Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

Un titre volontairement provocateur dans l’espoir de lancer un débat animé sur IdM. 

Le 18 février 2015  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (66)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

En préambule, pour éviter un malentendu, je voudrais dire que je suis mathématicien, et plus précisément géomètre, et que je suis bien sûr admiratif du bel édifice que représente la géométrie du plan, avec ses joyaux, dont le célébrissime théorème de Pythagore. Je dirais même que c’est probablement la découverte de cette partie des mathématiques, au collège, qui a été le déclic pour mon intérêt pour les maths. Cela dit, les choses ont changé, le temps a passé, et la France du général de Gaulle ne ressemble pas beaucoup à celle de François Hollande. D’autre part nous conviendrons tous que le but principal de l’enseignement des mathématiques au collège n’est pas de former des chercheurs scientifiques.

Que faut-il enseigner aujourd’hui ? Un élève qui arrive au baccalauréat a subi [1] deux mille heures de cours de mathématiques. Il ne faut pas se cacher la face : le résultat est un échec. Pour fixer les idées, je prends l’exemple du théorème de Pythagore dont j’écrivais un peu plus haut qu’il est « célébrissime ». Le nom de Pythagore est sans aucun doute connu d’une vaste majorité de la population. Je serais prêt à parier qu’au moins 80% de réponses à la question « quels théorèmes pouvez-vous citer » contiendraient Pythagore ou Thalès. En revanche, je suis également prêt à parier que moins de 20% de la population seraient capables de l’énoncer (correctement), et probablement moins de 5% de le démontrer. Que s’est-il passé ? Pour quelle raison ce bijou mathématique passe-t-il aux oubliettes dès que possible ? Ne faut-il pas en tirer des conclusions et se demander s’il est vraiment utile d’enseigner à tous quelque chose que presque tous s’empressent d’oublier ?

Bien sûr, le théorème de Pythagore est utile à des tas de gens, comme par exemple… les scientifiques. On pourrait espérer aussi que les architectes l’utilisent, mais les angles droits deviennent si rares dans les bâtiments d’aujourd’hui, et les logiciels de conception sont si efficaces. On peut très bien vivre sans connaître le théorème de Pythagore et il y a infiniment d’autres choses plus importantes. Alors pourquoi l’enseigner ? Selon moi, il n’y aurait qu’une seule justification : ce serait de le démontrer. La plupart des manuels scolaires ont abandonné l’idée même de démontrer un théorème et le pauvre Pythagore en est réduit à une « propriété » qu’il faut apprendre par cœur, sans chercher à la comprendre. Pourquoi des carrés et pas des cubes ? Parce que c’est écrit dans le manuel ? Parfois, on demande à l’élève de mesurer les côtés avec sa règle, ou avec son logiciel de géométrie dynamique, et de « vérifier le théorème » [2]. Il me semble que l’un des rôles principaux de l’enseignement des mathématiques est d’apprendre aux élèves à distinguer une vérité indiscutable d’un point de vue, d’une opinion, ou d’une croyance. Nous pouvons avoir des idées qui divergent sur ceci ou sur cela, mais les mathématiques sont l’un des moyens de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables. Un antidote au dogmatisme, dont nous avons bien besoin. Les programmes de mathématiques actuels ont supprimé presque toutes les démonstrations. Selon moi, le théorème de Pythagore, sans une démonstration (il y en a beaucoup) n’a pas d’intérêt au collège.

Évidemment il faut faire des choix et on ne peut pas tout enseigner. Quand j’étais au collège, l’informatique n’existait pas et la biologie n’avait pas encore fait les progrès spectaculaires qu’on connaît aujourd’hui. Il est normal que les mathématiciens laissent la place à tous ces nouveaux domaines de connaissance et cela entraîne mécaniquement les diminutions d’horaires que nous avons connus. Mezalor, comment choisir la partie des mathématiques qu’on enseigne ? Jusqu’à présent, à l’exception de la désastreuse aventure des maths modernes [3], on a procédé par continuité en modifiant localement ceci ou cela. Le théorème de Pythagore a perdu son panache, sa raison d’être, sa démonstration, mais il est toujours là, un peu par inertie, transformé en une triste « propriété » qu’il faut apprendre par cœur. Hélas, cet énoncé ne fait pas partie du quotidien de nos jeunes, qui n’y voient aucun intérêt, pour la majorité d’entre eux. Ne faut-il pas prendre en compte le monde dans lequel ces jeunes vivent et essayer de trouver des mathématiques qui les aident à mieux s’y retrouver ? Se repérer dans le monde, n’est-ce pas la définition de la géométrie ?

Voici un exemple, très certainement discutable, d’une « nouvelle géométrie » qu’on pourrait aborder à l’école et qui serait plus proche des préoccupations des élèves : la géométrie des réseaux. C’est devenu une banalité : nous vivons dans des réseaux multiples, internet, Facebook, la SNCF, Skype, etc. Les adolescents (et autres) comptent leurs « amis » sur Facebook. Les grands réseaux ont des géométries qui n’ont rien d’euclidien. Les mathématiques qui sont impliquées sont variées : théorie des graphes et combinatoire bien sûr, mais aussi probabilités, sans oublier les aspects informatiques et algorithmiques. Je ne propose pas bien entendu un cours structuré sur la théorie des graphes au collège, mais il me semble qu’on peut aborder quelques points très simples et très instructifs. Plutôt que d’obliger les collégiens à apprendre par cœur, et sans explication, que le volume d’une boule de rayon $R$ est $\frac{4}{3} \pi R^3$, ne serait-il pas préférable de les faire réfléchir à la croissance exponentielle des boules dans les réseaux sociaux (combien y a-t-il d’amis des amis de mes amis ?). Comment se propage l’information (ou les fausses informations) à l’intérieur d’un réseau ? Qu’est-ce que le phénomène du petit monde ? Qu’est-ce qu’un triangle rectangle dans le réseau SNCF [4] ? Quel algorithme Google map utilise-t-il pour me proposer le meilleur itinéraire pour aller de A à B ? Évidemment, de la même manière qu’un théorème sans démonstration est une coquille vide, un algorithme requiert une preuve et on ne peut se contenter de l’utiliser aveuglément.

La géométrie a changé. Elle ne manipule plus seulement des triangles et des cercles ; elle se préoccupe du monde qui nous entoure qui n’est, heureusement, que très rarement euclidien.

Léo Ferré était-il visionnaire ?

« Il faut tuer l’intelligence des mots anciens
Avec des mots tout relatifs, courbes, comme tu voudras
Il faut mettre Euclide dans une poubelle
Mettez-vous-le bien dans la courbure. »

Le chien, 1969

Post-scriptum :

Évidemment, le théorème de Pythagore apparaît souvent dans IdM. Cliquez ici, , , ou encore .

Notes

[1Je pense que c’est le bon mot, pour la majorité des élèves.

[2Dans les meilleurs ouvrages on trouve parfois en fin de chapitre une esquisse de preuve avec des puzzles, mais je suis convaincu que les enseignants n’ont pas le temps d’en discuter sérieusement, ni même de saisir l’occasion pour expliquer le concept de démonstration en mathématiques.

[3Mon époque.

[4On assimile souvent le réseau SNCF, en exagérant beaucoup, à une structure arborescente. Le lecteur intéressé pourra s’inspirer de cet article pour montrer que dans un « triangle rectangle SNCF », l’hypoténuse est la somme des deux autres côtés... Pas besoin d’élever au carré. Bizarre :-)

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 16:45, par Étienne Ghys

    Cher Clement_M,

    Merci pour vos remarques et questions qui vont me permettre de préciser ma pensée.

    Je trouve que vous évacuez un peu l’intérêt de la géométrie euclidienne dans la vie de tous les jours : faire des plans de bricolage, optimiser son rangement (en calculant des volumes), comprendre des objets du quotidien (sphère, cube, etc...), expliquer des notions simples de la vie courante : distance et angle...

    Je n’ai pas proposé de supprimer la géométrie ! Loin de là. J’ai pris l’exemple du théorème de Pythagore et j’ai écrit 1/ que l’enseigner sans le démontrer n’a pas d’intérêt au collège et 2/ qu’il faut faire des choix dans ce qu’on enseigne et que, peut-être le théorème de Pythagore ne joue plus le même rôle aujourd’hui qu’il y a 50 ans. Bien entendu, je suis d’accord avec vous que « comprendre les objets du quotidiens » est une nécessité. Cubes et sphères par exemple, bien sûr. Mais de là à enseigner comme une boîte noire que le volume d’une boule est $\frac{4}{3} \pi R^3$, c’est un peu trop… Je ne suis pas sûr que beaucoup de gens ont besoin de cette formule pour leur bricolage ou pour optimiser leur rangement. Ceux qui en ont besoin la trouvent en quelques clics sur internet (s’ils savent naviguer dans le réseau internet !).

    Vous souhaitez remplacer la géométrie euclidienne par ses géométries non-euclidiennes ?

    Là encore, je n’ai pas proposé de supprimer la géométrie euclidienne :-) Il serait ridicule de remplacer la géométrie euclidienne par la géométrie hyperbolique. Je suggère simplement que nous naviguons en permanence dans des tas d’espaces différents (qu’ils soient physiques, virtuels, psychologiques ou autres) et que la « géométrie » telle que les mathématiciens d’aujourd’hui la comprennent est plurielle par essence et qu’elle ne peut se limiter à la géométrie euclidienne. Je ne propose pas de faire une révolution complète :-) mais de trouver le moyen de montrer d’autres espaces aux élèves, de leur montrer qu’ils ne se comportent pas nécessairement comme un plan euclidien et que la géométrie, bien comprise, peut aider à les comprendre mieux.

    Vous semblez attacher à la démonstration (et je le suis aussi !) donc j’aimerais savoir quelle(s) démonstration(s) voudriez-vous faire au collège à propos de cette géométrie des réseaux ?

    Je vais donner une réponse qui ne plaira peut-être pas. Il faut des démonstrations de toutes sortes. L’informatique va entrer à l’école, et c’est une très bonne chose. Un théorème en informatique, c’est un programme ou un algorithme, et faut le « démontrer » c’est-à-dire comprendre pourquoi il marche, comment il marche, à tous les coups. Cela nécessite une démarche intellectuelle. Alors, une réponse à votre question est dans mon texte : pourquoi ne pas discuter de quelques algorithmes qui permettent de trouver le plus court chemin d’un point à un autre sur une carte de géographie : y a-t-il plus géométrique que ce problème ?
    Mais je pourrais donner d’autres exemples.

    Les enseignants et ceux qui évaluent les programmes s’attachent souvent à dire qu’on ne voit les bienfaits/méfaits d’un nouveau programme que des années plus tard, ne pensez-vous pas qu’un enseignement qui colle à la réalité (comme celui que vous proposez pour la géométrie) risque de perturber les élèves comme les enseignants ?

    Là, je dois dire que je suis surpris par votre question. Vous craignez qu’un enseignement « qui colle à la réalité » perturbe élèves et enseignants ? C’est le contraire qui m’inquiète : je pense que l’une des plus grandes difficultés rencontrées par les élèves, la cause majeure de leur désintérêt pour les maths, est précisément le fait que ce qu’on leur enseigne ne colle pas avec leur réalité. S’ils s’agissait de former des chercheurs en mathématiques, je comprendrais bien qu’on propose un enseignement qui ne colle pas à la réalité (et encore ?) mais pour l’immense majorité des élèves, je suis au contraire convaincu que les maths doivent être au plus proche du réel.

    La géométrie a lentement mais sûrement disparu des programmes

    C’est un fait qu’il faut prendre en compte.

    « la géométrie c’est les mathématiques de papa »,

    Là encore, les personnes (dont je ne suis pas) qui disent « la géométrie c’est les mathématiques de papa) entendent le mot géométrie dans le sens qu’on lui donne au collège, essentiellement (ce qui reste) de la géométrie euclidienne. La géométrie, dans le sens où je comprends ce mot, va bien au delà de cela.

    au profit notamment des probabilités et des statistiques. Quand on voit ce qu’est devenu l’enseignement des probabilités (disparition de la notion d’indépendance au lycée par exemple), ne pensez-vous pas qu’il faudrait d’abord défendre la démonstration avant de penser à changer de géométrie ?

    Les deux questions me semblent indépendantes. Défendre la démonstration, je suis bien sûr pour. Mais les démonstrations ne sont pas l’apanage de la géométrie. La démonstration classique euclidienne est une forme de pensée qu’il faut préserver. Mais le raisonnement probabiliste est aussi d’une grande richesse, et très formateur également. Lui aussi, il faut le préserver. Cela dit, je crains que nous ne parlions d’un combat d’arrière garde. Le Socle commun de connaissances, de compétences et de culture qui vient d’être promulgué a tout simplement oublié cet aspect de l’enseignement :-(

    Finalement, j’indique ce lien http://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/Ann... (La géométrie, pourquoi et comment ? de Daniel PERRIN) qui me semble un bon moyen de continuer à faire de la géométrie (euclidienne d’abord et autres géométries ensuite).

    Ce document est très intéressant et je suis assez d’accord avec l’essentiel de son contenu. En particulier, il insiste beaucoup sur les différentes sortes de géométries. Le point de désaccord principal est qu’il considère qu’il faut se limiter à la géométrie euclidienne au collège. En ce qui me concerne, comme vous l’avez compris, je pense qu’il faut montrer qu’il y a de la géométrie partout, dans toutes les maths, pas seulement dans le chapitre du livre qui parle des triangles…

    En passant, j’aime bien la citation de Dieudonné qu’on trouve dans le texte de Daniel Perrin : « la trigonométrie est utile aux arpenteurs et aux auteurs de manuels de trigonométrie » ! J’ai eu l’occasion il y a un ou deux ans d’étudier le livre de géométrie écrit par Clairaut au 18 ème siècle. Dans son introduction, il écrit que les « éléments d’Euclide » sont « secs » et il n’a pas tort (je ne sais pas si vous avez déjà tenté de lire Euclide dans le texte ?). Alors Clairaut fait une innovation pédagogique : il écrit un livre du point de vue d’un arpenteur. Ses figures, ses triangles etc., sont traversées par des ponts, des rivières etc. Son objectif est de « coller au réel » et il y réussit très bien. Sauf que le réel du 18 ème siècle, qui mesurait la Terre avec des toises, n’est plus celui de notre siècle. Personne ne s’intéresse plus aux arpenteurs, et Dieudonné se moque… Je crois que Clairaut aujourd’hui parlerait d’internet dans son livre de géométrie :-)

    Désolé pour ma réponse un peu bavarde !

    Bien cordialement,

    Etienne Ghys

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