Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

Un titre volontairement provocateur dans l’espoir de lancer un débat animé sur IdM. 

Le 18 février 2015  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (67)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques ne laissent personne indifférent. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

En préambule, pour éviter un malentendu, je voudrais dire que je suis mathématicien, et plus précisément géomètre, et que je suis bien sûr admiratif du bel édifice que représente la géométrie du plan, avec ses joyaux, dont le célébrissime théorème de Pythagore. Je dirais même que c’est probablement la découverte de cette partie des mathématiques, au collège, qui a été le déclic pour mon intérêt pour les maths. Cela dit, les choses ont changé, le temps a passé, et la France du général de Gaulle ne ressemble pas beaucoup à celle de François Hollande. D’autre part nous conviendrons tous que le but principal de l’enseignement des mathématiques au collège n’est pas de former des chercheurs scientifiques.

Que faut-il enseigner aujourd’hui ? Un élève qui arrive au baccalauréat a subi [1] deux mille heures de cours de mathématiques. Il ne faut pas se cacher la face : le résultat est un échec. Pour fixer les idées, je prends l’exemple du théorème de Pythagore dont j’écrivais un peu plus haut qu’il est « célébrissime ». Le nom de Pythagore est sans aucun doute connu d’une vaste majorité de la population. Je serais prêt à parier qu’au moins 80% de réponses à la question « quels théorèmes pouvez-vous citer » contiendraient Pythagore ou Thalès. En revanche, je suis également prêt à parier que moins de 20% de la population seraient capables de l’énoncer (correctement), et probablement moins de 5% de le démontrer. Que s’est-il passé ? Pour quelle raison ce bijou mathématique passe-t-il aux oubliettes dès que possible ? Ne faut-il pas en tirer des conclusions et se demander s’il est vraiment utile d’enseigner à tous quelque chose que presque tous s’empressent d’oublier ?

Bien sûr, le théorème de Pythagore est utile à des tas de gens, comme par exemple… les scientifiques. On pourrait espérer aussi que les architectes l’utilisent, mais les angles droits deviennent si rares dans les bâtiments d’aujourd’hui, et les logiciels de conception sont si efficaces. On peut très bien vivre sans connaître le théorème de Pythagore et il y a infiniment d’autres choses plus importantes. Alors pourquoi l’enseigner ? Selon moi, il n’y aurait qu’une seule justification : ce serait de le démontrer. La plupart des manuels scolaires ont abandonné l’idée même de démontrer un théorème et le pauvre Pythagore en est réduit à une « propriété » qu’il faut apprendre par cœur, sans chercher à la comprendre. Pourquoi des carrés et pas des cubes ? Parce que c’est écrit dans le manuel ? Parfois, on demande à l’élève de mesurer les côtés avec sa règle, ou avec son logiciel de géométrie dynamique, et de « vérifier le théorème » [2]. Il me semble que l’un des rôles principaux de l’enseignement des mathématiques est d’apprendre aux élèves à distinguer une vérité indiscutable d’un point de vue, d’une opinion, ou d’une croyance. Nous pouvons avoir des idées qui divergent sur ceci ou sur cela, mais les mathématiques sont l’un des moyens de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables. Un antidote au dogmatisme, dont nous avons bien besoin. Les programmes de mathématiques actuels ont supprimé presque toutes les démonstrations. Selon moi, le théorème de Pythagore, sans une démonstration (il y en a beaucoup) n’a pas d’intérêt au collège.

Évidemment il faut faire des choix et on ne peut pas tout enseigner. Quand j’étais au collège, l’informatique n’existait pas et la biologie n’avait pas encore fait les progrès spectaculaires qu’on connaît aujourd’hui. Il est normal que les mathématiciens laissent la place à tous ces nouveaux domaines de connaissance et cela entraîne mécaniquement les diminutions d’horaires que nous avons connus. Mezalor, comment choisir la partie des mathématiques qu’on enseigne ? Jusqu’à présent, à l’exception de la désastreuse aventure des maths modernes [3], on a procédé par continuité en modifiant localement ceci ou cela. Le théorème de Pythagore a perdu son panache, sa raison d’être, sa démonstration, mais il est toujours là, un peu par inertie, transformé en une triste « propriété » qu’il faut apprendre par cœur. Hélas, cet énoncé ne fait pas partie du quotidien de nos jeunes, qui n’y voient aucun intérêt, pour la majorité d’entre eux. Ne faut-il pas prendre en compte le monde dans lequel ces jeunes vivent et essayer de trouver des mathématiques qui les aident à mieux s’y retrouver ? Se repérer dans le monde, n’est-ce pas la définition de la géométrie ?

Voici un exemple, très certainement discutable, d’une « nouvelle géométrie » qu’on pourrait aborder à l’école et qui serait plus proche des préoccupations des élèves : la géométrie des réseaux. C’est devenu une banalité : nous vivons dans des réseaux multiples, internet, Facebook, la SNCF, Skype, etc. Les adolescents (et autres) comptent leurs « amis » sur Facebook. Les grands réseaux ont des géométries qui n’ont rien d’euclidien. Les mathématiques qui sont impliquées sont variées : théorie des graphes et combinatoire bien sûr, mais aussi probabilités, sans oublier les aspects informatiques et algorithmiques. Je ne propose pas bien entendu un cours structuré sur la théorie des graphes au collège, mais il me semble qu’on peut aborder quelques points très simples et très instructifs. Plutôt que d’obliger les collégiens à apprendre par cœur, et sans explication, que le volume d’une boule de rayon $R$ est $\frac{4}{3} \pi R^3$, ne serait-il pas préférable de les faire réfléchir à la croissance exponentielle des boules dans les réseaux sociaux (combien y a-t-il d’amis des amis de mes amis ?). Comment se propage l’information (ou les fausses informations) à l’intérieur d’un réseau ? Qu’est-ce que le phénomène du petit monde ? Qu’est-ce qu’un triangle rectangle dans le réseau SNCF [4] ? Quel algorithme Google map utilise-t-il pour me proposer le meilleur itinéraire pour aller de A à B ? Évidemment, de la même manière qu’un théorème sans démonstration est une coquille vide, un algorithme requiert une preuve et on ne peut se contenter de l’utiliser aveuglément.

La géométrie a changé. Elle ne manipule plus seulement des triangles et des cercles ; elle se préoccupe du monde qui nous entoure qui n’est, heureusement, que très rarement euclidien.

Léo Ferré était-il visionnaire ?

« Il faut tuer l’intelligence des mots anciens
Avec des mots tout relatifs, courbes, comme tu voudras
Il faut mettre Euclide dans une poubelle
Mettez-vous-le bien dans la courbure. »

Le chien, 1969

Post-scriptum :

Évidemment, le théorème de Pythagore apparaît souvent dans IdM. Cliquez ici, , , ou encore .

Notes

[1Je pense que c’est le bon mot, pour la majorité des élèves.

[2Dans les meilleurs ouvrages on trouve parfois en fin de chapitre une esquisse de preuve avec des puzzles, mais je suis convaincu que les enseignants n’ont pas le temps d’en discuter sérieusement, ni même de saisir l’occasion pour expliquer le concept de démonstration en mathématiques.

[3Mon époque.

[4On assimile souvent le réseau SNCF, en exagérant beaucoup, à une structure arborescente. Le lecteur intéressé pourra s’inspirer de cet article pour montrer que dans un « triangle rectangle SNCF », l’hypoténuse est la somme des deux autres côtés... Pas besoin d’élever au carré. Bizarre :-)

Partager cet article

Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 20 février 2015 à 18:14, par Étienne Ghys

    UNE SYNTHESE

    Débattre sur un forum n’est pas facile. Fatalement, le fil de la discussion s’envole et on en oublie la direction initiale.
    Au bout d’un certain temps, les arguments des uns et des autres se brouillent.

    Je pense qu’il est temps ce clore ce forum. Alors je vais tenter une synthèse de ce que je crois avoir compris.

    Merci à tous ceux et à toutes celles qui ont bien voulu partager leurs points de vue.

    1/ D’abord, je m’y attendais, et mon titre provocateur n’y est pas pour rien, presque tous les commentaires reçus contenaient une réaction quasi-épidermique « touche pas à mon Pythagore ! ».
    C’est qu’on l’aime bien le Pythagore de notre enfance. Je comprends parfaitement cela et je peux garantir que, comme je l’écrivais dans mon texte, je suis aussi un grand admirateur de la géométrie euclidienne et en particulier du théorème de Pythagore.

    2/ Très clairement, mon titre était une interrogation et je ne m’engageais pas sur le sort qu’il faudrait donner à notre illustre philosophe. En revanche, j’écrivais que le théorème de Pythagore au collège devrait être indissociable de sa démonstration (ou d’une de ses démonstrations). Aujourd’hui, sauf si je me trompe, le programme officiel ne mentionne pas la démonstration. Heureusement, certains professeurs décident de présenter ces démonstrations, ce dont je me réjouis. J’ai l’impression qu’il y a eu consensus sur ce point : il faut démontrer le théorème (même si, nous le savons bien, en regardant dans les détails, les « preuves » en question n’en sont pas vraiment et elles contiennent un certain nombre d’implicites).

    3/ Certains d’entre vous ont pensé (en extrapolant très largement mon propos) que je proposais de supprimer la géométrie au collège. Ce n’est bien sûr pas ce que j’ai écrit. J’ai proposé (en ajoutant que c’est discutable) de compléter en cherchant quelques autres aspects de la géométrie contemporaine, plus proches du quotidien des élèves. Pas beaucoup de succès de ce côté :-)

    4/ Le débat plus profond, et bien plus délicat, consiste à savoir si ce qu’on enseigne au collège devrait être destiné à tous les élèves et s’il est normal qu’un élève oublie ce qu’il a appris au collège lorsqu’il est dans la vie active. Certains pensent que ce n’est pas grave d’oublier des choses, voire beaucoup de choses, si ça permet d’apprendre d’autres choses. En ce qui me concerne, je pense qu’il est en effet tout à fait normal d’oublier certaines choses, mais quand même pas tout !

    5/ Un autre aspect de la discussion concerne le rapport que les maths du collège doivent entretenir avec les autres sciences et avec le quotidien des élèves. Sur ce point, je n’ai pas vu de convergence :-(

    6/ Enfin j’aurais aimé que les défenseurs du théorème de Pythagore donnent leur opinion sur la manière dont ils voient un programme de maths au collège lorsque l’informatique aura fait son apparition. Je n’ai lu aucune suggestion allant dans ce sens. En nous limitant à la géométrie du collège, cela signifie peut-être que les personnes qui se sont exprimées sont satisfaites par la situation actuelle ? Il me semblait que le défi posé par l’informatique à l’enseignement en collège mériterait une discussion plus approfondie. On y reviendra plus tard peut-être, dans un autre débat ?

    Merci encore,

    Longue vie au théorème de Pythagore :-)

    PS : Mon frère m’a fait un bien joli cadeau cette semaine : une réédition de la version de Byrne des éléments d’Euclide (1847). Il s’agit de présenter les 6 premiers livres d’Euclide sans utiliser de lettres pour les triangles, les segments etc. Tous les éléments des figures sont colorés et le texte est en couleurs. Au lieu de dire « le triangle ABC », il est écrit « le triangle » et c’est suivi par un petit triangle coloré. C’est très beau et facile à lire. J’ai toujours eu du mal à trouver les points PQR dans une figure compliquée et ça rend ma lecture difficile, alors que mon œil détecte tout de suite le triangle bleu. Un livre de géométrie haut en couleurs. Bien sûr le théorème de Pythagore orne la couverture, en bleu, jaune, rouge et noir. Magnifique...

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM