Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

Un titre volontairement provocateur dans l’espoir de lancer un débat animé sur IdM. 

Le 18 février 2015  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (66)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

En préambule, pour éviter un malentendu, je voudrais dire que je suis mathématicien, et plus précisément géomètre, et que je suis bien sûr admiratif du bel édifice que représente la géométrie du plan, avec ses joyaux, dont le célébrissime théorème de Pythagore. Je dirais même que c’est probablement la découverte de cette partie des mathématiques, au collège, qui a été le déclic pour mon intérêt pour les maths. Cela dit, les choses ont changé, le temps a passé, et la France du général de Gaulle ne ressemble pas beaucoup à celle de François Hollande. D’autre part nous conviendrons tous que le but principal de l’enseignement des mathématiques au collège n’est pas de former des chercheurs scientifiques.

Que faut-il enseigner aujourd’hui ? Un élève qui arrive au baccalauréat a subi [1] deux mille heures de cours de mathématiques. Il ne faut pas se cacher la face : le résultat est un échec. Pour fixer les idées, je prends l’exemple du théorème de Pythagore dont j’écrivais un peu plus haut qu’il est « célébrissime ». Le nom de Pythagore est sans aucun doute connu d’une vaste majorité de la population. Je serais prêt à parier qu’au moins 80% de réponses à la question « quels théorèmes pouvez-vous citer » contiendraient Pythagore ou Thalès. En revanche, je suis également prêt à parier que moins de 20% de la population seraient capables de l’énoncer (correctement), et probablement moins de 5% de le démontrer. Que s’est-il passé ? Pour quelle raison ce bijou mathématique passe-t-il aux oubliettes dès que possible ? Ne faut-il pas en tirer des conclusions et se demander s’il est vraiment utile d’enseigner à tous quelque chose que presque tous s’empressent d’oublier ?

Bien sûr, le théorème de Pythagore est utile à des tas de gens, comme par exemple… les scientifiques. On pourrait espérer aussi que les architectes l’utilisent, mais les angles droits deviennent si rares dans les bâtiments d’aujourd’hui, et les logiciels de conception sont si efficaces. On peut très bien vivre sans connaître le théorème de Pythagore et il y a infiniment d’autres choses plus importantes. Alors pourquoi l’enseigner ? Selon moi, il n’y aurait qu’une seule justification : ce serait de le démontrer. La plupart des manuels scolaires ont abandonné l’idée même de démontrer un théorème et le pauvre Pythagore en est réduit à une « propriété » qu’il faut apprendre par cœur, sans chercher à la comprendre. Pourquoi des carrés et pas des cubes ? Parce que c’est écrit dans le manuel ? Parfois, on demande à l’élève de mesurer les côtés avec sa règle, ou avec son logiciel de géométrie dynamique, et de « vérifier le théorème » [2]. Il me semble que l’un des rôles principaux de l’enseignement des mathématiques est d’apprendre aux élèves à distinguer une vérité indiscutable d’un point de vue, d’une opinion, ou d’une croyance. Nous pouvons avoir des idées qui divergent sur ceci ou sur cela, mais les mathématiques sont l’un des moyens de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables. Un antidote au dogmatisme, dont nous avons bien besoin. Les programmes de mathématiques actuels ont supprimé presque toutes les démonstrations. Selon moi, le théorème de Pythagore, sans une démonstration (il y en a beaucoup) n’a pas d’intérêt au collège.

Évidemment il faut faire des choix et on ne peut pas tout enseigner. Quand j’étais au collège, l’informatique n’existait pas et la biologie n’avait pas encore fait les progrès spectaculaires qu’on connaît aujourd’hui. Il est normal que les mathématiciens laissent la place à tous ces nouveaux domaines de connaissance et cela entraîne mécaniquement les diminutions d’horaires que nous avons connus. Mezalor, comment choisir la partie des mathématiques qu’on enseigne ? Jusqu’à présent, à l’exception de la désastreuse aventure des maths modernes [3], on a procédé par continuité en modifiant localement ceci ou cela. Le théorème de Pythagore a perdu son panache, sa raison d’être, sa démonstration, mais il est toujours là, un peu par inertie, transformé en une triste « propriété » qu’il faut apprendre par cœur. Hélas, cet énoncé ne fait pas partie du quotidien de nos jeunes, qui n’y voient aucun intérêt, pour la majorité d’entre eux. Ne faut-il pas prendre en compte le monde dans lequel ces jeunes vivent et essayer de trouver des mathématiques qui les aident à mieux s’y retrouver ? Se repérer dans le monde, n’est-ce pas la définition de la géométrie ?

Voici un exemple, très certainement discutable, d’une « nouvelle géométrie » qu’on pourrait aborder à l’école et qui serait plus proche des préoccupations des élèves : la géométrie des réseaux. C’est devenu une banalité : nous vivons dans des réseaux multiples, internet, Facebook, la SNCF, Skype, etc. Les adolescents (et autres) comptent leurs « amis » sur Facebook. Les grands réseaux ont des géométries qui n’ont rien d’euclidien. Les mathématiques qui sont impliquées sont variées : théorie des graphes et combinatoire bien sûr, mais aussi probabilités, sans oublier les aspects informatiques et algorithmiques. Je ne propose pas bien entendu un cours structuré sur la théorie des graphes au collège, mais il me semble qu’on peut aborder quelques points très simples et très instructifs. Plutôt que d’obliger les collégiens à apprendre par cœur, et sans explication, que le volume d’une boule de rayon $R$ est $\frac{4}{3} \pi R^3$, ne serait-il pas préférable de les faire réfléchir à la croissance exponentielle des boules dans les réseaux sociaux (combien y a-t-il d’amis des amis de mes amis ?). Comment se propage l’information (ou les fausses informations) à l’intérieur d’un réseau ? Qu’est-ce que le phénomène du petit monde ? Qu’est-ce qu’un triangle rectangle dans le réseau SNCF [4] ? Quel algorithme Google map utilise-t-il pour me proposer le meilleur itinéraire pour aller de A à B ? Évidemment, de la même manière qu’un théorème sans démonstration est une coquille vide, un algorithme requiert une preuve et on ne peut se contenter de l’utiliser aveuglément.

La géométrie a changé. Elle ne manipule plus seulement des triangles et des cercles ; elle se préoccupe du monde qui nous entoure qui n’est, heureusement, que très rarement euclidien.

Léo Ferré était-il visionnaire ?

« Il faut tuer l’intelligence des mots anciens
Avec des mots tout relatifs, courbes, comme tu voudras
Il faut mettre Euclide dans une poubelle
Mettez-vous-le bien dans la courbure. »

Le chien, 1969

Post-scriptum :

Évidemment, le théorème de Pythagore apparaît souvent dans IdM. Cliquez ici, , , ou encore .

Notes

[1Je pense que c’est le bon mot, pour la majorité des élèves.

[2Dans les meilleurs ouvrages on trouve parfois en fin de chapitre une esquisse de preuve avec des puzzles, mais je suis convaincu que les enseignants n’ont pas le temps d’en discuter sérieusement, ni même de saisir l’occasion pour expliquer le concept de démonstration en mathématiques.

[3Mon époque.

[4On assimile souvent le réseau SNCF, en exagérant beaucoup, à une structure arborescente. Le lecteur intéressé pourra s’inspirer de cet article pour montrer que dans un « triangle rectangle SNCF », l’hypoténuse est la somme des deux autres côtés... Pas besoin d’élever au carré. Bizarre :-)

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 20 février 2015 à 14:50, par Arnaud Lionnet

    Bonjour,

    Juste une réflexion ou deux, sans forcément répondre beaucoup aux questions posées.

    Dans ce débat, sur la pertinence du théorème de Pythagore au collège, il y a la question sous-jacente et fondamentale de ce que l’Ecole doit enseigner dans sa globalité, du rôle de l’Ecole dans la société.

    Faut-il que l’enseignement (en maths ?) se raccroche au réel (pour accrocher les élèves) ? Faut-il qu’il soit utile, et à tous, dans la vie quotidienne ? Faut-il avant tout former des citoyens au raisonnement et au sens critique ? Il y a aussi la question de l’apprentissage indirect quand on enseigne un contenu X, tout ce qui n’est pas strictement X mais qui rentre quand même. Le commentaire de Marie Lhuissier et d’autres vont dans ce sens. Le fait que les gens se souvienne de X en particulier est-il le plus important ?

    Le débat sur l’enseignement de Pythagore (ou des maths) n’est pas vain tant qu’on a pas répondu à cette question, mais il est à mon avis bien de l’avoir à l’esprit.
    Car chacun a ses réponses, et argumente de prémices différentes. Un peu comme discuter sur la somme des angles d’un triangle sans s’accorder sur la géométrie dans laquelle on se place. Bien sûr, on n’aura probablement jamais un consensus sur la question fondamentale. Et on n’aura probablement jamais, sauf bouleversement majeur dans la société, une refonte complète de l’Ecole.
    En attendant, il faut probablement quand même avancer, et ce donc (fatalement ?) par continuité et modifications locales. Mais à mon avis on gagne à indiquer en marge des choix faits les raisons fondamentales qui les guident.

    Sur le cas particulier du théorème Pythagore, ce que je trouve le plus intéressant c’est qu’il semble y avoir un décalage entre d’une part ce que disent les programmes et les manuels (« propriété » de Pythagore, sans preuves) et ce que semblent faire les prof de collège (cf interventions de Philippe Colliard et Raphaël Andere entre autres). Y a t’il un (petit ?) groupe de profs qui résistent encore et toujours à la dilution du sens des programmes ? Voilà au moins une bonne nouvelle. Enfin, c’est mon avis.

    Arnaud.

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