Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

Un titre volontairement provocateur dans l’espoir de lancer un débat animé sur IdM. 

Le 18 février 2015  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (67)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques ne laissent personne indifférent. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

En préambule, pour éviter un malentendu, je voudrais dire que je suis mathématicien, et plus précisément géomètre, et que je suis bien sûr admiratif du bel édifice que représente la géométrie du plan, avec ses joyaux, dont le célébrissime théorème de Pythagore. Je dirais même que c’est probablement la découverte de cette partie des mathématiques, au collège, qui a été le déclic pour mon intérêt pour les maths. Cela dit, les choses ont changé, le temps a passé, et la France du général de Gaulle ne ressemble pas beaucoup à celle de François Hollande. D’autre part nous conviendrons tous que le but principal de l’enseignement des mathématiques au collège n’est pas de former des chercheurs scientifiques.

Que faut-il enseigner aujourd’hui ? Un élève qui arrive au baccalauréat a subi [1] deux mille heures de cours de mathématiques. Il ne faut pas se cacher la face : le résultat est un échec. Pour fixer les idées, je prends l’exemple du théorème de Pythagore dont j’écrivais un peu plus haut qu’il est « célébrissime ». Le nom de Pythagore est sans aucun doute connu d’une vaste majorité de la population. Je serais prêt à parier qu’au moins 80% de réponses à la question « quels théorèmes pouvez-vous citer » contiendraient Pythagore ou Thalès. En revanche, je suis également prêt à parier que moins de 20% de la population seraient capables de l’énoncer (correctement), et probablement moins de 5% de le démontrer. Que s’est-il passé ? Pour quelle raison ce bijou mathématique passe-t-il aux oubliettes dès que possible ? Ne faut-il pas en tirer des conclusions et se demander s’il est vraiment utile d’enseigner à tous quelque chose que presque tous s’empressent d’oublier ?

Bien sûr, le théorème de Pythagore est utile à des tas de gens, comme par exemple… les scientifiques. On pourrait espérer aussi que les architectes l’utilisent, mais les angles droits deviennent si rares dans les bâtiments d’aujourd’hui, et les logiciels de conception sont si efficaces. On peut très bien vivre sans connaître le théorème de Pythagore et il y a infiniment d’autres choses plus importantes. Alors pourquoi l’enseigner ? Selon moi, il n’y aurait qu’une seule justification : ce serait de le démontrer. La plupart des manuels scolaires ont abandonné l’idée même de démontrer un théorème et le pauvre Pythagore en est réduit à une « propriété » qu’il faut apprendre par cœur, sans chercher à la comprendre. Pourquoi des carrés et pas des cubes ? Parce que c’est écrit dans le manuel ? Parfois, on demande à l’élève de mesurer les côtés avec sa règle, ou avec son logiciel de géométrie dynamique, et de « vérifier le théorème » [2]. Il me semble que l’un des rôles principaux de l’enseignement des mathématiques est d’apprendre aux élèves à distinguer une vérité indiscutable d’un point de vue, d’une opinion, ou d’une croyance. Nous pouvons avoir des idées qui divergent sur ceci ou sur cela, mais les mathématiques sont l’un des moyens de nous accorder sur un certain nombre de vérités indiscutables. Un antidote au dogmatisme, dont nous avons bien besoin. Les programmes de mathématiques actuels ont supprimé presque toutes les démonstrations. Selon moi, le théorème de Pythagore, sans une démonstration (il y en a beaucoup) n’a pas d’intérêt au collège.

Évidemment il faut faire des choix et on ne peut pas tout enseigner. Quand j’étais au collège, l’informatique n’existait pas et la biologie n’avait pas encore fait les progrès spectaculaires qu’on connaît aujourd’hui. Il est normal que les mathématiciens laissent la place à tous ces nouveaux domaines de connaissance et cela entraîne mécaniquement les diminutions d’horaires que nous avons connus. Mezalor, comment choisir la partie des mathématiques qu’on enseigne ? Jusqu’à présent, à l’exception de la désastreuse aventure des maths modernes [3], on a procédé par continuité en modifiant localement ceci ou cela. Le théorème de Pythagore a perdu son panache, sa raison d’être, sa démonstration, mais il est toujours là, un peu par inertie, transformé en une triste « propriété » qu’il faut apprendre par cœur. Hélas, cet énoncé ne fait pas partie du quotidien de nos jeunes, qui n’y voient aucun intérêt, pour la majorité d’entre eux. Ne faut-il pas prendre en compte le monde dans lequel ces jeunes vivent et essayer de trouver des mathématiques qui les aident à mieux s’y retrouver ? Se repérer dans le monde, n’est-ce pas la définition de la géométrie ?

Voici un exemple, très certainement discutable, d’une « nouvelle géométrie » qu’on pourrait aborder à l’école et qui serait plus proche des préoccupations des élèves : la géométrie des réseaux. C’est devenu une banalité : nous vivons dans des réseaux multiples, internet, Facebook, la SNCF, Skype, etc. Les adolescents (et autres) comptent leurs « amis » sur Facebook. Les grands réseaux ont des géométries qui n’ont rien d’euclidien. Les mathématiques qui sont impliquées sont variées : théorie des graphes et combinatoire bien sûr, mais aussi probabilités, sans oublier les aspects informatiques et algorithmiques. Je ne propose pas bien entendu un cours structuré sur la théorie des graphes au collège, mais il me semble qu’on peut aborder quelques points très simples et très instructifs. Plutôt que d’obliger les collégiens à apprendre par cœur, et sans explication, que le volume d’une boule de rayon $R$ est $\frac{4}{3} \pi R^3$, ne serait-il pas préférable de les faire réfléchir à la croissance exponentielle des boules dans les réseaux sociaux (combien y a-t-il d’amis des amis de mes amis ?). Comment se propage l’information (ou les fausses informations) à l’intérieur d’un réseau ? Qu’est-ce que le phénomène du petit monde ? Qu’est-ce qu’un triangle rectangle dans le réseau SNCF [4] ? Quel algorithme Google map utilise-t-il pour me proposer le meilleur itinéraire pour aller de A à B ? Évidemment, de la même manière qu’un théorème sans démonstration est une coquille vide, un algorithme requiert une preuve et on ne peut se contenter de l’utiliser aveuglément.

La géométrie a changé. Elle ne manipule plus seulement des triangles et des cercles ; elle se préoccupe du monde qui nous entoure qui n’est, heureusement, que très rarement euclidien.

Léo Ferré était-il visionnaire ?

« Il faut tuer l’intelligence des mots anciens
Avec des mots tout relatifs, courbes, comme tu voudras
Il faut mettre Euclide dans une poubelle
Mettez-vous-le bien dans la courbure. »

Le chien, 1969

Post-scriptum :

Évidemment, le théorème de Pythagore apparaît souvent dans IdM. Cliquez ici, , , ou encore .

Notes

[1Je pense que c’est le bon mot, pour la majorité des élèves.

[2Dans les meilleurs ouvrages on trouve parfois en fin de chapitre une esquisse de preuve avec des puzzles, mais je suis convaincu que les enseignants n’ont pas le temps d’en discuter sérieusement, ni même de saisir l’occasion pour expliquer le concept de démonstration en mathématiques.

[3Mon époque.

[4On assimile souvent le réseau SNCF, en exagérant beaucoup, à une structure arborescente. Le lecteur intéressé pourra s’inspirer de cet article pour montrer que dans un « triangle rectangle SNCF », l’hypoténuse est la somme des deux autres côtés... Pas besoin d’élever au carré. Bizarre :-)

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 26 février 2015 à 11:23, par Aziz El Kacimi

    Bonjour à tous !

    Un débat vif, bien animé...il y a un bout de temps que nous (François, Valerio et moi, responsables de
    la rubrique) n’avons pas vu cela ! C’est une très bonne chose et nous en sommes très heureux ! Cela montre, contrairement à certaines apparences, qu’il y a pas mal de gens à qui l’enseignement des maths
    tient tant à cœur. Il faut dire que la question a de quoi mettre
    le feu aux poudres : Boom ! Pythagore dans une poubelle ? Mais ce serait mal connaître Étienne pour penser qu’il en est
    convaincu. Aussi bien dans ses travaux de recherche que dans ses innombrables conférences de vulgarisation ou autres, il a traversé presque tous les thèmes des mathématiques. Il sait donc que le théorème de Pythagore y est lourdement présent, et particulièrement en analyse et en géométrie :
    hormis le fait qu’on le voit un peu partout en dimensions 2 et 3 (dans la vie quotidienne en somme), il est dans
    les Hilbert (par l’inégalité de Bessel, l’égalité de Parseval, les bases hilbertiennes, le procédé d’orthonormalisation
    de Hilbert-Schmidt, le théorème spectral, la théorie des représentations...), il abonde dans toute géométrie riemannienne (l’euclidienne s’avère
    souvent être l’approximation à l’ordre 1 de toute autre géométrie : hyperbolique, euclidienne...).

    Il est cependant un peu regrettable que la discussion soit restée bilatérale :
    d’un côté les commentateurs avec de bons arguments certes mais dont certains se sont sentis
    presque agressés par la question posée ; de l’autre côté, Étienne répondant tout le temps seul, et
    essayant courageusement et pédagogiquement de dissiper les malentendus et d’expliquer les points qui ont été mal compris ou interprétés différemment. Mais... cela a été
    comme ça ! et il n’y a rien à contester ni aux ni aux autres, les points de vue ont été avancés et c’est l’essentiel.

    Personnellement, je reste très attaché à la géométrie
    euclidienne pour pas mal de raisons dont la principale est liée au « bassin géométrique » dans lequel
    mon père m’a plongé assez tôt. Je me permets une petite digression extraite (et adaptée) de l’avant-propos de mon livre
    Géométrie euclidienne élémentaire.
    (Un témoignage du genre a été apporté à ce débat ; donc je ne m’en prive pas non plus !)

    "Mon père était à la fois menuisier, ébéniste et charpentier.
    Jusqu’à un certain âge, j’avais l’habitude de passer une partie de mon temps libre
    dans son atelier. C’est là que j’ai commencé à prendre inconsciemment
    goût à la géométrie : il m’a appris à en faire de façon expérimentale,
    pour l’utilité de la vie quotidienne. Je me contente de donner un exemple de ce que j’ai
    appris auprès de lui : il s’agit justement de Pythagore ! Dans son métier de charpentier, il avait toujours à
    dresser en premier lieu une ferme.
    C’est une structure qui en supporte d’autres et notamment les lattes sur lesquelles se posent les tuiles.
    Elle a la forme d’un triangle isocèle dont la base est l’entrait, les deux côtés égaux sont les
    arbalétriers et la hauteur relative à la base le poinçon.
    Pour la solidité de l’édifice, la mesure de l’angle droit que fait le poinçon avec l’entrait
    et l’égalité des arbalétriers doivent être des plus précises. Son équerre habituelle étant trop petite pour vérifier cela,
    il procède alors comme suit. À partir du milieu de la base, il repère un point à 60 cm d’un côté, un autre à 80 cm
    sur la hauteur et s’arrange pour que la distance entre les deux soit de 100 cm. Il m’explique que cela lui
    garantit que l’angle en question est droit et que son grand triangle est aussi isocèle.
    Il prend la peine de me démontrer cela en mesurant encore une fois.
    "

    Cet attachement si particulier ne me dispense nullement d’être pour l’introduction de doses de
    géométries non euclidiennes sous une forme un peu légère (j’ai des idées dans ce sens) déjà dans les lycées et collèges mais à condition
    qu’elles n’évacuent pas la géométrie euclidienne ! Toutefois, la tâche ne sera pas du tout évidente :
    qui va enseigner ces géométries ? Ces dernières années, la
    formation des enseignants en mathématiques est assez boiteuse, malmenée par les réformes successives...
    Et on sait que l’obtention du CAPES ne signifie absolument pas que les compétences ont été acquises (voir ce billet
    à cet effet).

    En attendant des « jours meilleurs » on peut toujours ouvrir une discussion du même genre le mois prochain.
    Étienne nous (responsables de la rubrique) a d’ailleurs posé explicitement la question là-dessus.
    Si l’un des commentateurs souhaite « provoquer » le « Débat du 18 mars », j’y serai entièrement favorable de mon côté ; et je pense
    que François et Valerio le seront aussi.

    Cordialement,

    Aziz

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