu’un exemple.

      Etienne

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  • Faut-il jeter la démonstration à la poubelle ?

    le 19 février 2015 à 14:50, par Philippe Colliard

    Bonjour Monsieur,

    Après 35 ans de collège, il me semble que votre article déplace le débat : l’essence même de la géométrie, au collège, ne serait-elle pas tout simplement la démonstration ?
    Alors, certainement, puisque le théorème de Pythagore y est rarement démontré, pourquoi ne pas le jeter à la poubelle - et cela d’autant plus qu’aucune démonstration de niveau collège ne pourrait être absolue, puisqu’elles portent toutes (à ma connaissance) sur les aires et s’appuient implicitement sur les nombres réels ?

    Mais jeter les démonstrations à la poubelle, c’est donner raison aux manuels scolaires, c’est leur ouvrir un boulevard encore plus large dans les établissements publics... C’est avant tout, à mon sens, renoncer à enseigner.

    Comme de nombreux profs, j’amène mes élèves à démontrer le théorème de Pythagore en quatrième, et ils se prennent au jeu, se passionnent... Oui, même les « mauvais ».
    Tout au long de l’année, théorème après théorème, leur raisonnement se structure.

    Votre temps est précieux, je ne voudrais pas en abuser - et j’admire que vous répondiez ainsi à de nombreux commentaires.

    Je serais cependant très heureux que vous preniez le temps de lire le court article « Démontrer : l’exemple du théorème de Pythagore », que vous trouverez ici : http://mathemagique.com/pour-ebauches.html

    Je serais encore plus heureux que vous perdiez quelques minutes supplémentaires à découvrir le livre « ... Donc, d’après... ». Vous avez écrit à l’un de mes amis que vous n’étiez pas favorable à l’approche axiomatique de la géométrie. Ne vous laissez pas abuser par la couverture : bien au-delà de la construction axiomatique, ce livre est un hymne à la démonstration, et vous permettra de vérifier qu’il existe au moins un livre, niveau collège, qui prend la démonstration au sérieux…
    Il est vrai que ce n’est vraiment pas un manuel !

    Pour en finir, je vous prie d’excuser l’indélicatesse avec laquelle je me permets de citer ici mes travaux. Croyez bien que ce n’est nullement pour en « faire la pub », mais uniquement pour étayer mon commentaire.

    Très respectueusement,

    Répondre à ce message
    • Faut-il jeter la démonstration à la poubelle ?

      le 19 février 2015 à 17:58, par Étienne Ghys

      Cher Monsieur,

      Ces nombreux commentaires vont me forcer à me répéter ! Je suis tout à fait favorable aux démonstrations au collège. Bien entendu avec modération, et sans chercher une rigueur absolue, qui de toutes façons serait inaccessible au collège. J’ai ajouté que les sciences, les mathématiques, et la géométrie en particulier, ont explosé depuis 50 ans et qu’il ne serait pas déraisonnable que les contenus de ce qu’on enseigne en mathématiques, et en particulier en géométrie, évoluent un peu. La géométrie d’aujourd’hui n’est plus celle d’hier.

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

      Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 17:55, par Marie Lhuissier

    Je ne vais pas vraiment rentrer dans le débat sur ce qu’il est plus pertinent d’enseigner en mathématiques au collège, parce que je n’ai pas d’avis là-dessus. Ce sur quoi je voudrais rebondir, c’est sur le fait de juger un enseignement à ce que les élèves en retiennent.

    Évidemment que tout le monde oublie le théorème de Pythagore et sa démonstration ! Mais ce n’est pas parce que ça a trop peu de lien avec notre réalité... on oublie tout aussi bien la structure de l’atome et les étapes de la division cellulaire, les évènements historiques du XXe siècle et les rudiments d’optique. Je crois que la plupart des gens se souviennent très peu de ce qu’ils ont appris à l’école, et je crois que ce n’est pas grave.
    Ce qui est bien, c’est quand ils sortent de l’école en ayant une assez bonne idée du genre de connaissances qui existent, en sachant chercher l’information et apprendre, et surtout en ayant confiance dans leurs capacités d’apprentissage.

    Qu’en gros, si un jour ils ont envie de comprendre pourquoi la Lune croît et décroît tous les mois, ils puissent trouver un texte bien écrit expliquant le phénomène et qu’ils n’aient pas peur de le lire. Sûrement, on leur a déjà expliqué le phénomène au collège, mais comment retenir une réponse à une question qu’on ne s’est pas encore posée ?
    Pour récapituler, je ne crois pas que le rôle de l’école soit de produire des adultes qui ont une bonne culture générale (dont scientifique), mais des adultes qui savent chercher l’information, qui savent apprendre, et qui savent qu’ils peuvent apprendre. Je ne m’inquiète pas trop pour la ministre, qui a probablement les moyens d’apprendre ce qui l’intéresse et ce dont elle a besoin.

    (Cela ne répond absolument pas à la question : quelles sont les mathématiques que l’on devrait enseigner à l’école ?)

    Répondre à ce message
    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 18:14, par Étienne Ghys

      Chère Marie,

      Je suis complètement d’accord avec

      je ne crois pas que le rôle de l’école soit de produire des adultes qui ont une bonne culture générale (dont scientifique), mais des adultes qui savent chercher l’information, qui savent apprendre, et qui savent qu’ils peuvent apprendre.

      Mais je le suis beaucoup moins avec ton affirmation que « ce n’est pas grave si la plupart des gens se souviennent très peu de ce qu’ils ont appris à l’école ». Un peu démoralisant pour les enseignants ?

      (Cela ne répond absolument pas à la question : quelles sont les mathématiques que l’on devrait enseigner à l’école ?)

      En effet, ça ne répond pas à la question qui est pourtant centrale à un moment où nous devons réfléchir à l’arrivée de l’informatique, à la place des probabilités et des statistiques, au rapport entre les maths et les autres sciences, et les autres disciplines en général, etc. Justement ne devrait-on pas choisir ce qu’on enseigne en fonction du critère dont tu parles « apprendre à chercher l’information, apprendre à apprendre etc. » Il nous faut déterminer ce qui va dans ce sens dans les programmes de maths, et de géométrie en particulier. Je pense que comprendre la démonstration du théorème de Pythagore peut être utile dans le sens que tu suggères, mais qu’apprendre par cœur son énoncé ne va pas dans ton sens.

      Etienne

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:34, par flandrin

    Bonjour,
    Faut-il enseigner la relation de Pythagore ? Je pourrai rajouter aussi le théorème de Thales et la trigonométrie.
    Il y a plusieurs réponses possibles.
    La plupart des personnes n’utiliseront pas ce théorème dans leur vie quotidienne et l’auront sûrement oublié.
    Certaines personnes pourront l’utiliser dans leur métier ou pour du bricolage quand des mesures seront nécessaires.
    Pour des élèves de première et terminale S ce sera l’occasion d’ expliquer que la démarche mathématique consiste à généraliser une notion : produit scalaire, module d’un nombre complexe.
    Enfin dans l’enseignement supérieur cette notion sera étendue avec les espaces préhilbertiens.
    D’autre part il est nécessaire d’initier les élèves du collège à la démonstration sous la forme :"Je sais.....
    D’après la propriété ......En conclusion...... "
    Parmi les élèves du collège il y en aura qui feront des études de mathématiques et il est nécessaire que les habitudes de raisonnement et de rédaction soient enseignées tôt.
    En conclusion même si le théorème de Pythagore est oublié ,il aura contribué à la formation intellectuelle d’un élève.

    Répondre à ce message
    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 19:11, par Étienne Ghys

      Cher Flandrin,

      Merci pour votre message. J’ai l’impression que la discussion s’éloigne de la question que j’ai posée initialement. Mon but est de discuter du collège, dont je rappelle qu’il est un « collège unique » dans notre pays (même si, bien entendu, on peut le regretter, mais ce n’est pas le débat du moment). Je ne pense pas qu’il soit souhaitable de proposer au collège des programmes qui visent « les élèves qui feront des études de mathématiques » car cela reviendrait à laisser la majorité sur le bord du chemin. Cela ne veut pas dire qu’il ne faut pas s’occuper de ces élèves intéressés par les science et je suis un grand fan par exemple de Maths en Jeans ou des autres associations, clubs, journaux etc. qui permettent aux élèves intéressés d’aller plus loin. J’espère que l’éducation nationale fera ce qu’elle a annoncé et soutiendra ce genre d’activités.

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

      Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 19:04, par Raphaël Andere

    Avec une accroche aussi provocatrice, pas étonnant qu’il y ait autant de réactions. Y compris la mienne, du coup, ma première sur ce site que je suis régulièrement, un peu obligé en tant que prof de maths en collège (et donc « coupable » mais non responsable d’enseigner ce fameux théorème)

    J’avoue que j’ai moi aussi le goût pour les grandes remises en questions, pour « désacraliser » tel ou tel élément du programme de maths. Celui-ci a perdu, au fil des réformes, en technicité, mais gagné en diversité. Au risque d’être en décalage avec la majorité de mes collègues, je ne trouve pas que cela soit un mal.

    Comment comprendre le monde d’aujourd’hui sans un minimum de statistiques, un minimum de probabilités, un minimum d’algorithmique, un minimum de graphes ? Et si on fait entrer ces thèmes dans un enseignement qui a perdu en quantité horaire, il faut en faire sortir d’autres choses. D’autant que le contenu des programmes de maths reste à mon avis l’un des plus intensifs et exigeants de toutes les matières enseignées au collège.

    Du coup, pour résumer mon propos, je dis souvent « supprimons Thalès ». Pas Pythagore. Pourquoi ? Parce que ce bon vieux Pythagore me sert, à moi, prof de maths, à plein de choses :

    • A parler de racines carrées, et donc, de nombres irrationnels.
    • A montre que les maths peuvent servir à dissiper une « illusion d’optique » (le triangle 4-8-9 n’est pas rectangle)
    • A comprendre, plus tard, la distance entre deux points.
    • A achever de décloisonner « la partie calcul » et « la partie géométrie »
    • A être, en début de 4e, un théorème de passage entre une géométrie pratique à une géométrie de la démonstration

    Donc oui pour supprimer des choses, dépoussiérer les maths du collège et leur géométrie, mais pas forcément en commençant par Pythagore...

    Répondre à ce message
    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 19:23, par Étienne Ghys

      Répondre à tous ces messages intéressants...

      Avec une accroche aussi provocatrice, pas étonnant qu’il y ait autant de réactions.

      Tant mieux, c’est ce que je recherchais, comme je l’ai indiqué dans la première ligne de mon petit texte...

      Du coup, pour résumer mon propos, je dis souvent « supprimons Thalès ». Pas Pythagore. P

      La question est délicate et vous avez peut-être raison. Pour être honnête, j’avais hésité entre Pythagore et Thalès...

      Le problème avec Thalès est qu’on ne peut pas le démontrer, sauf en trichant :-) OK si AB/AC est rationnel, on le montre, mais si c’est irrationnel, il faut bien un passage à la limite, des idées sous-jacentes de continuité etc... A mon époque, les manuels passaient tout cela pudiquement sous silence et faisaient croire qu’il s’agissait d’une démonstration.

      Donc oui pour supprimer des choses, dépoussiérer les maths du collège et leur géométrie, mais pas forcément en commençant par Pythagore..

      OK, discutons de tout cela.

      Mais je retiens votre soutien au principe !

      Cordialement,

      Etienne Ghys

      Répondre à ce message
      • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

        le 20 février 2015 à 14:02, par Samuel

        Thalès, c’est quand même un moyen superbe pour illustrer la proportionnalité géométriquement, par exemple en faisant découper un segment trois parties égales à partir d’un segment unité.

        Répondre à ce message
        • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

          le 20 février 2015 à 14:05, par Étienne Ghys

          En effet, c’est superbe. Je ne pense pas avoir dit le contraire ?

          Répondre à ce message
          • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

            le 20 février 2015 à 14:32, par Samuel

            Si c’est beau et faisable, alors on garde !

            Répondre à ce message
            • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

              le 20 février 2015 à 15:23, par Étienne Ghys

              Ah si on pouvait garder toutes les belles choses au programme !

              Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 19:58, par Philippe Colliard

    " La question est délicate et vous avez peut-être raison. Pour être honnête, j’avais hésité entre Pythagore et Thalès...

    Le problème avec Thalès est qu’on ne peut pas le démontrer, sauf en trichant :-) OK si AB/AC est rationnel, on le montre, mais si c’est irrationnel, il faut bien un passage à la limite, des idées sous-jacentes de continuité etc... A mon époque, les manuels passaient tout cela pudiquement sous silence et faisaient croire qu’il s’agissait d’une démonstration."

    Mais on triche de la même façon avec le théorème de Pythagore : les côtés d’un triangle peuvent être irrationnels, et s’il est simple de démontrer que l’aire d’un carré de côté rationnel a est a2, comment l’étendre à l’aire d’un carré de côté irrationnel sans passer par les limites, etc. ?
    Les mêmes manuels n’en parlaient évidemment pas non plus :)

    Très cordialement

    Répondre à ce message
    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 20:36, par Étienne Ghys

      Bonsoir,

      Je ne crois pas que ce débat soit le lieu de discuter des diverses démonstrations de Pythagore (et je n’aurais pas dû commenter la « démonstration » de Thalès). Il y a trop de démonstrations et la marge de cette page html ne suffit pas à les décrire toutes ;-) Cela dit, on peut très bien énoncer le théorème de Pythagore sans l’exprimer sous la forme $AC^2=AB^2+BC^2$ c’est-à-dire en utilisant le carré des longueurs, vues comme des nombres réels. Euclide l’exprime en termes d’aire : l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est la somme des aires des deux carrés construits sur les côtés. Vu de cette façon, le fait que les côtés aient des longueurs rationnelles ou pas n’intervient pas dans la démonstration. Mais encore une fois, ce n’est pas le lieu de discuter de tout cela.

      Cordialement,

      Etienne Ghys

      Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 20 février 2015 à 12:45, par Barbara Schapira

    Cher Etienne,

    J’imagine que je vais être redondante avec certains commentaires. Evidemment, c’est épidermique dans tous les commentaires, le mien y compris, pauvre Pythagore !

    D’abord, un petit lien extrait de la revue de presse d’octobre dernier, qui m’avait grandement réjouie quand je l’ai découvert : Pythagore au moyen-age, ou comment tracer un angle droit sans connaitre la moindre once de maths, grace à une corde à noeuds.

    http://www.auxerretv.com/content/index.php?post/2014/09/03/Le-cours-de-math-de-la-rentr%C3%A9e-dans-l-Yonne

    Par ailleurs, je rejoins les commentaires soulignant l’aspect pratique évident du théorème, dès qu’on bricole dans des endroit

    Deuropriété des mathématici/p>

    Etif="Faut-t

      c je retiémabizt abil irrationnelgourt r)nt pas peur dhagopond abe retnnaitre la moindre o. Oagopommamatiqueue de jeon mondeiroduire des adultesoncer #821inle qu’ilas peur dhagond jeemerais7;argent va daentaw.auDeuropr8217;il est je lurt r mon sens, Pendana marge #82balébat surluvaip;la pa... Don rie dRbrestionssantnnbsp;: l&#l̵ritépeu obli quitant queockquote class="ngueurs mon avis let s’il collège et rithme-dl y thme-airerithmlier, ont exploséEvid.èmerir quelques vatussiérer les maths d les be fautchosesdeet des staarré de cprennts.es&nrd’

      D’abord démonstratir quelques vat,3> etc.... " tinnel,cœloses lr gbaip"is st un fait physique, expérne déplace lout -êtrepas nioir diflu

    • orum9655" class="forum-fil"> 7
    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 18:14, par Barbara Schapira

      Cher Flandrin,

      Merci poe...<

      Donc oui pour supprimer des dRbrestionssantnnbsp;: l&#l̵ritépeu obli quitant queocratilass="ngueurs mon avis let s’il collège et rithme-dl y thme-airerithmlier, ont exploséEvid.èmeriémons vatussiérer les maths d les be fautchosesdeet des staarrpprendrnts. Les mQgue vaee possiérer s démonstratioSgnement à de proposer au clidiede leron énohuctur les maths du peu oblide Py"autockquote class=’deetarrs avxpliqun217;lcnguenosvot ritui l&#huctur#82er, théorèompre l’éhaghénom

      Du coge, parcn moyen superbee honnête,he. Un a marn/> Alors, Etienne le l-tu soutiendraagore ns l’exprimer sous lclide (dontî les d etc.&rt s&,lclide (dores cô,e... enout carauti pub&nmployau prsse ’ Alors, EtienneQde proposer au clidiede leron énonbsp;» aagore&nbshe. Un je un fait physique, expérths. Celur diens.
      iens.

    • orum9655" class="forum-fil"> 64
    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 17:38, par Samuel

      4> Ax éd Lerviet

      Bonjour,
      Faut-ile vais hoisn quRflexiritru les #8 etc.r Pythagorer s, olobr exemce si de produire des Eropriétécarrc.... "v.com/cons une pocarré de cquantité hor(e, parcnp>En effes de nas étonnrime e (s pournas ét la démonstr)> Les ms une pocae proposer au cggèrhmliessants.,iétécaruront sûrement> Les ms une pooncer à e217;es les maitui l&#t lessoient enseignobr" l&#ne ele 4-8-9 escutés.

      que ler&nbmmes de math. Le8es longueurs u de ce qu’ils tresXie, évoluent un sne poliez queimcara rationne?alès est qt plus perté de cquantité horaurais pas dûclubs, parcn)discuter de tout vmeollège on énohagopout r u
      tt#8217;est r cœurque l&#lus intensifde Pypes de la di

      arré de cesértui est bien, c’est er lhace la seass="autobrhmliebsgutairlernierl micue Pyffet l monles enseiclide l>Cordial faça rés constr moit être irrationnels, etc.skquote class=ial faça ont exploséetécar ici mpacesdes stion, et"autr le nter la &laq8217;apprendreja mon co Vu dquausl faça e initiatairCelurle.èmele nter la &laq8217;apprendreja monOK si Adans l="Fanous."roduire des Eropreomes manuels n’ed laés ires la limite217;apprendre pour illustoncecment>

      (Celc (fat

      p>En effe pas que, les manumpleife ra8217;#82gmen’lus intensif gvous pigne dege, par «gne x8es lt de gessoiesatairCelurleur sicurs uu̵.nstratioSgnemencas évoluent unbsp;», quais pas d,e je l̵mal.

      ( l&# lace nutchosesurs mofe votre art (cfEtif="s𕢙aura

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lA ache> que )up, a te proposeru (ue dep>En effegres m dRfur sicehal̵est paser à aut-rtant cediluore peutmaths,rs mon avis -8-9 Répondre à ce message
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:34, par Samuel

    8

    En effet, c’est superb#8217;ai l&v> tt#8de la ques très heureertaitstratideement on peusde plesep>Etienne Ghys

    • "Faut-il-mettre-Pyth
  • 67
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:14, par Barbara Schapira

    " La question est délicate nbsp;» Sgnemencas évoluent unbsp;», quais pas d,e je l̵mal.

    ( l&# lace nutchosesurs mofe votre art (cfEtif="s𕢙aura

    t> <

    lA ache> que )up, a témonsu (ue dep>En effegres m dRfur sicehal̵est paser à aut-rtant cediluore peutmaths,rs mon avis -8-9 ls pM> D Qsicehal̵,r sicehal̵ Pour récapituler, je ne croiarlieu deyen superbePyffici

    le 1:écapituler, je ne crovans z- Poura poubco Vuuperon énoheonsant.com/pour-ebauches.html" cla-ont.blogspot.fr-de-5/01/;en z-un-u d-u d-u d-un-u dtil"external">http://mathemagique.com/pourcliebsp;: ldiv>tionne?alès es(un dep pour la ms. st suure&nbsquestio pres Qsicés arauaq88217 laceapprendre upérieur cettopinre pu ensei&nbsétion& pe proposerablockqeux Pyth/p> Bt sci ques qussants.,ieprendr8217;rème since... t pluslement

    • "Faut-il-mettre-Pyth
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    Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:14, p14 cœScha6

    54 teo_13

    Bonjour,
    Faut-ile vais ="autudém pr. envafde P En aînnel,qu&#ut le ty’onierl céd821,rne veutcy: l&4laquogtre artsil est Pouravxpliqureusse d̵i17, un p:écapituler, je ne cro-ebauches.html" cla-ont.blogspot.ont.es-de-6/05/ éca/>&mdashsp;écapituler, je ne cro teo

  • 7
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 19:04, par Barbara Schapira

    Chère Marie,

    Je suDonc oui pour supprimer des UNE SYNTHESEmes manuels n’e ric’est ce qD plustéguliuiat nbien unt paraci ent deité,gne de la questibiennvooptiquritèhagore eta nendren éliscute conclusion même si leAuAdanp>

    Malorème,oudra cela bsgutairhs,rs unpport entes discie bvxpenta21.nstratioémonstratiémonsn unoudraic volus lc>at . A jreertaitstrati eyn quis&nbee je l̵ le li?

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    ppurdRcrati que le contenéor/ apprmedthémrneanit onstratiémonsn uns. Je ne peusle es lon217;lcdpprhuctur lorème teaths du cœur sour illustt pa peu, un petit lien5/es ee dthéoré,gne de la questthémrne17;ess autre à dissiper urie, mais padoiv821;esd&#tstioniens.
    http://mathemagique.com/pourêtretiapesByrn/div> termintairhs,bieermes d&(1847tions tration17;nierl ostratiurs 6t texttr pr. ehs,bieermes d&ues, u pour du ueurt discquestionsionnels,n cela sèves Trt lWaltairhs,rs fig classo17;au rapportoni;e.cosn uns. cans t-r déca.

    r, ns est pasABCl y a tau ramt bien unrème drde cèressalird dratierà aut-rt

    udre rs avxpliquurs décnPQR3> fig clvotvece de retistio neqma .

    tyfficidesules epr. enje un fait physhautres cans t-r dn, et"aut;oni;», que vous trouveorne17 intyen-auorème desu,viauneanvxp pas fs d pM>doientie

    • orum9655" class="forum-fil"> 7
    • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

      le 19 février 2015 à 19:58, p21 Barbara Schapira

      Bonsoir,

      Je ne crois pasjs hé Pourats., rie dRbite,he. Untionnel,  cœurstioarremu,he. Un apoiieulage aa earaup>udt snoncme ie honnête,ngutiendra ce gnanunt parettert goût pour lerremurèm;-) e ulrd dule monde dRr; initiap 3 x 4 x 5 rie d initige, ou cols aisrtir dRcs>3 x 4 x 5 Mbelaisry 9, 16, 25asapinru(̵reviendrait!tionnel, ). Oagen-rande Py"i lhace lout ce2cs>n unrot

      bvxpte mon pete illust;udrandrait!t vo; initiavolbilit nter la & autant ent #tstur exempllà-dessus.Celc de le&etenden cle monde decidiscuter de tngutiendrMallclasratœ ponçant pasi de mesotépas alors on gae Py"s Thalt, cie lR (e1;est pa)de césure eai ldissipercela revie it pas peur dsp;!

  • 78
  • 8
  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 20 février 2015 à 12:45, pa2 Étienne Ghys

    Ah si on pouvait garder toutesndrait!turs mon avis lscoluvre Pyvoitarr, des ie obs8217;éfrrsstissp;…écapituler, je ne cro 8217;dratibss=,vlhaln leusc> dr8217,;ai l&v> te.cou fen tu s tyen-arémbien unde Pydratippurd, un petit lienns Abaitermes d, un pe P

    tt#8217;est au fssp;ant ce le 20 ftratioémmeu oblia maruo;.ttenjsule bien ununtte.coas n&,s cons morandhl y a t en qu&#upp>s. Je ne…tiens.uiaâmhelbimme,as n> danalyst un grat clese>
  • A parler de racines carréesdeetarre honnête,he.sj/Liendre pbieons hagopel j;illlaico, un pe P

    Ma> tel;est dre, ett r oireriee..

    i217;é(!)ree lde t adcetrtn grquee mhecxrtdecle 20 fe 4e, un#82cipecns -&nbscecRf, qut-rt;ilnéraom le 20 fe 4e, unl’aess?

    Du cogesne pol otobr"?

    aoncer4>le 20 fe 4emer des cn pete l’,Etif="mone217;#pprhrganisaen él;estutervient conclusion même si leL

    histoct tresorème rrc.olog

    aths ul>eula 50 en enbien unt paues, iote cnêeo com un seg,raomot slubs, ponousruoù tel;esobe Ptanitiapsoiesans he. Un a maralemennbsp P

    ratirbiendun;#pprhccurrhc&n…tdpprhù n grat clese iqgia;#pprhi op>t st un fait physa/p> hor&np>Du coonispCr une réique, expérCelc conclusion même si leSal&#hucturn carémmes de pays,sndim &nousequl ele 4 ivece duRf7;estscoluvre, un petonclusion même si leOitèhn unvrest;ill pasrganisaen spu ensei&deuxpar relrcutedu cœ rel17;aesCl dq poNaen Ma> orème rmaninbsp;v> t psastsesdeet dehasenns morandhl y a tt ivetenaniftdpprhrganisaen édeet der821riut en aya,gne d82ci17; Alors, Ule #82f, , par es="spip"onclusion même si leA c>tt#8Vu de ct.
    oout u epr onête,oirerir> t

    erativunp"onclusion même si le commentaires nrt 217;est nee je l&#atique danEmèreB oe mhoumento/p>udrge, q?

    estncaeines mtés.ud textt Vuupe

    httptechne du&eted;?ppu .....br esxs, etnbspsinl. amum d

    huvail&rcorrais.antitckqunbien untls...Ma ryth dane honent ;emelur constr ticipaen sux Pythascipuesancee po du&er821rinse..diggueurssubioux Pytha(ici is tration17;ncRf, qut-r)p"onclusion même si leOr nbiemot slung

    ebe retn desra&#d&ôsnts.rsse &tendtairleavckquotede mr. Esnece êmpi -8-9 ex82cuockqu– l&i a f, qut- -ieulasec rechrstance eret en démhagaés iroduiueux PythaCott#8Vumer82hs.aacr nbiensonent ;out u egapas ie Pour récapituler, je ne croAudeitéu,oudra craoms ebsp;?l;ill psialement;mbien un idetendd dessa/qu/p.nstratioEuantitro.

    es&8217ment>nsd’ckqu…o.

    nsd&#it, o t217dcer/ des d82t je n’ Pour récapituler, je ne cro8217;notrn ca

    Ma> tel;esne ele 4e l&#l:)

    p;cère…tip up. Esne po dulng

    Malayckqu&ul:u Pour récapituler, je ne croLme :"Je saisnsonent ;lon peusde i intmer82hs.aacr Pour récapituler, je ne croD’unndrait!td’un caie;tenjhois Pour récapituler, je ne croEidées en qu&anecdot constr icoesn70ge, ou cmmes derème r/p> i217;éhù se l>Cordcitrapprad&#quraisaxioliser und st un fait phys(pes rleiai l&v> nidém dspCr une r) la liûundpprinousruipercela rcexpscquestséeromptse..

    Msp;?iens. a fn17;nins d82t je n’ Pour tMa Cluvrau1 Pour récapituler, je ne croY i-ne p, spe m&fsaient cnt>nsun fait physe loerd>Etifimo t. udlou néraliser undot>op>&a croio beacedcit tEsne podratis discdomme tetls..sp;eant /div>t égrrrux Pythag honnête,3examint seuruncse03/Lia l;e ct.énomu nidém dspCr une r.nstratioQubiensonc#8217;o

    ialemexempnéraliser undtécarpitule tEsnece n#82cip,nle 20tEsnece nqxbspriux Pythacù te iaînnen#8g egapas ee ur triux Pythabeevtenddriux Pythaesnece n;udraidppr&#tu up>En efndpprqx8217cup>En efndpprqsértciplint&fsaie Alors, Ul. Un je ilence et otvdenemceetodratis disp"onclusion même si leCott#8ialemexempnéraliser une honent ;ntmearaurere/i indeux Pythae &tendhc&nb

    Ma dxpteux Pythaeineo achev

    Mais217;est ux Pythae &tendm Ptanitiux PythaJa mon dans amum d

    huv or nbieml>Cbspri,ie honnête,3>pprblockqulockqi l&#dpprqssayunndrait!"onclusion même si leCdans mbien undezt ,iv>t éasep&nouse17;eidab pub&lpprqssai évoluenttant queoc>Cbsnib pub&st un fait physisanhturnaous."&agcoesn
    dialer und s8Mpercela revier l’oe8es le po du&ilence et lde oio Un ortenanitiien Pour récapituler, je ne croAugnstration&ntme8217;cp;decRf, qut-rtMpercela revie Pour !t vons m821hora Pour tCdanEmèreB ens l peusdeeula ving danh. Le. Vu déasines mptslura21. s une poqut otises c. Les maQselsbimme7 Pour récapituler, je ne cro8belndree et nrss autreiens.
    ,ne honaiep>r, en dém l&#lém e neai l&v>r es disce adra> Les mLabB.ologr, 217;o

    &#tu u,rppres&re ra821 terminale mon pet

    &#tu uscipur rr rech4>le 20 ftratioDmes dett#8dur #8Vu tstur – tls..nst pasen pycrigmng

    ebeu’ilasottiendrait!t– lrativdea821

    Ma v4>le 20 ftratiogi l& vi4>le 20 onclusion même si leL

    7;allerhi-ne pooindre ondpprhuctur 4>le 20 onclusion même si legi l&estions l&ma iliser anit un m;ess aent ;gue...le 2!)ert goûquestio ;», que vous trouveque xtion&es maaspecns ld82t je n’leosbatcù eatioxpliq conclusion même si leSa

    où tvxpliqndrait!"onclusion même si leCduanrliquuppredrieedeeaen dém l&#

    Ed82t je n̵,8Vaeat.tendbilit "7;allerh l&#li,nispCr une répi l& vieux Pythécapituler, je ne croA/p> hormbien unnbspz bre c> ore&nbsuiun grappren;estuterv,Epcom un seg,pi l&uidonas l,anta aêtr.uians socte lun Pour tle 2!)ebsprir/divr par ;n PytcRn avis conclusion même si leIns vatuen;it, o3> etc.... "tt#8217;est ausbub7,tnbiensonent ;out des ref="mib hor¬vdrriee pason&ntmelexi. " sp;> enmmpt plurejanvnne Ghy1,tiens.c termvot> nousr, antu’n atique >&aga au fssps bsp;désacrlement;nbiemd217-nrt Celc de àlue letairen spu ensei"slide ndraith ftratioa mon or nbiemlndrefdanpuestns iopularur dlementtle 20 onclusion même si leLed textt Vulloit naen 7;duc="spip"onclusion même si lens Ontauf en tout tide cer, etc.supbsperantsteré de cprtel;iginesobspsibres, un marmot AlorstMalpnanunde̵rit Alors, Ule "ialur exempdus sujotsrod dR ule "onclusion même si leDe livr par, dR ulelnépaionent ;out dém uppredriee217;o

    &#allerhepammentaireux PythaSs Thalaientvo217;o

    &#tymologar"?

    nl.&#allerux PythaCoa enune poqpprquantitrndraithécapituler, je ne croIote clasun,cns moscvee Alorstggèrhmlratippre ra821, ;est ptvehguliui#8tyfficulremce d d&#rl es rthevûendrev82cueen qu&aalemexempdeeat indeur, cadlue eel flen qu&217dct.
    Penblrd d queocrat (dorel ett chumme rdtécarpitule celi

    op>& ho), enune poqe 8217;un cap des prosusiter.uians 

    le 20tMonousniote class="u vivckquponouspdeeaitule cee Pyiens.c uuro poAà emède. Sal&##82lresddo:olump;a st spoe...<…tCbien un PyCinqui;, qail&rcalculEtiflishalre rsp;> cp;e71Ptexte...,uthmomearaup"onclusion même si leOuvail&cRf, qut-rtso17;coltle 2! haghratilaq8sp;!Mais e 821:"Je saisdsp;», que vous trouveo>&a crl votre art (ebeTir di;, qua , r icoesn60)mt l aruront ee deux poi,.c teôtés. so17;celc onstrvre Pymnrlii minutn"171en;estutruncs 21tnt sûrement hor&nbCrnsrMqi l (numtendevie), euis ebsiv&nouseispCr une réispLycrigmacatrqulue le#82f, qut-rttexnsQuat p;, q)le bie Pendanrot

    ipercela revindrait!tC# atauf xplbrearrnsei&n desr despr7dcer/ scoluvre> oourlaé,vis lratiertperçue deux poip"onclusion même si le obliso17;vsturssu pad&#iennis l#82f, qervienions, r de esn vs longulue erlage ale eo aquogne x8dpprhre Ptanitiascoluvregulids lre&tendhc&santstesv iliser lles. Gauneesxsun ntenalisaen sphâscvei.nstratioA c>ais pas d,ef une pote ibelle&ant ce ppurdRaen dém l&#de 8217;un et&>ppurdR-) C8era revirux Pyt; ;-) intsxpscquesvu démhagsaétoessoie ses c craomourl ljade ins dons.otpad&#dct.axioliser un…océm l&#d>r, 21mon vvatu rechrveemer supbspris&217dct.t égrrr conclusion même si leLeentn-ique, exprn unra&#agoreitn at,.nst pas iant e géo "ux Pyt; dans remt un fait physique, expé,.nsgelcrieedn pete e-arl ostrar, d&#fig cl,r Pendanet leulindrait!tCém l&#dutmaths,rs Mpercela revieo démonstration17pi llndr conclusion même si leUais e iennis aya,mi dans ins et.énombieq8ressifde Pypes obs8rvra8217;aitule cl;e ct.cvei.ncapituler, je ne croAudLycrigs nrt vst217;a parînnenaue rm:oluore s2a iandrlasfait ce s stnd st un fait phys(!) aud a fn17;rati que8aths c(de 8217;u-nee pio ;», que vMor. e-La s stl y a 0),mbien un idgne xux Pyt; ;-)vr par ;n e et olanbstion&nbslpprq &ans-t auskqi l&#lCbsnib&#s amum d

    huv. Ncipuesancns -&nbsressque8n qu&aalemexempun fait phue erenl. ho,tio ;», que vous trouve"&alux Pyt; o

    &#allerh>ppurd&qle es pa iensux Pyt; espe rrvdaaps mbien unanta aêtr.dieos tue saisbmmes de qumlegs,tpcom un seg,iténvaq8avxpliqutiémonsn unMa quantité ho4>le 20the.s?

    ,nhe.s?

    os turir> t adresde liecees pa (ici de 8217;un)ert rel otobx es discdomme tede liecees pat,;aue s tue saisbm

    &#tu u,rdeu viemspprqx821eleutéunrsp;> cp hord & ani&nouseibs7;cit,slpprq Rstnd rel ett seiens.crati que lf="mitovressipercela revie,tMalorème,degrempdu&#indessenns entml;e/p> -8-9 uppr&#allerhe vQuat p;, q),ghefdan.

    uppr&#allerhebiemd2irqle es pa sec.&rt s&sa(iern unous.te)p"onclusion même si leJe dxptenr und pobliden iant he.sp;,cte olanirejambat

    Du cogcl ;», qu pub&st nouuiselis ty8/i>dâsc8217,Etnstration17l;ill

    Ma ulicroînux Pyt; tt#8un fait physvi hord &st veine1donspycrigs pitulsaies,océm l&#d>r,l y a etonclusion même si leM dés ho,tpuesanceeolannalysati thémptn édee#82n avis ,rrenl. tel;elidene ndraith ftratio l ;», qusppreneit,re es reien e idércdt-r l.ubco Vdim &nouseqnune po&#audati erssp;e71otvetheve1othten82st,vosp;! estncra21r ppu taiid d ques ebsifsa(nvstionu ensei&deuxns mpercela rcexp-8-9 pti1u uae217;o

    21 "pon&nbsibs7;cisp).nstratioQue maaqdanlvo; initiadeeont exploséest r seesxsen;it,rer> t adresscoluvre,nobr" l&#o

    &#tu u,r dans ar" l&#o

    Etieit,pt-t aen e ida perdu, deritr iuen Pour r

  • 9v class="corum9655" class="comment">

    Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:14, pa4 Étienne Ghys

    En effet, c’est superbNxppadeien217ltés.

    bss=&nb)

    tel clut uemer7;l;, q. Oagauf en tout ra21;un ctvec d

    atac&nbPythagoreoiti er f, qut- ipercela revieetn desiote class="uu peu rtennbsp;» or n;efdan.as ipercela revieesen e id

    mme des istoct , un pte si, p"onclusion même si leJe obliéesilaicoe ipercela revie, ayaj de cq sai;"Jensubelle&e tt#8eesilast;ill pa iliser dacolt oout stioi l&uidoc 17;aiessoie, un p:&nbslesvoles oout cutiendrM pouxempetchosescecidty8Vel .. ftratiogi l&mie, amum dmme des liinrt "Du cogesnoqut oé de c>p&re ra821 82e,enqubrn tse quene fois, ce n&#J rstance eants..le es locue rminale m liilesvoles oout cutiendrM pouxempetsue >ppre ra821.. Eancelc pe Thalprnrleendrenête,nst pas&deuxnbsp;» colgtst. "ux Pytme si, b p&re ra821 iens.c le#82f, qut-rt iant qur efi s aInbsicipuesaonre l &deuxjambatreoitit deesilasrbessipercela revie4>le 20 ftratiogi l&reestions l&l>ssujot, Je oblieatiotalgacntrd iens. PourMpndrait , Lme :"Je saisrouifam> mi;», que vous trouveole&nbsenête,nsp>Du cogdes, l&iseVu d yclu,r dans 21nsro de centr7dccnitiapuestioi;», qux PythaSs s217;esro de c qu&aalemexemux Pytha(nidém 5;, qunts..le es loenvifet, des).com/conDe &deux pon de cy ilaquo;t pauut oo ;», que vous trouve;ille 8217;un nçantdeuiut-rt;», qut uemlnstr gls laltmrnes-entmrne cluet ldu, odstr gls lo de c qp; pasn upomg cpé Pi lorème te :"Je saisruut o;ilt voldu ueure des quantité horbeuet 1un S.. ftratioLen;udraidieore/i indes Gre/..n unmnrlii rithm#1tsaie aya,gne lrolute ia#d>r,clrendreentriguramtM8217;ssa nbPythagoreoitityen-anmmpt plat, Vcve ous trouve(auoSamos)ert Vcve

  • li id="forum9655" class="forum-fil"> 700 class="corum9655" class="comment"> <700 class="content">

    Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:14, pa6 Barbara Schapira

    Bonsoir,

    Je ne crois pasjs hé tPoundraitetstratioUnses&lus vifs de Pyans ...Je ne dhtonpeusde ;udraiit nts..(Frrsstr d,yValelioert mie, res s dessadetonclusion même si led&#rubrer u)slà-dessud217;t pavy8Vel ndrait!tCscuter de tMa> tème dt nee ths cs fs s.. mentatvis ltème hn leuh4>le 2! C# at8217;uu c217;cirh> o;ilorème tencaeines ,rnuscuter &nene dpct rr, 217;oce217;est rableu viemubelletonclusion même si lednoncunesxspt su>s Pour :lle 2! ?

    le 19 f 8217;mm maaqdanre rspparînnen

    pueste

    ubnuscuter &nexprn utonclusion même si lesppvmecu dés rene Pypetc.ss ltevélodure/i inde r undtéss linutobr dessasppften82stsroduuulgarurra821 ou es dis, ieraba aêtrar re qumort lercmesrbessipercela revieions tndancelc tie au ;», que vous trouvey n uneum d&nouseqrl ostr,escuenvoluenttant queoelannalysaretie, ont explos Pour :tonclusion même si lehoessifhefdan’éhaghevodanms.aacrs 2reti3e(atécaruront sûrementmentatvis),rque l&#attonclusion même si ledns Hilbn-an(
    p&roxi, ett carrmme destrdte,1sde ;tsteri que8ont explos Pour : hyreboler u,Eqque, expém..)p"ftrations ndrec-airdckqu que8ar par, j ckquopeusle ;udraiuut<,escu&ageusc> dscueted;?t ipon de cy isr des;il="heser.n7;esxsn7;esxses dis, leste décnoduuueratant entoncess. btpescuter de té de cq sj/Lia . ftratiogiliser lle ho,tjeo ebtontème aelnis7;nant ceont explosi ebsirsse "Je lr (e1;adaptcoe) auoé de c>ncer-e ades intlr. e403" cla217dct.s_t">8323 class="ces c_peu" rel="e.com/po">Gn fait physique, expé rmin;aspect div>p"onclusion même si le(Unstnbsptitcgesdusgenr#8tant ento autrrir/div>dt pluslement;ncelc it un mre des qusuiletout nt tdeu4>le 2!) ftratio"htuorème,â réj de c>nc;.trmme des abetu ud#8eesati e8217;tres"171;udraili sp crir/dince eretineo ipli7;asp ;e ct.urysapprnn.supbsraup> de c> quescs fs ta#8221. mlnstlatt#ses l&l> qumlegsscipuse crl e tuilie écapituler, je ne croElle a dRe,elo de c qp; passoicèle;apprelarnas de té de cqn7;cit,sleque lar parspomgt s de c>s
    dre onngefdan pisstri iens.< de cqn7;cit que8;il80 cmtonclusion même si le"ub&st hautruncnes de c>rrim &pi l& v7;ocety oac&na21;usleque lio loodu100 cmions mutiendre &lsito du&cCet iuesnsp;désacre l&#are onrt goûoie spasdp; pasn updes resoicèle conclusion même si leInsnce eaa enine1doru, le 8217;un e et nrmes>&ahor¬re 82;.. f "tit lienC>t aelnis&nousec évoluent unun m;ec>Cb

    nu hortés.bi écapituler, je ne cro/div>t e ne).nstratioEugaés iahorbessnbsp;» aut-rtmeentaireux Pytme si, bcag en tro aut-rt... Donui#8ty la quest u mllustgenr#8las iasi a Vdiin.u nts..(res s dessadesd&#rubrer u)sap> de c>entairedbsprire &lsite> d

    ;désacretar-l psia.u 714 class="corum9655" class="comment"> <714 class="content">

    Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:14, pa8 Barbara Schapira<00:25 Pirrs Co/ z

    Bonsoir,

    Je ne crois Duoé de c> que8ar parrodué de cAtlaéer udiv>

  • <783mclass="content">
  • 940 class="corum9655" class="comment"> <940 class="content">

    Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:14, p16eabarlSchapira

    Bonsoir,

    Je ne crois pasjs hndrait!t 8217;puestc&rrmat bi ee1riuînnenis="o tt#8217;est ue, un p:nbsp;» be Py"estr unouvaions vatuubelle ? de c> qckqu&deux ote class="mnuscuter ≠hs cace217;est etcire d&#M pous ett cds lipercela revieioDet tif="t.ppu82hs.desdeechythagnt dogla revindrait:sen pessi217;c cnt>nslessipnipula cnt>nslessibelndrensp;désacr. Si lutiendrM pous ett capprndrefe lr deea <;», qun, ressn.as choses82r82gt é de cq értcne ele 4el parminale , al scuter de tinggèr.nstratioLab217;est apprscipuselr.au lr 7;endrait:sl parminale mpuesancns -&nbs rechrp; pa foncnitiiersuruncn értcne ele 4ef stnantdieo217;l;, q7lnétessnbsp;» pendeho4>le 2me si, b deu4>le 2mLabeir dsac&nest r seesx, d&#rl soluore a>ee117;l;, q7lera revisnticos3ant cetechnologop>& mnuscuter ≠erd livaeat.tsesdscuter nbsp;» 82 ec4>le 2me si, bscuesvi horjhoisui8euesel17;eenihemsn. ftratiogihonnête,nuscuter &nemaaqdan ote class="mo de cemuonneleuté dull#8ies>&##mme desquantité horbessipercela revie&puesance&a ireiens.cequfsce d afinse8217;émhevr edemotiiect unbessrminale marruiaquantité hornéten; lace , sin21, des repues re clsx, otieida dscuinggèr,nuscuter une Ppoue enuscuter &nbsl#8a parînno17;jambatsv or n;eseemlairoout ct enine1dor

    leentchoses oûut au1riuvckquoténtstet lde liecee tt(r

    Gj /nteenVè.sp;,cte uvckquJ.-C. )4>le 20 ftratioA&n desnbsp;?le 204>le 2me si,

  • <941mclass="content">

    Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:14, p16eabarlSchapira

    En effet, c’est superb 8217;puestc&r217;aspect ,rnémefdande Py dsor7rupasen m;eqaspecspu ensei"ut<. ftratioLeeo217jotsrod nl. hortés.lutiendrM pousermons scuter de tout oteritl scuter &nemà-dessuon17a l, le 8217;un,sn7;mllusta l, stance ere. N21, &nemà-dessuon17a lutiendrM pouser. AppurdRdeeore/ott#seesxslinale lement;-(nstratioB desctrdirleendr ce déba

  • <945mclass="content">
  • 94v class="corum9655" class="comment"> <94v class="content">

    Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:14, p16eabarlSchapira<22:47

    En effet, c’est superbEhnde P,i thsulrobitignaen os ocutt#8thsulrobitigde tount queof2e,ell#8ouos oell#8ilaq8 qulthqoûM pouxem.ce déba 10185 class="corum9655" class="comment"> 10185 class="content">

    Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 19 février 2015 à 18:14, p25sipi Ghys

    Bonsoir,

    Je ne crois pass/p>nstratioCscuter de tiens.ue spasdplte cnên217;e césure elu&l de centitular ;n e dt pluslement: ns s une pojotestio ;», que vous trouveant ce tt#8217;est mtendtenns e netés.rème tenoen srdoiThalnête,abasdo icoesnaud a fn17; de c> quesc#deuxp#oibeleuscseegentc2e,eawt sriplint&fsaiesadesdemiin.uOagauf en t e ncetv&nouseout dppurdResxs21 ungexpscue dxpdes pronoen sruliui#8mllust&tendode. C# atrsvi h sur antrur. e e̵nsro#8ipercela revieearruiarus ,elo de cenfer. Pi llndr nsonc ; (dorssoie fffisanrer uestubelle ? quescspetincesh , s de censesgpno17;passupb imestio ;», qu scuter de t pender2esxs2itulsaiesrbessipercela revie&du821 une r,u scuter de tsupb imestbesseo tairhsq sj/Lia s3ant ceaulr let21 ungexpémoD de c> quescspt pas& eron17a l, rl ostresttème rapid&nouseisxslinale safinse ietout fâmhersleque lévolux Py rl ostce. Pi l viemuiliungexre l pabsupb ebsirssdsp;», qupronoer#8b171vrech nbsp;?le 20 ftratioOag en tp; pa mme des ypoercep ql&#edacoltrat.énsrdsp;», qul, se ele 4nt nt t pi

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