Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

Un titre volontairement provocateur dans l’espoir de lancer un débat animé sur IdM. 

Le 18 février 2015  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (67)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques ne laissent personne indifférent. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

En préambule, pour éviter un malentendu, je voudrais dire que je suis mathématicien, et plus précisément géomètre, et que je suis bien sûr admiratif du bel édifice que représente la géométrie du plan, avec ses joyaux, dont le célébrissime théorème de Pythagore. Je dirais même que c’est probablement la découverte de cette partie des mathématiques, au collège, qui a été le déclic pour mon intérêt pour les maths. Cela dit, les choses ont changé, le temps a passé, et la France du général de Gaulle ne ressemble pas beaucoup à celle de François Hollande. D’autre part nous conviendrons tous que le but principal de l’enseignement des mathématiques au collège n’est pas de former des chercheurs scientifiques.

Que faut-il enseigner aujourd’hui ? Un élève qui arrive au baccalauréat a subi [1] deux mille heures de cours de mathématiques. Il ne faut pas se cacher la face : le résultat est un échec. Pour fixer les idées, je prends l’exemple du théorème de Pythagore dont j’écrivais un peu plus haut qu’il est « célébrissime ». Le nom de Pythagore est sans aucun doute connu d’une vaste majorité de la population. Je serais prêt à parier qu’au moins 80% de réponses à la question « quels théorèmes pouvez-vous citer » contiendraient Pythagore ou Thalès. En revanche, je suis également prêt à parier que moins de 20% de la population seraient capables de l’énoncer (correctement), et probablement moins de 5% de le démontrer. Que s’est-il passé ? Pour quelle raison ce bijou mathématique passe-t-il aux oubliettes dès que possible ? Ne faut-il pas en tirer des conclusions et se demander s’il est vraiment utile d’enseigner à tous quelque chose que presque tous s’empressent d’oublier ?

Bien sûr, le théorème de Pythagore est utile à des tas de gens, comme par exemple… les scientifiques. On pourrait espérer aussi que les architectes l’utilisent, mais les angles droits deviennent si rares dans les bâtiments d’aujourd’hui, et les logiciels de conception sont si efficaces. On peut très bien vivre sans connaître le théorème de Pythagore et il y a infiniment d’autres choses plus importantes. Alors pourquoi l’enseigner ? Selon moi, il n’y aurait qu’une seule justification : ce serait de le démontrer. La plupart des manuels scolaires ont abandonné l’idée même de démontrer un théorème et le pauvre Pythagore en est réduit à une « propriété » qu’il faut apprendre par cœur, sans chercher à la comprendre. Pourquoi des carrés et pas des cubes ? Parce que c’est écrit dans le manuel ? Parfois, on demande à l’élève de mesurer les côtés avec sa règle, ou avec son logiciel de géométrie dynamique, et de « vérifier le théorème » [2]. Il me semble que l’un des rôles principaux de l’enseignement des mathématiques est d’apprendre aux élèves à distinguer une vérité indiscutable d’un point de vue, d’une opinion, ou d’une croyance. Nous pouvons avoir des idées qui divergent sur ceci ou sur cela, mais les mathématiques sont l’un des moyens de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables. Un antidote au dogmatisme, dont nous avons bien besoin. Les programmes de mathématiques actuels ont supprimé presque toutes les démonstrations. Selon moi, le théorème de Pythagore, sans une démonstration (il y en a beaucoup) n’a pas d’intérêt au collège.

Évidemment il faut faire des choix et on ne peut pas tout enseigner. Quand j’étais au collège, l’informatique n’existait pas et la biologie n’avait pas encore fait les progrès spectaculaires qu’on connaît aujourd’hui. Il est normal que les mathématiciens laissent la place à tous ces nouveaux domaines de connaissance et cela entraîne mécaniquement les diminutions d’horaires que nous avons connus. Mezalor, comment choisir la partie des mathématiques qu’on enseigne ? Jusqu’à présent, à l’exception de la désastreuse aventure des maths modernes [3], on a procédé par continuité en modifiant localement ceci ou cela. Le théorème de Pythagore a perdu son panache, sa raison d’être, sa démonstration, mais il est toujours là, un peu par inertie, transformé en une triste « propriété » qu’il faut apprendre par cœur. Hélas, cet énoncé ne fait pas partie du quotidien de nos jeunes, qui n’y voient aucun intérêt, pour la majorité d’entre eux. Ne faut-il pas prendre en compte le monde dans lequel ces jeunes vivent et essayer de trouver des mathématiques qui les aident à mieux s’y retrouver ? Se repérer dans le monde, n’est-ce pas la définition de la géométrie ?

Voici un exemple, très certainement discutable, d’une « nouvelle géométrie » qu’on pourrait aborder à l’école et qui serait plus proche des préoccupations des élèves : la géométrie des réseaux. C’est devenu une banalité : nous vivons dans des réseaux multiples, internet, Facebook, la SNCF, Skype, etc. Les adolescents (et autres) comptent leurs « amis » sur Facebook. Les grands réseaux ont des géométries qui n’ont rien d’euclidien. Les mathématiques qui sont impliquées sont variées : théorie des graphes et combinatoire bien sûr, mais aussi probabilités, sans oublier les aspects informatiques et algorithmiques. Je ne propose pas bien entendu un cours structuré sur la théorie des graphes au collège, mais il me semble qu’on peut aborder quelques points très simples et très instructifs. Plutôt que d’obliger les collégiens à apprendre par cœur, et sans explication, que le volume d’une boule de rayon $R$ est $\frac{4}{3} \pi R^3$, ne serait-il pas préférable de les faire réfléchir à la croissance exponentielle des boules dans les réseaux sociaux (combien y a-t-il d’amis des amis de mes amis ?). Comment se propage l’information (ou les fausses informations) à l’intérieur d’un réseau ? Qu’est-ce que le phénomène du petit monde ? Qu’est-ce qu’un triangle rectangle dans le réseau SNCF [4] ? Quel algorithme Google map utilise-t-il pour me proposer le meilleur itinéraire pour aller de A à B ? Évidemment, de la même manière qu’un théorème sans démonstration est une coquille vide, un algorithme requiert une preuve et on ne peut se contenter de l’utiliser aveuglément.

La géométrie a changé. Elle ne manipule plus seulement des triangles et des cercles ; elle se préoccupe du monde qui nous entoure qui n’est, heureusement, que très rarement euclidien.

Léo Ferré était-il visionnaire ?

« Il faut tuer l’intelligence des mots anciens
Avec des mots tout relatifs, courbes, comme tu voudras
Il faut mettre Euclide dans une poubelle
Mettez-vous-le bien dans la courbure. »

Le chien, 1969

Post-scriptum :

Évidemment, le théorème de Pythagore apparaît souvent dans IdM. Cliquez ici, , , ou encore .

Notes

[1Je pense que c’est le bon mot, pour la majorité des élèves.

[2Dans les meilleurs ouvrages on trouve parfois en fin de chapitre une esquisse de preuve avec des puzzles, mais je suis convaincu que les enseignants n’ont pas le temps d’en discuter sérieusement, ni même de saisir l’occasion pour expliquer le concept de démonstration en mathématiques.

[3Mon époque.

[4On assimile souvent le réseau SNCF, en exagérant beaucoup, à une structure arborescente. Le lecteur intéressé pourra s’inspirer de cet article pour montrer que dans un « triangle rectangle SNCF », l’hypoténuse est la somme des deux autres côtés... Pas besoin d’élever au carré. Bizarre :-)

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 22 février 2015 à 18:31, par Jean AYMES

    Ah ! les programmes scolaires, voilà bien une obsession française …
    Merci d’abord, chaleureusement merci, pour ce texte, fenêtre ouverte, c’est bien d’apprendre !

    « A bas Euclide ! » c’était écrié Jean Dieudonné en 1959 ; propos qu’il tempéra par la suite. « Mise à la poubelle », est plus rassurant, il y a éventualité de récupération de déchets !

    Cette question de mise à la poubelle est provoquante, elle en soulève bien d’autres …

    Comment ? Avec qui ? Quoi ? Pour quoi ? Quand ? Pour qui ?

    Je me suis trop pris au jeu. C’est un texte long, non « moderne », désolé.

    Depuis 1965 combien de changements de pente pour la courbe des programmes de Mathématiques ?
    Une fois, essentiellement, une rupture en effet … avec un fâcheux bilan, longuement analysé par la suite :

    • de là peut-être un sentiment qu’ « on a déjà donné ! »
    • comment s’est-il fait qu’une telle transformation, pensée en commission (!) se soit traduite par un échec radical de mise en œuvre ?
    • récitaient-ils ces professeurs à qui on a enjoint d’enseigner ce qui était « moderne » ?
    • comment le savoir enseigné est-il lié au savoir savant ?

    Dans le comment, interrogeons l’organisation institutionnelle.
    L’histoire de certaine sociologie de la chose depuis 50 ans n’est pas sans intérêt. Par exemple, on a connu des moments où telle orientation disons « un peu trop princière » a du être tempérée en faisant appel à l’Académie des Sciences ! Sorte d’arbitre en l’occurrence … d’où par la suite émergea l’ossature de la géométrie actuellement enseignée au Collège, euclidienne donc.
    Sans oublier que, dans ce pays, changement politique implique réforme scolaire !
    On en est venu à des organisations un peu plus partenariales, maintenant le Conseil National des Programmes et son émanation pour les disciplines.
    Tout bien pesé, d’une certaine manière ce désastre de la phase « moderne » n’a-t-il pas révélé cet impératif d’organisation de la préparation et de la décision ? Une profesionnalisation.
    Alors cette construction collective n’induit-elle nécessairement pas un lissage des décisions ? Consensus oblige … d’autant plus que le débat « programmes scolaires » peut difficilement être pensé dans une tour d’ivoire.
    Par ailleurs, nous questionne ce que soulignait Emile Borel « Tout changement des programmes doit nécessairement échouer, ou du moins avoir des apparences d’échouer, par la simple raison que la masse des professeurs ne peut arriver du premier coup à une technique pédagogique aussi bonne pour les matières nouvelles que la technique traditionnelle l’était pour les anciennes. Mais la contre partie de cette constatation pessimiste n’est pas moins exacte : s’il est vrai que l’essentiel de l’enseignement est moins le programme que la méthode, tout changement de programmes doit en définitive donner de bons résultats, après que l’on aura su créer les méthodes nouvelles appropriées aux matières nouvelles. »
    Avons-nous le corps enseignant propre à porter le combat nouveau ? Sinon, comment l’obtenir ? le former ?
    D’autant qu’aujourd’hui, le corps enseignant n’est plus celui de 1920 ou pas plus celui du général De Gaulle !
    Dans un tel mouvement la prise en compte d’un rythme, peut-elle inclure des anticipations ? se pourrait-il que préparer endigue le subir ? (ici il s’agit des professeurs).
    On n’a connu qu’en de très rares cas, la mise en œuvre de cette idée qui voudrait qu’on expérimente avant de décider. Est-ce une utopie ? Ou bien un luxe ?
    Est-il possible que l’exécutant – le professeur - puisse mieux comprendre ce qu’on attend de lui ? Cette compréhension n’est-elle pas une garantie ?
    Au fil du temps, on a su progresser là dessus ; c’est un véritable acquis.

    Enseigner pour démonter, en démontrant … pourquoi pas … cependant …
    Dans le programme de Terminale C de 1970 (il a duré quelques années tout de même), on démontrait l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ! Etait-ce pour faire des probabilités ? Faire ? en décrire ? produire des démonstrations ?
    Mais noter qu’une telle critique est évidemment facile … après coup. Est-il quelqu’un ayant prévu ?
    La démonstration est-elle le tout de la compréhension ?
    Démontrer ! démontrer quoi au juste ?
    En passant, une anecdote des années 70 : dans certaine commission où se discutait l’adéquate axiomatique de la géométrie (idéale pour ce niveau du Collège), il fût d’éminents mathématiciens pour se tromper en ces questions de fine logique ! Ce fut quelque peu rassurant.
    Démontrer, ce ne pourrait guère être total … sinon ce serait un peu 1970, le retour ! … ne serait-on alors pas en train d’astiquer un véhicule qui de fait reste au garage ?
    Si ce n’est total, c’est quoi ? Que choisir de démontrer ou de ne pas démontrer ? selon quels présupposés ? explicites ou implicites ? selon quel agencement ? sur quoi repose ce qui est admis ? est-il possible pour enseigner d’user avec profit de « démonstrations » à la Gromov ? ou encore des inspirations en pas de côté par rapport à l’exposé logico-déductif d’un Clairaut ?
    Y a-t-il, spécifiquement, en géométrie un drame intime ? celui de l’axiomatique, infernale si on la montre et qui absorbe alors l’énergie, avec le risque du flou mathématique dénaturant si on la tait ? Est-il d’autres domaines plus sereins à cet égard ? Peut-être, examinons leur potentiel instructeur au niveau du Collège.

    Qu’est-ce que l’activité mathématique dans la classe ? Est-ce un récit, un peu à la manière de la « leçon de choses » ? Est-ce un exposé ? où le maître règne garant de pureté ? de vérité ? est-ce un temps d’étude ? d’exercice ? d’esprit scientifique ? Un peu de tout cela combiné, et d’autres.
    Cette activité mathématique peut-elle comporter recherche ? expérience d’un doute ? rencontre d’une question ? expérimentation ? Jamais comme aujourd’hui on n’a disposé, peut-être, d’autant de moyens d’essayer !
    Comme c’est bizarre, cet équipement formidable pour l’essai particulièrement disponible pour la géométrie est un peu marginalisé !

    Ne peut-on être un peu sage ? Du côté des professeurs, il ne semble pas interdit de démontrer (modulo certain dosage, il y a par ailleurs beaucoup à faire) et qui plus est de faire démontrer, mieux encore de saisir « l’occasion pour expliquer le concept de démonstration en mathématiques », mieux peut-être pour l’expliquer et le faire éprouver !
    Comment se fait-il que ces recommandations bien présentes – sujettes à un accent marqué même - dans le libellé des programmes, encouragées par les relais institutionnels, mises en pensée par des décennies de travaux en didactique des Mathématiques, comment se fait-il que tout cela soit si peu opérationnel ?
    Augmenter la compétence des professeurs de Mathématiques ! La « méthode » disait Emile Borel.

    La durée consacrée à l’enseignement des Mathématiques a connu des vicissitudes ; au lycée essentiellement, surtout depuis vingt ans. Les conséquences perdurent. Faut-il seulement regarder le résultat endogène ? Quels bilans ?
    Mettant cela en rapport avec les équilibres nouveaux attachés aux évolutions d’autres champs de savoir, peut-on dire ce qu’est l’effet pour ces autres champs ? La Biologie, la Physique, par exemple, se portent-t-elles mieux, elles, avec un capital de temps amélioré ?
    Mettant cela en rapport avec d’autres facteurs de l’effet scolaire, peut-on dire que l’étude, l’implication des élèves dans l’étude se porte mieux ?

    Dans cette durée contenue – plus encore en lycée qu’en collège, quoique ! – l’ambition d’un vif déploiement d’objectifs demeure assez puissante, cela se comprend ; c’est vrai dans la visée de culture générale, - on se refuse à spécialiser -, c’est vrai à l’interne des disciplines – on se refuse à trop alléger. Est-ce alors désormais hors de proportion pour des acquisitions solides ? comment y pourvoir ?

    Pour qui ?
    L’élève a-t-il le droit d’oublier ?
    Pour venir sur ma personne, je ne me rappelle guère de règles de grammaire, s’il faut les exprimer précisément ! Etait-ce aussi le cas déjà en Terminale ? probablement ! Pourtant cette Grammaire apprise du Cours Préparatoire à la Troisième a bien dû décanter quelque chose … Cette carence habite peut-être le présent texte.
    Pire, au débotté, saurai-je démontrer le théorème de Pythagore ? ou l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ? ou quoi d’autre ? Je sais que cela se démontre, je sais ce que cela veut dire (c’était mon métier !) et que pour le théorème de Pythagore il existe des centaines de démonstrations et sais où en trouver.
    Savoir où trouver !
    Conserver l’idée de ce qu’est une démonstration, caractéristique majeure des Mathématiques !

    L’élève est là, au Collège, pour quoi ?
    Actuellement c’est assez clairement exprimé par l’institution, par exemple, pour une base, à travers un « socle commun » (hum !) posé à côté de dits programmes.
    Il faut inscrire dans une société démocratique et laïque, donner un bagage existentiel (la vie quotidienne), ouvrir les horizons de destins professionnels, aider les modifications de trajectoire en cours de vie …
    Cette question des buts, n’est-elle pas aussi terriblement encombrée par la complexité du temps ?
    Il n’est que de voir comment, ce début janvier 2011, avec ces événements, a provoqué un ouragan de mises en question ; n’avons-nous donc pas quelques fondations un peu solides ?

    Jamais on n’a tant fait pour « populariser » les Mathématiques et finalement quel résultat ?
    Le premier colloque national à propos de crise en scientifiques « Objectifs de la formation scientifique » date de 1990 !

    Le débat « séduire ou conduire » est intéressant en matière d’éducation.
    « On ne peut pas instruire sans supposer toute l’intelligence possible dans un marmot » Alain
    « C’est en tirant sur la corde du cerf-volant qu’on le fait monter » André Gide
    La prise en compte des préoccupations des élèves peut-elle être autre chose qu’un point de départ ? Une marque aussi de l’inscription des orientations des anciens pour l’actualité des sujets de la jeunesse ?
    De son côté, la jeunesse ne sait-elle pas qu’elle est là pour faire société ? Que les anciens lèguent un héritage ?
    Enseigner n’est-ce pas opter pour l’idée que l’élève ira ailleurs ? Souvent on évoque l’étymologie du mot « élève » …
    Alors, les débats de méthode surgissent.
    Faut-il ne faire droit qu’au savoir nouveau, voire aux sujets du présent de l’élève ? Cela peut-il s’enseigner ?
    Intéresser, « motiver » ; mais cela ne peut-il procéder parfois par d’étonnantes démarches, mystérieuses même ? Multiples recours, l’utile, l’application, le triomphe sur une difficulté, de la réussite dûment vécue, une activité de chercheur, quelque défi, une production publiée, un recours à de la genèse historique, les tenants et aboutissants, l’établissement d’une relation humaine dans la classe, le pourquoi … Tel professeur évoquant l’aire du disque (formule qu’il assène, admise de fait, naturellement), peut-il se montrer capable de susciter un « pourquoi » ? Moment intéressant, vivant moment de classe, lien avec ce vieil Archimède. Sans parler de volume de la sphère … C’est en Cinquième, le calcul infinitésimal commence en Première, qu’importe.
    Oui, les professeurs sont déterminants ! Y songe-t-on suffisamment ?

    Je suis bien vieux ! on l’aura compris.
    Elève, je ne me souviens pas d’une démonstration du théorème de Pythagore durant le collège (en Troisième alors, années 60). Celle d’Euclide, par exemple, n’est venue dans ma vie que plus tard, ces carrés sont donc des aires, merveille !
    Mon intérêt pour les Mathématiques s’est éveillé par les problèmes, ceux que mon instituteur proposait quotidiennement en Cours Moyen (numériques), puis progressivement au Collège, au Lycée avec quelques professeurs remarquables. Remarquables aussi certains professeurs de diverses disciplines, des éclaireurs ; puis-je dire qu’ils étaient d’abord professeurs d’intelligence ?
    Professeur de Mathématiques, j’en suis au temps des souvenirs. Entré dans le métier avec les Mathématiques modernes dont le fond faisait partie de mon bagage universitaire, c’était donc familier. J’ai ainsi, jeune devant de bien plus âgés, enseigné en stage de « recyclage » que la sinusoïde est une droite affine (au sens de 1972, en Quatrième). C’était totalement mathématique ! Cela ne pouvait à peu près rien produire scolairement parlant, je l’ai aperçu plus tard.
    Puis sont venues des décennies professionnelles marquées par cette préoccupation majeure de ce qu’on enseigne et comment on l’enseigne, cela avec la culture – étroite, forcément étroite – qu’on peut se forger au fil des années, merci aux institutions qui font tant en ce sens !
    J’ai aussi toujours estimé qu’il y avait quelque risque à fonder des choix d’orientation scolaire sur des expériences toutes personnelles. Gare aux généralisations hâtives.

    Alors ce Pythagore, faut-il le mettre à la poubelle ?
    C’est le sort fait à l’enseignement de la géométrie qui est ainsi posé, reposé.
    Au Collège, elle est un terrain assez fertile pour apprendre ce qu’est démontrer et apprendre à le pratiquer ; à mon sens pourvu qu’on sache raison garder, on a parlé jadis « d’ilots déductifs », manière de ne pas s’épuiser dans quelqu’axiomatique … c’est dire qu’il vaut mieux des présupposés productifs, quelques trous déductifs, et de la clarté à cet égard.
    Le non-euclidien est rarement évoqué, encore moins illustré ; comme si la géométrie euclidienne, engoncée dans le représenté, la figure, était la seule ! C’est du sens des Mathématiques qu’il s’agit pourtant.
    Une décennie et demi comme inspecteur m’a permis bien des observations de classe, instructives.
    Au Lycée, nous venons de connaître des évolutions amoindrissant la place de la géométrie (!) au profit d’autre chose (démontre-t-on le théorème de Moivre-Laplace ?), c’est un choix ; à côté de cela on assiste à l’expansion des moyens logiciels disponibles aujourd’hui. Ne pourraient-ils permettre une activité géométrique renouvelée, bien plus riche ?
    Mais il faut choisir !

    Actuellement, le théorème de Pythagore marque la classe de Quatrième, représentatif de la géométrie « classique ». Il est aussi un outil ; il a un aspect procédural ; l’élève apprend à faire avec ; espérons que c’est à travers des situations dans lesquelles, par exemple, il devra trouver qu’il est un recours … bref à travers des problèmes. Ce théorème ouvre un espace de travail au delà de son statut de théorème, cela n’est pas son moindre aspect.
    Il se trouve aussi qu’il interroge la notion de nombre. Quelle histoire !
    Ces composantes hétérogènes ne sont-elles pas pas ce qui contribue à la consistance d’un enseignement ? un savoir, un savoir situé dans un cadre disciplinaire (ici démontrer) et relié aux autres domaines disciplinaires, des situations d’étude, de quoi s’exercer dans un commencement de maniement abstrait, l’existence de relations avec d’autres territoires mathématiques, un certain degré de richesse « intellectuelle » (bien sûr ! pour l’élève de Quatrième), le fait pour l’élève d’avoir à faire ses preuves (il est testé).
    Je doute que depuis au moins un siècle on ait jamais enseigné ce théorème pour la menuiserie ou le bâtiment, il s’agit là d’un surcroît ; cette géométrie vient de la veine des lycées classiques, c’est dire !
    Modestement, pourrait-on analyser une conception de programmes, renouvelés, selon de telles aunes ?

    Ce théorème s’inscrit aussi dans un parcours, celui de la géométrie de l’Ecole au Lycée ; penser un changement peut-il éluder une prise en compte de cohérence, celle des apprentissages, des approfondissements progressifs (devenir un peu plus « mathématicien » on l’espère), des aptitudes que l’on manifeste (devenir plus apte à abstraire).

    Que serait la proposition de géométrie des réseaux inscrite dans un cadre scolaire, au sens d’étude, comme au sens d’une inscription dans un programme pluri annuel ?

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