Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

17 mars 2015  - Ecrit par  Valerio Vassallo Voir les commentaires (11)

Ce texte est dans la continuité du débat du 18 février 2015 initié par Étienne Ghys. Il devait servir de commentaire mais vu sa longueur j’ai préféré le mettre sous forme de billet. J’y ai développé quelques points soulevés par Étienne : i) But principal de l’enseignement des mathématiques. ii) Que faut-il enseigner aujourd’hui ? iii) Les laboratoires de mathématiques. iv) Peut-on vivre sans Pythagore ? v) Programmes, vulgarisation et conférences.

Bonjour à tous, bonjour Étienne,

Pardon pour ce retard... mais je ne pouvais pas rester absent de ce débat. Merci Étienne de l’avoir lancé et d’avoir répondu à tout le monde avec engagement, courtoisie, fermeté, sans langue de bois, d’une façon toujours sympathique, etc. etc. Merci !

Et merci aux lecteurs pour la richesse des échanges et une vivacité plus remarquable que d’habitude !

Il a fallu une première question provocatrice d’Étienne pour que beaucoup d’autres soient posées !

Edgard MorinAvant d’apporter ma contribution à ce débat, j’avais besoin de rassembler mes idées afin de mettre par écrit non pas celles qui tiennent compte d’une position de principe (garder à tout prix ceci ou cela, Thalès ou Pythagore ou la règle de trois, les proportions ou le calcul des dérivées, peu importe) mais plutôt celles qui relèvent de mon expérience accompagnée d’une longue réflexion sur les sujets évoqués dans le texte d’Étienne. Comme je pars de l’idée qu’il n’y a pas de modèle idéal pour l’enseignement, ce témoignage ne sera cependant pas constitué de réponses trop précises aux questions posées ; j’irai seulement vers des suggestions que peuvent justifier une pratique intense ainsi que de nombreuses lectures. Les interventions que nous trois, Aziz, François et moi-même (responsables de cette rubrique) menons depuis des années dans les classes (dans les collèges et dans les lycées et, parfois, dans les écoles primaires) ou dans d’autres cadres (école de la deuxième chance, Semaine des Mathématiques, stages de l’IREM, stages pour les élèves de seconde, etc.) donnent notamment quelques pistes de travail et de réflexion, plus ou moins nouvelles. La vision « à l’issue » de ces expériences est devenue complexe et tant mieux. En ce sens, je me sens ces derniers temps plus proche d’Edgar Morin (cf. « Enseigner à vivre – Manifeste pour changer l’éducation » et « Introduction à la pensée complexe »).

À vous, chers lecteurs, de juger ou plutôt de poursuivre ce débat pendant une petite semaine.

But principal de l’enseignement des mathématiques. On pourrait discuter pendant des années autour de ce sujet ! Des textes de référence existent depuis longtemps et je reviendrai sur quelques-uns d’entre eux. Parmi les buts principaux de l’enseignement des mathématiques, il me semble pouvoir en énumérer certains : former les esprits à la réflexion, à la construction de raisonnements, au questionnement, à l’émergence de conjectures là où l’expérience pratique et/ou intellectuelle suggère des pistes ; éveiller la curiosité et l’esprit de recherche ; affiner l’observation et le regard. Or, dans tous les métiers, ces qualités sont indispensables !
C’est par des raisonnements et l’emploi d’une bonne technique (de l’eau savonneuse sur les tuyaux) qu’un plombier a pu détecter d’où venait une fuite de gaz dans une pièce de ma maison. Plus récemment, un jeune dentiste (j’en ai consulté plusieurs avant de tomber sur ce jeune homme) a enfin su me dire ce qui se passait au niveau de mes dents et ceci après 18 ans de recherche ! Il a passé du temps à regarder des radios pour enfin conclure qu’il existait une toute petite infection cachée à la racine, infection consécutive à une mauvaise dévitalisation. Et j’en passe, car je pourrais continuer la liste des exemples accumulés pendant des années où, dans différents domaines, un professionnel (garagiste, médecin, etc.) capable de réfléchir, de faire les bonnes hypothèses puis de construire des raisonnements solides autour de celles-ci peut arriver à la solution d’un problème qui préoccupe, voire qui torture ! L’enseignement des mathématiques, comme tout autre enseignement « suffisamment bon » [1], contribue ainsi à former des esprits qui pourront se sentir bien dans la société civile, dans n’importe quel corps de métier, celui-ci choisi évidemment sur des critères de goût et non d’obligation.

Si, ensuite, on compare notre chère discipline à la philosophie, je dirai aussi qu’on peut trouver dans les mathématiques ce plaisir à transcender la réalité et ceci dès le collège et même depuis l’école primaire. Je suis convaincu – via mon expérience – que les facultés rationnelles ne sont pas tout dans cette vie mais, finalement, je constate qu’on tient beaucoup à les défendre. On y tient tellement qu’il faudrait commencer à se demander sérieusement pourquoi. Les joies du pouvoir sur les autres ? (« Regardez comment je suis intelligent : j’applique ça et ça et j’ai résolu votre problème ! ») Les joies de la compétition ? Les défis entre intelligences différentes ? La rationalité comme cadre sécurisant pour soi-même ? Il y a là, certes, des moteurs dans le travail autour des mathématiques qu’il ne faut pas écarter a priori, mais il y a aussi le risque de trop brouiller les pistes.

PythagoreLes plus faibles en raisonnement mathématique finiront par jeter l’éponge, ne plus avoir envie de comprendre et enfin dire : « Je ne suis pas fait pour comprendre ni Pythagore, ni le reste des mathématiques ! ». Je vous invite à lire le billet d’Aziz « Goûter symétrique chez les collégiens » pour voir comment un élève, Hamza, en grande difficulté dans sa classe, a pu montrer, dans d’autres conditions, la meilleure face de lui-même. Mais pour beaucoup, après un certain nombre d’échecs, c’est l’abandon définitif de l’intérêt envers notre discipline.

Trop d’accrochage à la raison nuit à la raison. Ce que je veux dire c’est qu’en mathématiques, peut-être plus que dans d’autres disciplines, on peut s’accrocher farouchement à des détails. Un exemple. Un collègue me racontait que le professeur de mathématiques de son fils avait donné l’exercice suivant : factoriser 6a + 3ab. Réponse de l’élève : 6a + 3ab = a(6 + 3b). La note pour cet exercice : zéro. Sans commentaire : ni sur la note, ni sur l’énoncé de l’exercice, ni sur les conséquences de ce genre de « prouesses de (quelques) professeurs ». Alors, les professeurs de mathématiques et/ou les mathématiciens seraient-ils les défenseurs d’une rigueur absolue, indiscutable ? C’est justement là que tout le monde se trompe, peut-être aussi les professeurs de mathématiques, lorsqu’on entend dire qu’avec les mathématiciens, on ne peut pas nuancer car, pour ces derniers, « deux et deux font quatre, un point c’est tout ! » Mais voyons ! Combien de débats y-a-t-il eu dans l’histoire des mathématiques autour de telle ou telle notion ? Il suffit de prendre, par exemple, les notions d’angle ou de droites perpendiculaires ou le célèbre cinquième postulat d’Euclide et de voir comment ces idées ont évolué au fil des siècles avec l’arrivée de nouveaux concepts.

Alors, cher Étienne, dans ce contexte – qu’il me soit permis d’écrire - plus « moisi » que vivant, je vois mal comment dire tout d’un coup que deux droites parallèles peuvent se rencontrer (dans un contexte projectif) ou qu’il se pourrait même qu’il n’y ait pas de droites parallèles ou qu’il y en ait une infinité.

Et pourtant, je suis d’accord avec toi sur le fait que notre enseignement à l’école porte en majorité sur de vieilles notions, qui datent de quelques siècles, plutôt que sur les dernières découvertes. Ceci dit, je me demande : qui renvoie une image statique des mathématiques si ce n’est nous, enseignants de mathématiques ? Serions-nous incapables de faire décoller un peu plus souvent nos élèves de la réalité en raison de notre attachement à de petits détails ? Certainement cette réalité – elle qui nous est tellement chère, à laquelle nous tenons tellement au point que certaines idées comme l’abandon, la maladie ou la mort peuvent nous horrifier – cette réalité nous guide en mathématiques comme en physique, mais pas toujours. Et nous le savons aussi bien lorsque nous faisons certains choix par passion, par amour et que nous nous disons : « je ne sais pas pourquoi je le fais mais j’en ai envie ! ». Dans les religions, sans entrer dans un autre débat, nous avons mis en place la notion de foi. Nous accordons donc bien une place à cette partie de nous-mêmes qui semble nous échapper et que nous appelons parfois la partie « irrationnelle ». De même, les psychanalystes accordent une grande importance à la notion « d’inconscient » – alors là, je ne vous dis pas la réaction lorsque je m’amuse à citer ce grand inconnu. Sigmund FreudIl y en a d’ailleurs qui se sont chargés de faire la peau à Freud, avant Pythagore...! Psychanalyse et mathématiques même combat ? Un peu, oui, je le pense, et il serait intéressant de mener une réflexion parallèle sur le sujet (cf. par exemple l’ouvrage d’Anne Siety : « Mathématiques ma chère terreur » et Anne Siety dans le film d’Olivier Peyon « Comment j’ai détesté les maths »). Nous nous réfugions donc chez Madame Raison, comme une mère protectrice. Moi aussi, ne vous en faites pas ! Et lorsque j’ai des attitudes « peu rationnelles », des proches n’hésitent pas à me dire : « Toi ? Un matheux ? Agir comme ça ? Et ta raison ? Elle dort ? ». Hi hi... Quel plaisir, je l’avoue, de dire qu’il existe une partie de moi que je ne maîtrise pas du tout ; je ne sais même pas où elle se cache pour me faire ses farces ! Les grands yeux des amis... Mais où je veux en venir au juste ? Eh bien, j’ai envie de dire que c’est dans ce va-et-vient entre la réalité et le monde des idées (au sens large, y compris des idées floues, peu claires, approximatives) que réside une des difficultés majeures de l’enseignement des mathématiques dans la mesure où ces dernières, paradoxalement, sont utiles puisqu’elles savent aussi oublier leur utilité ! Hi, hi... utiles puisqu’elles savent aussi oublier leur utilité !

Quant à la question « à quoi ça sert les maths dans la vie ? », il faudra, un jour ou l’autre, la mettre plus souvent à côté de l’autre : « à quoi ça sert les maths dans les maths ? ». Autrement dit, il faudra bien qu’à un moment donné les « autres » (élèves, grand public, grands-parents, tontons, tatas, amis, maris, femmes, etc.) s’intéressent, mais vraiment, à notre discipline ! J’irais un peu plus loin : il faudra bien qu’à un moment donné, nous aussi, professionnels, nous nous intéressions davantage à notre discipline. Je provoque mais, le premier visé, c’est celui qui écrit. Souvent je constate que les limites de mes cours sont là où il y a un manque d’intérêt envers ma discipline. Je m’explique avec un exemple choisi parmi d’autres. Un jour, Geoffrey, un étudiant en deuxième année d’études supérieures à l’université, me demande : « Monsieur, connaissez vous deux triangles non isométriques ayant même périmètre et même aire ? ». Je réponds : « Merci Geoffrey pour la question mais là je dois rentrer chez moi, je vais y réfléchir ». J’ai juste eu le temps de faire quelques courses et de rentrer chez moi ; Geoffrey m’avait déjà envoyé un mail contenant un exemple répondant à sa question. Je me suis dit alors qu’il fallait que j’arrête d’encourager mes étudiants à se poser toutes les questions qu’ils veulent ! Là, je plaisante. Puis, puisque j’ai du mal à retenir ce qui me fracasse la tête, j’en ai discuté avec Aziz qui l’a alors résolue dans toute sa généralité en construisant un feuilletage sur l’espace des triangles (voir ici ou ) dont chaque feuille est l’ensemble des triangles ayant une aire et un périmètre prescrits. Anecdotes mises à part, je me suis, à plusieurs reprises, surpris d’être passé à côté de questions fascinantes. Je ne dis pas ça pour me faire la morale, mais juste pour réfléchir à ce qui fait que j’ai encore du chemin à faire, avant ma retraite, pour devenir un professeur et un chercheur « suffisamment bon ».

Certains lecteurs ont évoqué qu’au delà des mathématiques on pourrait s’ouvrir à l’histoire des mathématiques ; on pourrait aussi inviter dans nos connaissances la philosophie ou l’étymologie des mots de notre discipline. Combien de fois, dans mes conférences, je pose la question de l’origine du mot « mathématiques ». La salle reste alors muette ! C’est un détail, on pourrait me rétorquer, mais ça peut apporter un plus à l’intérêt pour les mathématiques. Un jour, lors d’un colloque, le conférencier demanda à la salle : quelle est l’origine du mot « centre » (le centre d’un cercle) ? Là ce fut à moi de rester la bouche fermée et de me tortiller sur mon fauteuil en me disant : « ça doit avoir quelque chose avec « centre ville » ? » À ma plus grande surprise, le conférencier nous dit que le mot « centre » vient du grec et signifie « le dard des abeilles ». Alors là, pour être piqué dans mon orgueil d’homme, soi disant curieux, je fus bien piqué ! Et pourtant, ça fait des dizaines d’années que je prononce ce mot « centre ». Bref… passons.

Les tourments du mathématicien qui cherche à comprendre le but principal de l’enseignement des mathématiques ne s’arrêtent pas là. Il y a des évidences qui font apparaître les mathématiques comme un jeu de l’esprit plutôt qu’un jeu d’une bande d’êtres à part sur la planète. Récemment, deux collègues qui ne se connaissent pas me disaient, en deux moments différents, leur malaise à expliquer à des étudiants et à des non matheux pourquoi, après avoir fait un dessin, il faut encore démontrer le théorème de valeurs intermédiaires ! Je trouvais que leurs motivations respectives étaient très intéressantes mais le public était d’un autre avis : pas besoin de démontrer car « ça se voit ! ». Et quand ça ne se voit pas, comme c’est le cas pour Pythagore ? Alors là, la démonstration devient le travail de gens qui s’attardent sur des détails sans intérêt ! Hi, hi... nous sommes bien coincés !

Pour cette raison je pense que de la philosophie « suffisamment proche » de nos cours s’impose : un discours doit accompagner le cours pour donner à ce dernier du sens ; ceci aiderait notre public à accepter cette démarche peu usuelle dans la vie courante que nous appelons « démonstration ». Le volume de la sphère a été évoqué et j’ai été sensible à ce rappel. Voici encore une de mes petites histoires. Il y a deux semaines, dans un collège de Cambrai, lors d’une de mes conférences (dispositif des « Mathématiques itinérantes »), les élèves m’ont posé la question suivante : comment définir le diamètre d’une figure délimitée par une courbe fermée (non pathologique, entendons nous bien). Le débat a duré quelques minutes mais il a permis d’aller au-delà... du cercle et, en quelque sorte, de libérer les esprits de cette (unique) référence.

Bonaventura Cavalieri La liberté de formuler des questions ou la liberté tout court : un autre but principal de l’enseignement des mathématiques. Puisque je disposais de temps – avant que les élèves ne montrent des signes d’impatience – j’ai voulu me lancer dans la démonstration du volume de la sphère à l’aide du principe de Bonaventura Cavalieri (XVIIème siècle). J’ai donc démontré comment, en partant de volumes connus, celui du cône et du cylindre, et à l’aide de nos chers théorèmes de Thalès et... de Pythagore, on arrive au volume de la demi-sphère. Plus remarquable encore que l’attention portée par les élèves à la démonstration et que leur patience, leur curiosité a été de découvrir (ou de redécouvrir) qu’un pavé droit pouvait se décomposer en une infinité de rectangles, les uns isométriques aux autres, et ceci moyennant des sections planes toutes parallèles à la section de base. Pour mieux appréhender cette idée, j’avais apporté un jeu de cartes (napolitaines). D’abord ils ont vu le jeu de carte (mon pavé) comme un ensemble de quarante cartes. Puis, poussés par mon questionnement (Socrate aide dans ces cas-là !), ils ont imaginé une infinité de cartes, les unes sur les autres, pour former le « pavé ». Le temps est passé agréablement : deux heures de débat, de va-et-vient, de questions et de réponses, dans la joie.

Développer l’imaginaire : voici un autre but, en plus de ceux déjà cités, de l’enseignement des mathématiques. Ce dernier n’est pas étranger aux autres disciplines. Toutefois, lorsque j’en parle en dehors du cercle des collègues, de grands yeux s’ouvrent en face de moi car « en mathématiques, semble-t-il, il n’y a que de la raison et pas d’imagination... »

Jean-Pierre KahaneJe terminerai ce paragraphe par deux citations de Jean-Pierre Kahane (cf. le film : « La passeggiata », Lille 1 TV) :

  • « J’ai toujours pensé d’être professeur de mathématiques avant de penser à être mathématicien ».
  • « J’ai beaucoup aimé la dialectique entre enseigner les mathématiques et chercher à faire des mathématiques nouvelles. Ça a toujours été une source d’inspiration pour moi ».

Que faut-il enseigner aujourd’hui ? Pythagore ou pas Pythagore ? This is the problem ? Non, je ne pense pas. La question soulevée par Étienne concerne, entre autres, à mon avis, le bon usage de l’apprentissage par cœur et le rôle de la mémoire en mathématiques. Beaucoup d’enseignants, dont je fais partie, ont, faute de temps, souvent besoin d’admettre quelques résultats. Le temps étant insuffisant pour tout énoncer, tout démontrer et tout appliquer, nous nous voyons contraints « d’admettre ». Mais que signifie « admettre un résultat » ? Cette question est un autre point délicat de l’enseignement. Il est fondé sur la confiance entre professeurs et élèves. Personnellement, je donne toujours la consigne d’aller chercher dans les livres les démonstrations des résultats admis. Je ne sais pas si cette démarche est toujours faite par mes étudiants et j’ai quelques doutes à ce propos. Ce que je veux dire par là est que la mémoire finit, tôt ou tard, par jouer un rôle très important dans tout apprentissage. Elle le joue déjà lorsque nous démontrons un théorème. Elle le joue davantage encore lorsque nous admettons un résultat, parfois sans exemple d’application.

La plupart des professeurs et des chercheurs sont au fond convaincus qu’ « un théorème énoncé devant le public est un théorème appris par celui-ci ». On les apprécie tellement, « nos » théorèmes, qu’on finit par croire que cet amour est non seulement partagé mais que « nos » théorèmes deviennent « leurs » théorèmes. Quelle foi dans le partage des mêmes sentiments et quelle foi dans la mémoire ! Alors que nous savons très bien que nous pouvons oublier le chemin qui permet de revenir chez des amis que nous n’avons pas vus depuis longtemps. Nous (d’origine étrangère) savons bien que nous ne pouvons pas aisément retrouver certains mots de notre langue maternelle, des mots que nous n’utilisons plus depuis des années (ce fut le cas pour moi : je ne savais plus dire « betterave » en italien ; le retour du mot à mon esprit a pris trois jours !). En ce qui concerne le théorème de Pythagore – je reste favorable à son enseignement, il serait souhaitable non seulement de l’énoncer avec l’aide d’un beau dessin, mais aussi de le démontrer, pas d’une façon mais de plusieurs façons (il doit avoir le record du nombre de démonstrations et de citations...), puis de l’appliquer dans différentes situations théoriques ou choisies dans la vie courante.

Avec Romain, un collègue enseignant dans un collège de Lambersart, nous avons fait l’expérience de le démontrer puis d’étudier en classe les situations de l’angle obtus et de l’angle aigu à la place de l’angle droit, ceci pour faire comprendre la variation de la belle formule. Voilà un autre point qui me semble important : un théorème, celui de Pythagore ou d’autres, est beaucoup plus intéressant lorsqu’il est placé dans un contexte plus général. Parfois, un résultat seul peut se révéler inintéressant alors que, dans un contexte « plus dynamique », il trouve sa beauté grâce à sa spécificité. Me viennent à l’esprit des morceaux de musique dans lesquels les variations introduites à un moment donné créent une telle atmosphère que même une partie moins agréable trouve un bon accueil à l’oreille. Si vous préférez, c’est le charme du trèfle à quatre feuilles dans le champ des trèfles à trois feuilles.

D’autres raisons expliquant mon intérêt pour Pythagore, outre sa richesse permettant de le regarder sous plusieurs angles, ont été données par Aziz et d’autres lecteurs lors du débat.

Je tiens à partager une autre expérience au sujet de Pythagore. Aziz, François et moi-même prônons un recours à des constructions matérielles pour l’illustrer : les LEGO font bien l’affaire, des petites cordes à treize nœuds aussi. Cette idée d’avoir recours à des objets simples (ficelles, cartons, paille, riz...) peut aider à traiter bien d’autres sujets mathématiques.

Émile BorelLes laboratoires de mathématiques. Dans un célèbre discours au Musée Pédagogique, Émile Borel avait préconisé la création de laboratoires de mathématiques dans les établissements scolaires. Pour les grands établissements il avait même souhaité la présence d’un préparateur (un ouvrier menuisier  : c.f. les commentaires de Cédric Villani et Aziz) ; je cite : « Sous la haute direction du professeur de mathématiques, et suivant ses instructions, les élèves, aidés et conseillés par l’ouvrier préparateur, travailleraient par petits groupes à la confection de modèles et d’appareils simples. Si l’on possédait un tour, ils pourraient construire des surfaces de révolution ; avec des poulies et des ficelles, ils feraient les expériences de Mécanique que nous décrivait M. Henri Poincaré, vérifieraient d’une manière concrète le parallélogramme des forces, etc. ». L’idée de Borel de créer des laboratoires de Mathématiques était « d’amener non seulement les élèves, mais aussi les professeurs, mais surtout l’esprit public à une notion plus exacte de ce que sont les mathématiques et du rôle qu’elles jouent réellement dans la vie moderne » (cf. aussi Jean-Pierre Kahane dans le film : « La passeggiata » Lille 1 TV). Il conclut : « Une éducation mathématique à la fois théorique et pratique, comme nous avons cherché à la concevoir, peut exercer la plus heureuse influence sur la formation de l’esprit. Nous pouvons espérer ainsi former des hommes ayant foi dans la raison, et sachant qu’il ne faut chercher à biaiser en face d’un raisonnement juste : il faut s’incliner. Ils auront aperçu, sur des exemples multiples, le déterminisme des phénomènes naturels et seront préparés à comprendre la notion de loi physique. Mais, en même temps, ils se défieront de tout raisonnement en l’air, sans base dans le réel, portant sur des mots mal définis, de tout calcul effectué sur des nombres abstraits dont la signification concrète n’est pas précisée ; ils chercheront toujours à voir l’objet tangible derrière le symbole. En un mot, nous contribuerons à former des hommes libres, dont la raison ne s’incline que devant le fait ; nous ferons tout au moins tous nos efforts pour nous rapprocher le plus possible de cet idéal ».

C’est le va-et-vient dont je parlais plus haut entre la réalité et le monde des idées. Les propos de Borel – que je partage en grande partie mais que j’ai nuancés précédemment avec la présence d’une partie intéressante, celle « irrationnelle », à ne pas négliger – ont été repris par Jean-Pierre Kahane (cf. rapport de la CREM, chez Odile Jacob, 2000). Ce rapport, connu comme le « rapport Kahane », a trouvé un large écho à son époque mais pas de concrétisation dans les établissements. En 2006, la Cité des Géométries avait consacré un Colloque (« Mathématiques : des laboratoires pour le primaire et le secondaire ? ») au thème des laboratoires dans l’espoir d’une plus large écoute des idées de Borel et de Kahane.

Emma CastelnuovoEmma Castelnuovo a aussi fortement encouragé en Italie la
création des laboratoires
de mathématiques. Elle formulait un de ses soucis principaux
sur l’enseignement des mathématiques par la question
suivante :
"Une éducation à ’savoir voir en mathématiques’ est-elle possible ?
(cf. "É possibile un’educazione al ’saper vedere’ in
matematica" ?, Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, 1967).
Elle reprenait une question soulevée par le titre du livre de Bruno
De Finetti : Il « saper vedere » in matematica, (Éditions Loescher, 1967).
Ceci ramène à la question cruciale : Pourquoi les élèves ne voient
pas ce que nous les enseignants voyons ?.
Cette question est vraie à différents niveaux ; un chercheur de haut
niveau
peut ne pas comprendre, voir, imaginer ce qu’il voit, imagine,
comprends un autre chercheur.
Cette idée de laboratoires de mathématiques au sens de Borel-Castelnuovo-Kahane,
nous la développons dans les stages
de l’IREM à Lille. Aziz, François et moi l’avons impulsée avec succès dans quelques
collèges et lycées du
Val de Sambre et à l’École de la 2ème Chance du Grand Hainaut via les activités de la Cité des Géométries.

Personnellement, je doute que l’on puisse arriver à un enseignement des mathématiques « suffisamment bon » sans passer par les phases qui ont été le cheminement de notre discipline au cours des siècles : une discipline née pour répondre à des besoins pratiques (compter, mesurer des terrains, etc.), devenue ensuite un système de pensée (les Éléments d’Euclide et ses développements : les géométries non euclidiennes et la géométrie projective pour en citer quelques-uns), puis une discipline qui interagit de plus en plus avec les autres sciences et les sciences humaines (avec la philosophie et la physique en premier abord, ceci depuis l’Antiquité, puis avec la chimie, la biologie… et, ce dernier siècle, avec l’informatique).

L’attractivité des mathématiques ne peut donc pas passer par un
mélange savant
de toutes ces entrées et leurs expérimentations auparavant dans
quelques établissements.

William ThurstonJe souhaite terminer ce paragraphe en apportant le témoignage de W. Thurston sur le thème du raisonnement et de la place de celui-ci dans l’activité du mathématicien. Dans un article (magnifique !) « Preuve et progrès en mathématiques » traduit et paru en 1995 dans la revue Repères IREM, Thurston écrit : « Nous disposons de plusieurs façons innées de raisonner et d’assembler les choses qui sont liées à la façon dont on fait des déductions logiques : cause et effet (reliés à l’implication logique), contradiction ou négation, etc. Apparemment, et en général, les mathématiciens ne s’appuient pas sur les règles formelles de la déduction pendant qu’ils pensent. Ils gardent plutôt à l’esprit un bon morceau de la structure logique de la preuve, décomposant les preuves en résultats intermédiaires de façon à ne pas avoir à traiter trop de logique à la fois. En fait, on rencontre souvent d’excellents mathématiciens qui ne connaissent même pas l’usage standard et formel des quantificateurs (« quel que soit » et « il existe »), bien que tous les mathématiciens effectuent certainement les raisonnements que ces écritures formelles codent. Au passage, il est intéressant d’observer que, bien que « ou », « et » et « implique » possèdent un usage formel identique, nous pensons à « ou » et « et » comme des conjonctions et « implique » comme un verbe ». À méditer...

Peut-on vivre sans Pythagore ? Oui ! on vit bien sans connaître les processus de fabrication du pain, de l’huile d’olive, du savon et du café (la boisson préférée des mathématiciens) ; en ignorant la plupart des noms des plantes, des fleurs, des animaux qui nous entourent. Alors on peut bien vivre sans Pythagore. D’ailleurs, des milliards d’individus vivent sans connaître du tout le fameux théorème ou en n’en connaissant qu’un vague énoncé. Les questions qu’on peut alors poser : faut-il mettre les mathématiques dans une poubelle ? Ou encore : faut-il mettre l’École dans une poubelle ? Non, n’exagérons pas, diriez-vous ! Et pourtant, quand on est élève ou étudiant, on ne va pas souvent à l’école ou à l’université avec la joie au cœur. Mais voyons, quelle est l’étymologie du mot école ? J’ai un souvenir agréable de l’origine de ce mot. Je consulte le dictionnaire et je trouve : du latin, schola « loisir studieux » et du grec « arrêt de travail, loisir consacré à l’étude ». Loisir ? Arrêt de travail ? Nos ancêtres devaient avoir une (autre ?) idée de l’école. Mais il est vrai que cette école a été depuis longtemps l’objet d’amour et de haine, de passions violentes, d’expérimentations... Tout le monde a à dire son opinion sur l’école ; qui ne rêve pas d’une école idéale que peut-être l’on ne connaîtra jamais ?

L’école de nos jours est devenue le réservoir de tous les débats
(laïcité, violence, ...), de tous les problèmes
et de toutes les appellations (fabrique de crétins,...) et je me
demande : peut-on encore y travailler sereinement ?
Au-delà de toute proposition pour la rendre attractive, comment peut-on rendre l’école attractive, comment travailler à la transmission des savoirs -
chose en soi déjà très complexe - dans des conditions de grande
perméabilité ?

Ivan Illich - Une société sans écoleIl y en a qui ont imaginé une société sans école. Ivan Illich par exemple. Dans « Une société sans école » (1971), il écrit : « Certes, l’école n’est pas la seule des institutions modernes qui se fixe pour but essentiel d’imposer à l’homme une vision particulière de la réalité. À y bien regarder, on retrouverait cela dans la vie familiale, assurément dans l’armée, dans le service de santé, dans les professions si joliment baptisées « libérales » et, bien entendu, dans tout ce que l’on appelle les « media »... Mais l’école rend l’esprit plus esclave, conduit à un esclavage où rien n’est laissé au hasard. Seule, l’école est censée (et c’est, dit-on, sa fonction primordiale) former le jugement critique. Or, paradoxe assurément, comment s’y prend-elle, sinon, comme nous l’avons vu, en faisant de l’apprentissage du moi, d’autrui, de la nature, une série de biens de consommation pré-emballés ? Et, le pire, c’est qu’elle finit par nous investir tous, qu’elle s’empare si entièrement de nous, que le seul espoir de libération, c’est en nous qu’il faudra le trouver, surtout pas l’attendre de quelque aide extérieure. Certains se croient révolutionnaires et sont encore victimes de l’école. Ils en viennent à envisager une « libération » que leur donnerait une institution. Il faut d’abord se libérer de l’école pour dissiper de telles illusions ».

Je renvoie aux ouvrages de cette personnalité hors du commun pour mieux approfondir ces idées.

La question toute « simple » que je me pose après toutes ces années passées dans des institutions est alors : que signifie « faire quelque chose » ? Il y aurait un vague principe qui dirait « qu’il vaut mieux faire bien quelque chose, plutôt que la faire mal... ». Qu’il s’agisse de cuisine ou de prendre des photos ou de faire une captation vidéo, ou de conduire une voiture, ou de donner un cours, ou de faire une recherche, ou d’extraire une dent, ou de peindre une façade, ou d’écrire un texte... le principe que je viens d’énoncer peut toujours s’appliquer.

Albert Camus« Mal nommer les choses, c’est ajouter la misère du monde » : ce n’est pas une phrase d’un célèbre mathématicien défenseur des définitions mathématiques mais d’Albert Camus. Pour jouer encore la séquence nostalgie, je sais qu’il y avait dans le temps des cours de calligraphie. Autrement dit, l’être humain est interrogé, voir intrigué, attiré par la qualité, la beauté au sens large.

Mon expérience m’a prouvé peu de choses, mais l’une sur laquelle j’ai acquis quelques certitudes ces dernières années est que la jeunesse a besoin de profondeur. J’ai déjà écrit sur ce site que, lorsque des élèves de Cinquième d’un petit village du Val de Sambre m’ont demandé si Aristote, Léonard de Vinci ou Einstein étaient des mathématiciens, je me suis dit que tout n’était pas perdu, bien au contraire ! L’histoire d’Hamza, comme tant d’autres vécues ces dernières années, m’a donné un espoir : un renouveau à l’école est possible.

Récemment, à l’université, j’ai donné à chercher la démonstration d’un magnifique théorème dû à Monge : le théorème du papillon (une démonstration se trouve dans le livre d’Aziz Géométrie euclidienne élémentaire ). Quel plaisir chez les jeunes de chercher ! Toutefois, avec mes propres étudiants, la mission de les enthousiasmer se révèle moins simple que lorsque je me rends dans d’autres classes. Ce qu’ignorent trop souvent les parents est l’énergie mentale et physique requise pour enchanter leurs enfants. Ce qui fait dire à certains professeurs qu’il serait mieux de mettre les parents en dehors de l’école ! Sur ce point je suis assez d’accord.

En contrepartie, je suis très favorable, comme vous l’aurez compris, à donner davantage la parole aux élèves. Il faut dire aussi que, lorsque vous êtes invité pour donner une conférence, vous avez le beau rôle. D’où la question : ces dispositifs ne pourraient-ils pas être encouragés ? En terminale L, pendant les cours de théâtre, des professeurs invitent régulièrement des comédiens ou des metteurs en scène. Et si, pendant tous les autres cours, y compris ceux de mathématiques, l’intervention des universitaires était davantage régulière et complémentaire à celle des collègues du Secondaire ? Ne serait-elle pas un moyen de faire rentrer davantage le monde de la recherche (avec les perspectives d’avenir professionnel) dans les écoles ?

Personnellement, je ne crois plus au monopole du cours de la part du professeur. J’applique à moi-même ce que je dis. Il m’arrive d’inviter des collègues dans mes TD et de chercher à me faire inviter. Chacun apporte son point de vue, différent et complémentaire au mien. Pour moi, c’est source de stimulation intellectuelle et, pour mes étudiants, c’est un enrichissement inattendu. Voilà comment faire tomber la vieille croyance que « le cours appartient au professeur en poste ». Le cours mené uniquement de façon traditionnelle est, à mon avis, un reste du passé sans avenir.

Le système, dans n’importe quelle forme, a mal vieilli, ce qui a donné à penser à Ivan Illich qu’il vallait mieux imaginer une société sans école.

Dans la réalité, j’ai l’impression que nous avons assisté à une lente mais inexorable dégradation de l’école. Plus on parle, plus l’édifice s’écroule. Entre 1993 et 2003, j’ai fait passer des colles en classes préparatoires dans un grand Lycée de Lille réputé pour ses résultats aux concours. J’ai assisté au phénomène suivant : dans les classes d’un même parcours, je ne pouvais plus donner dans les années 2000 les exercices des années précédentes. Ce qui m’a effrayé dans cette expérience n’a pas été d’avoir à gérer la frustration de ne plus pouvoir donner les exercices prévus pour ce parcours, mais le fait de voir, au fil des années, partir en fumée l’esprit d’abstraction. Corollaire : il a fallu donner des exercices de plus en plus simples, parfois sans aucun intérêt !

Récemment, une collègue était désespérée car, dans un cours sur les équations différentielles, les étudiants ne savaient pas ce que signifie « vérifier qu’un point donné P(a,b) appartient ou non à une parabole d’équation donnée ». Il va de soi que l’on se demande non seulement quel est notre rôle dans un tel cas, mais aussi où sont passés le sens des notions, les connaissances... J’ai rencontré le même désespoir chez une autre collègue qui avait des difficultés à faire passer la notion de famille génératrice.

Encore une fois, il ne s’agit pas de craindre qu’il faille faire le deuil de notions, comme les vecteurs, bien apprises, mais qu’il faille, à notre époque, renoncer à trouver une vision des mathématiques « suffisamment bonne » chez les étudiants. La géométrie participe à cette vision ; en attendant, s’il n’y a presque plus de géométrie (une question qu’on me pose souvent), ce n’est pas de la faute de mon garagiste mais de celle des professeurs de mathématiques qui l’on laissée partir. Désolé d’être cru, mais la pétition que Arnaud Bodin, Aziz El Kacimi, François Recher et moi-même avons lancée le 2 avril 2009 pour éviter les dégâts actuels n’avait recueilli qu’un nombre de signatures de l’ordre de quatre à cinq mille. Peu, pour freiner le massacre. Maintenant, à juste titre, beaucoup de collègues se plaignent que nos étudiants « n’ont plus la bonne vision ». Je suis convaincu que d’autres branches des mathématiques aident à forger celle-ci mais l’expérience sur plusieurs siècles prouve que la géométrie a un rôle presque incontournable.

Palais des Beaux Arts de LilleJe crois encore que l’essentiel des bases peut être fourni par un même professeur, les intervenants extérieurs pouvant permettre de montrer aux élèves comment leur professeur dialogue avec ses pairs. J’ai trouvé l’expérience suivante non seulement intéressante mais amusante. Dans un collège à Haubourdin nous avons tenté, je pense avec succès, l’expérience de deux cours, un de mathématiques et un autre d’arts plastiques, l’un suivant l’autre. Dans le premier, les élèves regardaient une configuration géométrique, relevaient les éléments essentiels présents et imaginaient les éventuels éléments à rajouter (constructions auxiliaires). Dans le deuxième, les mêmes élèves regardaient un tableau, signalaient les éléments essentiels présents et imaginaient ce que le peintre avait voulu exprimer. Dans les deux cours, les élèves ont ainsi cherché avec l’aide des professeurs à affiner leur regard, à faire fonctionner leur imagination et à utiliser leurs connaissances. Ceci a permis aux deux professeurs non seulement de s’enrichir en travaillant ensemble mais aussi de réfléchir et d’avancer face aux difficultés communes des élèves dans les deux disciplines. Pour mener à bien cette expérimentation nous avons mis en place un groupe de travail à l’IREM de Lille. Les travaux de ce groupe sont partagés avec d’autres collègues lors des stages de formation continue (Plan Académique de Formation). Lors de ces stages nous travaillons à l’IREM sur des configurations géométriques et des tableaux. Puis, nous nous rendons au Palais de Beaux Arts de Lille où Juliette Barthélémy, historienne de l’art, nous attend pour une visite. Nous devenons tous élèves. Nous proposons à Juliette nos commentaires devant les tableaux qu’elle nous présente. Nous avons tenté la même expérience à Lyon (dispositif « Graines des Maths ») et une autre est en projet à Rome. Parfois nous restons bloqués devant les œuvres d’art ; nous ne savons pas trop quoi en dire... Nous découvrons les « joies » des élèves qui bloquent devant un problème. Pourquoi ? Parce que souvent « l’élève ne voit pas ce que le professeur voit ». La géométrie permet de confronter ces regards. Lors de ces stages, nous observons aussi comment une partie des professeurs stagiaires commence à perdre les « bons réflexes » pour résoudre des petits problèmes. La sonnette d’alarme est tirée ! Si nous, professeurs de mathématiques, perdons les bons réflexes, comment ne pas s’attendre à ce que les élèves n’acquièrent pas les « bonnes compétences » ? Je ne pense pas – je ne suis pas seul – qu’aller uniquement du côté de l’informatique soit le bon choix. Au moment des menaces qui pesaient sur la géométrie, n’aurait-il pas été possible de mettre en place dans tous les IREM de France une formation continue apte à développer les capacités de résolution des problèmes de géométrie qui semblent terroriser beaucoup de collègues ? Lors de ces stages, je constate en tout cas que la passion est là, à côté de la règle, du compas, de la gomme et du crayon.

Les mathématiques ont subi une nette baisse d’attractivité dans l’opinion des gens ; la géométrie, cher Étienne, commence à rentrer dans les archives de la mémoire et Pythagore avec. Il « mourra » d’une mort programmée et, peut-être, la science subira le même sort. À ce sujet, je tiens à signaler qu’un des problèmes dont souffrent les mathématiques est l’isolement dans lequel elles ont glissé au fil des années : de discipline de sélection à discipliné détestée. Il serait intéressant de transformer le langage des mathématiques en un langage de la vie courante. Michel Eltchaninoff et Samuel Webb, dans l’article « Une contre-histoire de l’intelligence » (Philosophie magazine, septembre 2014, page 57), écrivent :

« Quant à Pascal, mathématicien de génie et inventeur surdoué, il oppose l’esprit de géométrie et l’esprit de finesse. Le premier consiste à raisonner selon des principes fermes, mais nets, parce qu’abstraits et « éloignés de l’usage commun, de sorte qu’on a peine à tourner la tête de ce côté-là, manque d’habitude : mais pour peu qu’on l’y tourne, on voit les principes à plein (Pensées). » On dirait aujourd’hui qu’ils sont formels et analytiques. L’esprit de finesse est plus intuitif : « Il faut tout un coup voir la chose, d’un seul regard et non pas par progrès de raisonnement. » Or, avoir « la vue bonne » est chose rare chez les géomètres parce qu’ « ils veulent traiter géométriquement ces choses fines et se rendent ridicules ». En effet, « ils ne voient pas ce qui est devant eux », plus habitués à jouer avec des principes éloignés du sens commun et reliés entre eux par de complexes chaînes rationnelles. En revanche, la finesse permet de bien observer, de remarquer ou de sentir l’importance d’un détail sans passer par des règles explicites ni des procédés formels. « Pour conclure » Il faut encore persuader, en faisant appel à la sensibilité et à l’imagination. Le séducteur, le diplomate, le stratège, le romancier développeront cet esprit de finesse et utiliserons au mieux des milliers de petits renseignements que manque le géomètre. »

Il y a là quelques pistes (nouvelles ?) pour l’enseignement des mathématiques, afin de donner à celles-ci une place dans un champ plus vaste que celui de l’École. Ce sont les mathématiques dans la vie et dans la culture, pour suivre quelques idées d’Edgar Morin et Jean-Marc Levy-Leblond (cf. l’article : « (Re)mettre la science en culture : de la crise épistémologique à l’exigence éthique »).

Puis, qui dit que les mathématiques sont la seule forme d’intelligence ? Elles sont une forme de l’intelligence. Dans une théorie émise par le psychologue Howard Gardner en 1983 (cf. « Les Formes de l’intelligence »), on trouve une pluralité des intelligences : l’intelligence linguistique, musicale, spatiale, kinesthésique (des mouvements de notre corps), interpersonnelle, intrapersonnelle. Daniel Goleman (cf. « L’intelligence émotionnelle ») a insisté sur une intelligence émotionnelle. Il est temps que notre communauté mathématique s’intéresse à ces autres formes d’intelligence pour ne pas laisser les mathématiques sur un piédestal en or mais trop fragile ! Pour reprendre l’idée de « pensée complexe » d’Egar Morin, il s’agit bien plus de saisir le mécanisme de la connaissance et de son partage que le fait d’accumuler des savoirs déconnectés les uns des autres.

Alain ConnesProgrammes, vulgarisation et conférences. Alain Connes dit (« Les Déchiffreurs, voyage en mathématiques ») : « En mathématiques, de mon point de vue, le b.a.-ba c’est que l’on ne devient pas mathématicien en apprenant, on devient mathématicien en faisant des mathématiques. Donc, ce n’est pas le « savoir » qui compte, ce qui est important, c’est le savoir-faire. Bien entendu les connaissances sont absolument nécessaires – et il n’est pas question de faire table rase des savoirs acquis – mais j’ai toujours pensé que l’on progressait davantage en séchant devant un problème de géométrie qu’en absorbant toujours plus de connaissances mal digérées ». Dans ce contexte, il me semble avoir été assez clair : les programmes devraient être « suffisamment raisonnables » (vis-à-vis du temps dont on dispose) mais chaque sujet traité devrait pouvoir être l’occasion d’approfondissement et d’ouverture. Il y aurait le temps pour sécher et le temps pour résoudre un problème. Je pense qu’il est fondamental qu’un étudiant garde comme souvenir de ses cours de mathématiques le plaisir de penser et, grâce à eux, d’avoir été capable de devenir « l’autorité de soi-même ». J’avais par ailleurs déjà lu que « l’état d’esprit de l’enseignement est presque plus important que le contenu lui-même – on pourrait dire qu’il est constitutif de ce contenu. » (« Les savoirs fondamentaux au service de l’avenir scientifique et technique, comment le réenseigner », Les Cahiers du débat, Novembre 2004).

Une anecdote. Il y a quelques années, une jeune réalisatrice avait tourné un film court : « Le Nombre i ». L’acteur principal du film est un professeur de mathématiques qui raconte la méthode de Cardan. La réalisatrice, selon ses propres propos, avait voulu dédier ce film à son professeur de mathématiques car, grâce aux cours de celui-ci, elle avait appris à se structurer et finalement à mener à bien ses projets avec l’assurance nécessaire. Quel bonheur de conserver un regard « suffisamment positif » de ses professeurs sur soi-même. Quel bonheur de penser à une discipline en pensant au regard confiant du professeur ; quelle cure d’assurance pour la vie !

Jean DieudonnéRevenons aux programmes et, j’ajouterais, revenons à la géométrie. Dans quelques commentaires a été rappelé le slogan « à bas Euclide ! » de Dieudonné. Malheureusement, ce dernier n’est plus là pour nous dire exactement ce qu’il voulait dire par là. L’idée que je me suis faite concernant ce cri de guerre, bien qu’il y ait plusieurs interprétations, est celle qui revient le plus souvent, à savoir l’usage trop circonscrit de la géométrie. Alors puisque je ne peux pas aller interviewer Dieudonné, j’ai ouvert son livre « Algèbre linéaire et géométrie élémentaire » (1964). C’est dans celui-ci que j’ai trouvé des éléments pour comprendre ce sacré bonhomme et son fameux slogan. Dans l’introduction, Dieudonné écrit : « Ce volume donne un exposé détaillé et complet des notions et théorèmes d’algèbre linéaire élémentaire que devraient constituer le bagage minimum du bachelier ès-science au moment où il entre dans les classes du 1er cycle de l’Enseignement supérieur ». Puisque Dieudonné est conscient « qu’à l’heure présente il n’y a sans doute qu’un bachelier sur mille qui serait en état de lire ce livre », il ajoute qu’il « l’a conçu comme un «  livre du maître  ». » À travers l’utilisation de l’algèbre linéaire, Dieudonné souhaite abattre le cloisonnement entre toute une impressionnante liste de « sciences » qu’il énumère :

  • la « Géométrie pure » ;
  • la « Géométrie analytique » ;
  • la « Trigonométrie » ;
  • la « Géométrie projective » ;
  • la « Géométrie conforme » ;
  • la « Géométrie non-euclidienne » ;
  • la « Théorie des nombres complexes ».

Beau projet... mais destiné à qui ? « Le programme développé dans ce livre est destiné aux deux ou trois années terminales des lycées » mais Dieudonné avoue qu’il ne lui est « guère possible d’apporter autre chose que des « vues de l’esprit », étant donné son manque total de compétence en ce qui concerne les réactions des enfants de 11 à 14 ans ». Dieudonné voudrait pourtant réussir son entreprise généreuse et il est prêt à vaincre « deux difficultés psychologiques certaines : 1° il faut arriver à faire prendre conscience à l’élève de la nécessité d’un traitement axiomatique des mathématiques ; 2° il faut dès que possible le familiariser avec le maniement constant de certaines notions abstraites, dont la plus difficile à assimiler est sans doute celle d’application (ou « transformation ») et plus encore peut-être celle du calcul sur les applications ». Dieudonné reconnaît ainsi la hardiesse de son programme ; nous savons maintenant qu’il a été impossible à réaliser et même qu’il s’est conclu par un grand échec et des dommages pour l’image des mathématiques que nous regrettons encore et encore.

Félix KleinOn ne peut pas faire des programme à coup de « il faut ci, il faut ça ». Mais on peut continuer à lire Dieudonné pour comprendre l’étendue de ses idées : « il serait désirable de libérer l’élève dès que possible de la camisole de force des « figures » traditionnelles, en en parlant le moins possible (point, droite, plan exceptés, bien entendu) au profit de l’idée de transformation géométrique du plan et de l’espace tout entier, sur laquelle on doit insister sans cesse et qu’il faut illustrer par des multiples exemples. » Il est évident que Dieudonné a été fasciné par le « Programme d’Erlangen » de Felix Klein qu’il cite quelques lignes auparavant. Dans la suite, je trouve que Dieudonné révèle toute sa passion pour la géométrie élémentaire classique : « De même il convient certes d’apprendre à l’enfant l’art des constructions géométriques, mais de fuir comme la peste ce qui est sans doute le plus gigantesque « canular » de l’enseignement classique, la limitation des instruments de dessin à la règle et au compas : il faudrait au contraire multiplier les exemples d’appareils mécaniques réalisant des constructions variées, et plus encore réalisant des transformations du plan (pantographe, affinographe) ». On peut trouver de beaux exemples de tels appareils à l’Université de Modène à l’origine de l’exposition « Macchine matematiche » (invitée par la Cité des Géométries en 2007 à Maubeuge). Vous ne pensez pas que Dieudonné est en train de dire qu’il faut aimer les triangles, comme les parallélogrammes, comme les isométries, les homothéties... ? Il veut embrasser toutes les géométries de sa liste ; mission impossible pour des programmes destinés à une nation tout entière. Il ne propose pas, sans le dire explicitement, que la salle de classe soit un laboratoire au sens d’Émile Borel, n’est-ce-pas ?

Gustave ChoquetIl cherche ensuite à trouver un compromis autour de l’introduction des « axiomes » et propose de « donner des exemples de déduction logique » . Il critique l’enseignement de l’axiomatique d’Euclide-Hilbert, mais il est conscient qu’il y a le problème du « point de départ ». Dans l’introduction de ce même livre, Dieudonné invite alors Choquet et ses axiomes comme base pour un enseignement de la géométrie élémentaire (cf. Gustave Choquet « L’Enseignement de la géométrie » et aussi André Revuz « Choquet et l’enseignement de la géométrie élémentaire »). Dieudonné affirme que « quelques mois d’expériences sur le papier quadrillé devraient suffire pour accoutumer l’élève à leur maniement (axiomes d’espaces vectoriels), et les préparer à admettre sans hésitation que l’on fonde l’édifice algébrico-géométrique sur des propriétés dont il lui est facile de vérifier l’exactitude expérimentale ».

Dieudonné, dans les treize pages qui précèdent la matière traitée, montre aussi, d’une façon que je n’hésiterais pas à qualifier de spectaculaire, tous les tourments du grand mathématicien qui souhaite transformer chaque élève en grand mathématicien. Il serait intéressant que cette introduction soit l’objet d’une étude plus approfondie ; on pourrait certainement apprendre beaucoup sur les difficultés liées à l’élaboration d’un programme « suffisamment raisonnable ». Choquet, de son côté, affirme : « Pour les jeunes enfants, l’enseignement de la géométrie ne peut être déductif. Ce doit être un enseignement basé sur l’observation ; son but est l’élaboration des concepts fondamentaux à partir de l’expérience (...). Entre 13 et 16 ans, l’enfant commence à comprendre ce qu’est une démonstration ; chez certains s’éveille une véritable soif de logique, que le temps est venu d’aborder sérieusement le raisonnement déductif. On va donc faire établir par l’enfant des morceaux de raisonnement déductif, en prenant soin de lui faire toujours préciser ses prémices. » Voilà un autre programme ! Je trouve qu’il a son intérêt. Au lycée, on pourrait aller un peu plus loin donc, avec des « thèmes de recherche » proposés aux élèves de bonne volonté dans un premier temps, ce qui encouragerait éventuellement les autres camarades à se lancer également dans des explorations par la suite. Lorsque dans les années quatre-vingts j’enseignais dans un lycée de Rome, au début de ma carrière, j’avais senti le besoin d’aller plus loin que la géométrie d’Euclide. Une jeune élève, Elisabetta, fut conquise par l’idée de travailler un chapitre d’un livre de divulgation sur les géométries non euclidiennes et fit un brillant exposé.

La question posée par Étienne revient ici : pourquoi ne pas ouvrir les mathématiques enseignées dans le secondaire à certains de leurs développements plus récents ? Pourquoi, au lycée, ne pas profiter des mouvements rigides (isométries) laissant invariant un triangle équilatéral ou un carré pour introduire la notion de groupe, sans que ce mot ne devienne un « gros mot » pour autant ? Suite à l’expérience des mathématiques modernes, j’ai l’impression qu’en France toute ouverture est devenue tabou ! Finalement, dans l’imaginaire collectif court un cri même pas silencieux : « à bas les mathématiques ! ». D’une façon plus constructive, je dirais que de petits exemples pourraient servir dès le collège ou le lycée pour parler des graphes. On pourrait prendre plaisir à résoudre des problèmes comme celui des sept ponts de Königsberg ou celui de l’existence des cinq polyèdres réguliers.

Par ailleurs, il y a des parties des mathématiques qui pourraient être traitées (démontrées ?) comme on le fait dans des conférences de vulgarisation. Dans ces dernières, les conférenciers sont à l’aise ; ils osent lancer à la salle l’énoncé d’un problème qu’un enseignant n’oserait pas traiter en cours. Pourquoi ne pas alterner « traiter avec rigueur » et « oser avec aisance » ? Ah, il y a le fameux Devoir Surveillé, la fameuse note : comment noter sur un sujet « extravagant » ? On ne note pas ! L’enjeu n’est pas là, mais dans la fameuse « flamme » (de Plutarque ?) : « les élèves ne sont pas des pots à remplir mais des flammes à allumer ». Les conférences de vulgarisation m’ont apporté ce plus qu’il me manquait en exerçant seulement un enseignement traditionnel. Et si, de temps en temps, les professeurs se livraient à cet exercice pour d’autres collègues ?

Il est urgent, à mon avis, de sortir de la phase « subir à l’école » afin de pouvoir se diriger tout droit vers la phase « aller à l’école avec plaisir ». Ce plaisir doit néanmoins trouver le moyen de cohabiter avec l’effort. Les deux vont ensemble, parfois avec la douleur. Jean-Pierre Kahane me disait (cf. le film « La Passeggiata ») : « Le plaisir a toujours été en mathématiques pour moi très lié à la douleur ». Puis encore : « C’est aussi la dialectique entre la douleur et le plaisir. La douleur de n’avoir pas trouvé et le plaisir de mettre en œuvre quelque chose de nouveau ».

Gaston BachelardLe chemin qui nous conduira à une école différente ne pourra pas se faire sans passer par une nouvelle définition du mot « professeur », sans des périodes sans évaluations par des notes, sans des moments de vrai dialogue professeur-élèves, professeur-professeur, élèves-élèves et sans une formation pour chacun tout au long de la vie (cf. G. Bachelard « La formation de l’esprit scientifique »).

Pour que la France de 2026 ne ressemble pas à la France de 2016 mais progresse, devienne plus intelligente (au sens des intelligences multiples), il faudra passer par une véritable révolution.

Dommage qu’Étienne n’ait pas proposé une révolution, au fond j’aurais préféré ! Je plaisante à moitié. Je crois bien qu’il en faudra une, celle qui nous aidera à sortir d’un conformisme étouffant, à nous libérer de la « camisole de force » dont parlait Dieudonné, afin d’aller vers un renouveau qui passera par celui de nous-mêmes. Ce dernier sera sans doute le plus difficile : parole d’un paresseux !

En guise de conclusion. Voilà quelques pistes de réflexion.
Mise à part l’idée d’une certaine forme de conservatisme pour le théorème de Pythagore, il me semble que la géométrie euclidienne suscite auprès de nos lecteurs, et de nous tous, toujours des passions ; cela, au-delà de toute proposition d’évolution de l’enseignement, permet de garder vif l’espoir qu’elle est, dans nos têtes et dans nos cœurs, toujours vivante !

Ce débat du 18 février fut un bon moment de « déclarations d’amour ».

Bien à vous,

Valerio Vassallo

Post-scriptum :

Je remercie Aziz El Kacimi, François Recher et Virginie Leloup d’avoir pris de leur temps pour relire attentivement ce texte.

Notes

[1Expression, souvent citée, empruntée à Donald Winnicott, pédiatre et psychanalyste, lorsqu’il parle de mère « suffisamment bonne »

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Pour citer cet article :

Valerio Vassallo — «Faut-il mettre l’école à la poubelle ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - L’école d’Athènes par Raphaël [Public domain], via Wikimedia Commons. Pythagore, en blanc, lit une tablette en bas à gauche du tableau.

Commentaire sur l'article

  • Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

    le 17 mars 2015 à 15:05, par Karen Brandin

    Merci Valerio pour ce long billet qui prend bien vite, à ton habitude, des allures de déclaration d’amour « aux géométries » ainsi qu’aux enseignements de la Mathématique.

    En ce sens, je suis profondément admirative devant cette énergie, ces convictions sans cesse renouvelées, cette aptitude à continuer de désirer ce que l’on possède pour citer Saint-Augustin même si ce sont plutôt les maths qui nous possèdent que l’inverse sans doute !

    De mon côté, alors que je n’enseigne que depuis dix ans et même c’est si à un rythme physiquement et moralement très éprouvant, j’ai déjà perdu cette envie de débattre et de me battre.
    J’ai le sens du devoir de transmettre mais aussi le sentiment de ne plus avoir rien à apporter de substanciel à cette réflexion autour de la transmission des mathématiques ou de la perception de cette discipline.

    Il y a une lassitude qui m’est propre sans aucun doute, un piège que je n’ai pas su éviter mais il y aussi ce fait troublant de lire des ouvrages vieux de 20 ans, parfois plus anciens encore, dans lesquels tout est déjà dit, et tellement mieux que je pourrais le faire.

    Je pense aux écrits d’André Revuz que j’aurais tant voulu rencontrer dont notamment : « Est-il impossible d’enseigner les mathématiques ? », à ceux de Nicolas Rouche (« Faire des mathématiques, le plaisir du sens ») ou encore, lu plus récemment : « Mathématiques et affectivité » de Jacques Nimier.
    Grâce à eux, on se sent moins bêtes, moins seuls aussi pour un temps seulement.

    Reste que les plus grands noms des mathématiques, de la pédagogie, de la didactique, de l’histoire des sciences se sont penchés sur la difficultés de transmettre les maths en leur conservant « un sens », « du sens » sans ce que cela ait eu d’effets notables donc je ne sais pas s’il est encore raisonnable d’espérer que les choses puissent changer.

    J’ai lu sans doute trop rapidement les très nombreux commentaires qui ont suivi l’article d’Etienne Ghys au titre provocateur qui n’était sans rappeler le désormais célèbre « À bas Euclide » mais j’ai très déroutée de certaines propositions dites de « dépoussièrage. »

    On suggérait même je crois de passer sous silence les notions de médiatrices, médianes, hauteurs devenues obsolètes ...

    N’enseignant pas au collège, ce sont des outils que je rencontre et fais rencontrer de manière très marginale mais le hasard a voulu qu’au moment de la parution de ce billet, je travaillais avec certains terminales S sur les premisses de l’interprétation géométrique d’un nombre complexe. La notion de module est alors l’occasion de revenir sur celle de distance vue en seconde lors de ce qu’il convient d’appeler désormais : la géométrie repérée.

    Naturellement pour voir agir cette notion de module et les aider à se l’approprier (idéalement à ce convaincre qu’ils la connaissent déjà), on demande aux élèves de déterminer la nature d’un triangle dont les sommets sont répérés par des affixes.

    J’ai le souvenir d’une élève qui tous calculs faits aurait dû invoquer la réciproque de Pythagore pour conclure que le triangle en question était rectangle sauf que Marine n’y pense absolument pas et ne trouve même plus le mot pour me dire que selon elle le triangle est quelconque ; cela devient donc en tale S : le triangle est difforme ... OMG comme disent les jeunes.

    Est-ce que c’est idiot ?, non bien sûr et je l’ai comprise mais j’ai beau avoir mois de 40 ans, je suis choquée qu’un élève en terminale scientifique ne sache pas qualifier (même pas identififer) la nature d’un triangle.

    Après tout, ce n’est qu’un mot pour un autre mais à force de soi-disant tolérance ...
    De manière complètement inattendue, retour donc en terminale sur le théorème de Pythagore et sa réciproque avec des élèves révoltés qu’on leur demande d’invoquer un argument de troisième « parce qu’alors s’il faut se souvenir de tout ! ». ;-)

    SE SOUVENIR, on en revient là parce que comme ils ne comprennent jamais vraiment, la mémoire doit prendre la relève sauf que la mémoire, c’est faillible.

    Idem, cette partie du programme est l’occasion de leur faire déterminer des ensembles de points définis par une relation entre modules et moralement, on leur demande suivant les cas d’identifier soit la médiatrice d’un segment, soit un cercle. Rien de très ambitieux/vicieux donc quand on sait ce qu’est une médiatrice bien sûr, sauf que ... :-(

    La notion même « d’ensembles de points tels que » les déroute profondément et la plupart des élèves résolvent surtout ces questions par mimétisme malheureusement.

    Autre exemple, pas plus tard qu’hier soir, je demande à un terminale ES de dériver une fonction f de la forme : $f(x)=\dfrac{x}{2}+ e^{-0,4x}+ \ln 2 $

    Sans réelle surprise, le jeune homme utilise la formule du quotient pour traiter le terme $\dfrac{x}{2} $, après tout, il y a une fraction et puis, comme il a su me le suggérer : « ça marche » ; quant à la dérivée de $\ln 2 ,$ c’est $\dfrac{1}{2} $, « ln » oblige. Par contre, le terme plus sophistiqué $ e^{-0,4x} $ qui tombe sous la coupe du bourrage de crâne n’a posé aucun problème.
    C’est donc du conditionnement, pas de l’enseignement.

    À la question : qu’est ce que c’est que $\ln 2$ pour toi ? Grand silence ... C’est un poulet, un cheval, une pomme, une fonction, un nombre réel ?
    Il ne savait pas quoi répondre. D’abord, qu’est ce que c’est que cette question ? \
    Il a fini par comprendre bien sûr mais dans un mois, je suis bonne pour recommencer, c’est certain.

    Un dernier exemple avec le sujet du bac S en France en Juin 2014. Dans l’exercice complètement inintéressant (celui-là aussi) de probabilités, on a osé donner une proba. sous la forme $0,1\% $. La plupart des élèves (dont une majorité souhaitent s’engager dans des études de médecine ...) ont construit leur arbre pondéré en interprétant cette donnée par $p(M)=0,1. $

    Vous êtes en tale S, vous confondez $1/10 $ avec $0,1/100 ,$ normalement vous avez un peu honte et vous étouffez l’affaire mais là que s’est-il passé ? La révolte, des groupes sur Facebook se sont formés parce qu’on les avaient piégés ...

    Sincèrement, selon moi, c’est la fin parce que même les états d’esprit seraient à changer ; il n’y a plus vraiment d’espoir parce que la rigueur, le raisonnement, la cohérence, l’homogénéité, les structures, les relations entre ces structures, tout est passé de mode. Cela n’intéresse plus ; c’est la matière tout entière, ses accents, ses codes, ses exigences, qui n’entre plus dans le cadre de l’état d’esprit de la société de consommation.

    Je conclus par une citation désormais affichée sur le mur de « ma » salle qui, étonnamment, plaît aux élèves :

    « Un jour j’irai vivre en théorie parce qu’en théorie tout se passe bien. »

    Répondre à ce message
    • Un jour j’irai vivre en théorie parce qu’en théorie tout se passe bien...

      le 18 mars 2015 à 12:27, par ROUX

      Voilà, oui, il y a près de six ou sept ans, je suis allé y vivre, et, il y faisait bon vivre, là.

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    • Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

      le 22 mars 2015 à 19:59, par Valerio Vassallo

      Bonjour Karen,

      Merci pour ce commentaire. Il y a plusieurs points que je souhaite aborder rapidement.

      Sur tes rythmes, je n’ai rien à dire... sinon qu’il vaut mieux garder des énergies pour poursuivre « les combats », « les débats », « le métier d’enseignant » ... Dans le cadre de la semaine des mathématiques, jeudi dernier, je me suis rendu avec Aziz dans une classe de sixième. Au programme : les graphes (première heure) et la roue (deuxième heure). Il était question de suivre un ordre, voire plusieurs ordres possibles, dans les opérations de remplacement d’une roue après une crevaison et construire les graphes associés, pour en déduire la procédure meilleure à suivre (c’est-à-dire la plus rapide) ; dans le deuxième atelier, il était question de parler autour du cercle, de citer quelques exemples où on retrouve cette belle forme dans les transports (la roue bien sûr, les panneaux de signalisation, les ronds points, les boutons dans une voiture, le volant etc.).

      Je peux témoigner que certains de ces élèves de sixième donnaient de très bonnes réponses dans les deux ateliers. Mais, mais... quelle agitation régnait parmi eux ! Polis ces jeunes, mais très agités ! Je sentais bien que les fous rires des élèves (presque en continu pendant les deux heures) étaient révélateurs d’autre chose qui me dépassait. Sans rentrer dans les questions qui peuvent poser les événements tels que la Semaine des Maths, la Fête des Maths... et sur comment on pourrait les préparer intelligemment pour qu’ils ne soient pas que de l’événementiel privé de tout sens, je suis sorti très épuisé de cette intervention. Content ? Je ne sais pas... Je ne sais pas non plus si j’aurai un retour de ces élèves par leurs professeurs de mathématiques (absents ce jour-là). Ce que je veux dire est que pendant un cours se posent d’autres problèmes pour les enseignants (les intervenants) liés aux évolutions de la société (enfants hyperactifs, enfants victimes de drames familiaux...) qui ne sont pas seulement des problèmes d’ordre pédagogique au sens strict (comment j’enseigne ma matière et quoi faut-il enseigner) mais relèvent d’une ou plusieurs autres sphères de compétence. Tout le monde le sait, mais on continue à faire semblant d’ignorer la complexité du problème.

      La question de mettre l’ école à la poubelle revient donc à imaginer de mettre à la poubelle cette École privée des outils nécessaires pour faire face aux changements de la société. Dans l’évolution de ce système dynamique très complexe (nommé « la société »), les paramètres à prendre en compte sont trop nombreux pour une seule personne. D’où, en attendant l’ École de nos rêves, le conseil de se protéger sans fuir le système et voir comment le faire évoluer vers un autre « suffisamment bon » pour tous (élèves, professeurs...).

      Tes apports. D’après tous les échanges que toi et moi avons eus, j’ai de grands doutes que tu ne puisses plus rien à apporter à l’évolution du système scolaire, à condition de faire le deuil d’un passé, sûrement pas parfait, mais où on apprenait plus des choses.

      Le deuil. Pour l’instant il faut faire aussi le deuil, chez les jeunes, d’une certaine vision géométrique et patiemment reconstruire « cette vue » que de « grands » réformateurs se sont pressés d’enlever à la jeunesse (ce qui a été « remarquable » dans la démolition de la géométrie est que ces réformateurs n’étaient plus jeunes et qu’ils ont eux-mêmes largement bénéficié de ce puissant outil pour construire leur « vision mathématique » !). Il est dur de faire ce deuil au pays de Descartes, Chasles, Poncelet, Desargues... La liste est bien longue pour clore un passé qui fut non seulement glorieux mais fondateur d’un état d’esprit. C’est malheureusement cet état qui est en train de s’évaporer !

      En attendant des jours meilleurs pour la géométrie, on pourrait alors se contenter de mieux faire passer certaines notions, simples mais fondamentales.

      Le triangle. La mémoire. Tu parle du triangle. August Leopold Crelle écrit en 1816 « Il est véritablement fascinant qu’une figure aussi simple que le triangle possèdes des propriétés inépuisables ». Lundi dernier, dans une classe de seconde, j’ai soumis le problème suivant. On se donne un segment [BC] ; comment placer un point A dans le plan pour que le triangle ne soit ni isocèle, ni équilatéral, ni rectangle ? Le problème a été précédé par un bel échange sur le sens de l’expression « triangle quelconque ». Un élève proposait « un triangle sans propriétés ». Intéressant. J’ai suggéré de rajouter à propriété l’adjectif « visibles ». Puis, nous sommes partis sur la recherche des propriétés que, sans être visibles, sont toujours présentes dans tout triangle. Après quelques secondes de silence (intéressant aussi), le professeur a proposé déjà de citer la célèbre propriété sur la somme des angles dans un triangle ; puis, petit à petit (la mémoire aide et il vaut mieux l’entretenir !), les notions de bissectrices, médianes, médiatrices, hauteurs ont été conviées dans cet échange. Ce fut un moment très agréable pour nous tous de discuter autour de ces « évidences » qui ne les sont pas vraiment et, au fond, de parler sur la nature des mathématiques, discipline qui rend hommage aux mondes du « visible », de « l’invisible », de « l’imaginaire »...

      L’anecdote que tu cites au sujet de la dérivée me rappelle le problème très célèbre dont se plaignent beaucoup d’enseignants. Lorsque les élèves cherchent les zéros d’un produit de deux polynômes du premier degré en x, ils développent ce produit pour obtenir un polynôme du second degré en x, puis ils cherchent ensuite le delta pour résoudre l’équation du second degré obtenue. Au début, ce récit faisait rire quelques collègues, maintenant il est devenu révélateur de la dégradation d’un état d’esprit.

      L’avenir. Je pense vraiment que la compréhension des mathématiques ne pourra pas faire l’économie de se libérer des conditionnements usuels pour s’approprier des outils de raisonnement et de la liberté de penser, seuls ou en public. La rigueur, le raisonnement... peut-on dire que tout ce patrimoine est passé de mode ? Non ! Et je rajouterais que ce n’est pas une question de mode, mais c’est une question d’avenir de l’humanité : maîtriser les instincts, les sublimer, réfléchir, participer au débat, ... c’est notre avenir. Sinon, pour suivre le philosophe Yves Paccalet « L’humanité disparaîtra, bon débarras ! » (je conseille vivement la lecture de ce livre).

      Bien à toi,

      Valerio

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      • Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

        le 22 mars 2015 à 21:15, par Karen Brandin

        Cher Valerio,

        Un peu comme en médecine où il ne s’agit bien sûr pas d’opposer mais de comparer la médecine d’urgence où il faut aller vite, il faut faire des choix parfois déchirants, où il faut avoir des réflexes, où il faut s’oublier : oublier de s’asseoir, oublier de manger et la médecine interne par exemple où l’on peut prendre le temps du diagnostic, du dialogue, il y a énormément de manière de vivre l’enseignement et donc de le ressentir ce qui peut conduire à des incompréhensions.

        Je suis heureuse que tu ne partages pas mon découragement, ma lassitude mais cela me semble naturel finalement.

        Puisque tu évoques ta semaine, si je ne reviens que sur ce week-end (qui n’a rien d’exceptionnel), j’ai assuré 16h de cours sur les trois niveaux du lycée (parfois en simultané comme aux échecs ! ) en section S et ES, avec un total de dix chapitres parcourus en général avec des élèves en difficulté, qui manquent de pratique, qu’éventuellement la discipline dégoûte et qui utilisent naturellement ces cours « plus informels » pour le dire.

        Cela aussi c’est usant (voire injuste) d’entendre dire à longueur de journée que les maths, « ça ne sert à rien, c’est incompréhensible, inutile ».

        Il faut être costaud pour continuer de croire à ce que l’on fait quand ceux qui te disent que cela n’a aucun intérêt sont les plus nombreux.

        Bref, comme je dis en fin chaque d’année à chaque nouveau cru de terminale : « Danger : une vie, c’est très facile à louper. »

        Si j’avais le temps d’introduire les objets, de les replacer dans un contexte historique, si j’avais le temps de penser un peu à moi finalement, à ce que je voudrais leur dire, leur transmettre, s’ils étaient de leur côté plus disposés à comprendre et moins à consommer, ce serait sans doute différent.

        Mais différent, cela ne le deviendra pas ; il n’y a selon moi aucun espoir. La discipline dans le cadre de l’Ècole (au sens large) est moribonde.

        D’ailleurs, avant de construire une de mes séances pour demain,
        j’ai (malheureusement) consulté le(s) premier(s) sujet(s) de la session 2015 du bac en Tale S (et ES) désormais disponible(s) sur le site de l’APMEP ; je ne peux même pas le commenter et j’hésite même à le montrer aux élèves qui sont, pour certains, en train de se battre avec les intégrales.

        Comment rester crédible lorsque l’on voit la déconcertante pauvreté de ces énoncés ?

        Enfin, je tâcherai d’utiliser les quelques heures de libre demain matin pour me procurer l’ouvrage dont tu me conseilles la lecture. Il me fera peut-être sourire après tout ? Le titre est prometteur et je te remercie d’avance pour cette suggestion.

        J’ai vu que tu évoquais aussi l’ouvrage de R. Courant À PARAîTRE chez Cassini, en espérant qu’il paraîtra un jour puisqu’ on frôle les 2 années de retard par rapport à la date initiale de publication (même configuration pour « La formule de Stokes » de M. Audin et tant d’autres ouvrages chez cet éditeur).

        Comme tant d’autres j’imagine, j’ai des commandes qui datent de trois ans ... Tout va bien décidément.

        Il est maintenant temps pour moi de remettre au travail.

        Bon courage à toi.

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        • Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

          le 23 mars 2015 à 11:32, par ROUX

          Je reconnais cette souffrance : elle touche principalement les professeur(e)s de français et de mathématiques.
          Je ne peux pas échanger dans ce site là-dessus car nous finirions sans doute par être hors-sujet.
          Dommage...
          Très cordialement,

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  • Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

    le 18 mars 2015 à 08:50, par ROUX

    Les démonstrations de géométrie de mon enfance me semblent être un outil complet pour l’enseignement des mathématiques : papier, crayon, gomme ; on peut dessiner ; on a un support matériel pour chercher une démonstration (pour laisser irrationnellement à une idée le temps de monter de l’inconscient à la conscience comme une bulle de champagne) ; on doit rédiger une démonstration ; le nombre de problèmes différents et tout de suite visiblement joyeux est immense.

    Quelques réactions sur le texte de monsieur Vassallo.

    Les mathématiques permettent de transcender la réalité : oui !

    6a + 3ab = (a.(6 + 3b))… Le professeur est un con absolu parce que, là, dans une histoire de prince qui voudrait délivrer plusieurs princesses quantiquement réparties dans différents morceaux additionnables en les mettant en dehors de la prison-parenthèse, on pourrait lui dire qu’il a oublié la princesse 3 encore plus quantiquement diluée…

    Dans une interview à la Recherche (ou à Pour La Science), Benoit Mandelbrojt avait expliqué qu’au sens des concours, il avait triché puisqu’il géométrisait les problèmes d’analyse, trouvait alors facilement la démonstration puis la rédigeait, termes de géométrie à termes d’analyse.

    Pascal : 0 ; Mandelbrojt : 1.

    Mon histoire d’amour avec les mathématiques a commencé de la même manière que celles (trop rarement abouties) avec les femmes.

    Puis-je vraiment écrire ce mot pour décrire les filles de mes classes de quatrième et de troisième qui occupaient la presque totalité de mes pensées ? Non, sans doute pas…

    Elles étaient des femmes si je pouvais être un homme à 13 ou 14 ans et des filles si j’étais un garçon… Allons donc, j’étais un garçon !

    En revanche, les mathématiques que je faisais étaient des mathématiques : j’ai plus de cinquante ans et j’ai vécu ce que j’appelle le tsunami des mathématiques.

    Arrivée en sixième au collège avec un livre de mathématiques fait de feuilles trouées qu’on pouvait détacher et mettre dans un classeur après avoir écrit dessus, diagrammes de Venn et de Carrol (sans nous dire que c’était le père d’Alice), puis, plus tard mais quand même toujours au collège, des professeurs enthousiasmés à l’idée que AEtoileAMoinsUnEgalE mais condescendant à nous donner l’exemple (l’exemple !!!) AuCasOùEtoileSeraitLaMultiplicationAlorsAMoinsUnEstUnSurAEtEEstUn.

    La multiplication comme pitoyable exemple…

    Puis, les démonstrations de géométries : on traçait tout un tas de traits, on identifiait des tas de points et, très souvent, soudain, parmi tous ces points, trois étaient alignés. Et il fallait le démontrer, c’est-à-dire écrire une suite des axiomes et des théorèmes vus en cours qui, inéluctablement conduisait naturellement à écrire que les fameux trois points étaient alignés.

    Dans mon souvenir, ces démonstrations se sont toutes refusées à moi, comme mes copines de classe… Toutes.

    Je passe sur les années au lycée, avec les espaces vectoriels en seconde : à partir de ce moment-là, autant j’avais compris que les filles me seraient indispensables car je les aimais déjà et que je devais donc trouver le moyen qu’elles m’aiment, autant, pour les mathématiques, la situation était inversée : je devais, parcourant la filière C les fréquenter et je n’en avais aucune envie !!! Aucune.

    A l’Université, la topologie avec des ouverts bornés qui pouvaient peut-être contenir des points ou pas, mais, surtout, sans un seul dessin… Quand j’ai compris plus tard que la topologie qualifiait correctement la stricte identité entre un mug et un donut, j’ai eu un peu de peine à ne jamais avoir eu un dessin au tableau…

    Pour gagner ma croute, je donnais des cours particuliers de mathématiques, et, j’ai alors eu à recroiser les démonstrations de géométrie : à ma grande surprise, je les faisais toutes, sans difficultés, alors que je n’en avais refaites aucune ! Et je les aimais, et je tentais de les faire aimer à mes élèves (l’un d’entre eux est devenu professeur de mathématiques : dois-je l’interpréter ?).

    Puis la physique, et les mathématiques sont devenues un outil…

    Un beau moment lorsque, fabriquant des toutes petites gouttes d’alcalins (de quelques dizaines à quelques centaines d’atomes), nous étions passé(e)s d’une distribution plutôt poissonnienne à une distribution plutôt gaussienne de la proportion des gouttes en fonction du nombre d’atomes en changeant la forme de la buse : c’était une simple conséquence de la loi du binôme de Newton (un collègue commun) puisque l’atome colle ou ne colle pas à la goutte et que le changement de la forme de la buse n’avait fait qu’augmenter le nombre de collisions donc le nombre d’épreuves.

    Un autre beau moment lorsque ma femme a négocié un prêt immobilier avec l’abaque qu’elle avait tracé à partir de la formule de la mensualité en fonction du nombre de mois et du taux d’intérêt mensuel et que la banquière a appelé ses collègues en disant : « Venez voir !!! La dame, dans son cahier, elle a la formule qu’on a dans l’ordinateur !!! ». Calculée et dessinée à la main et au crayon, cet abaque. Ah, oui, mes problèmes avec les filles avaient été résolus…

    Et puis, nous nous aimons, les mathématiques et moi depuis près de six ou sept ans… Je ne me rappelle plus le moment du premier baiser. La période semble correspondre à un drame personnel au cours duquel j’ai eu à pousser dans leur retranchement les notions de vérités (avec s) et de réalité (sans s), à fréquenter puis fabriquer des raisonnements juridiques et à farfouiller donc dans la Toile… Le souhait d’échapper à la réalité était sans doute très fort et je suis tombé dans IdM.

    Il manque la joie, la tendresse et la fureur dans l’enseignement des mathématiques.

    Quand, physicien, je dois calculer la valeur d’un temps t, un t divisé par une constante de temps sous la forme d’une lettre grecque, ce rapport protégé d’un signe moins et en haut à gauche d’une exponentielle, elle-même protégée par une autre constante qui vient la multiplier, le tout étant égal à une troisième constante, j’explique qu’il faut faire comme le prince à l’attaque du château de la Belle qui dort : c’est de la fureur, ce combat, diviser, inverser l’exponentielle, zigouiller le signe moins, débarrasser le dénominateur… C’est un combat furieux, avec du bruit, de la lumière, de la vie !

    Il manque l’émerveillement

    J’ai fait calculer à ma fille en terminale L la somme de tous les entiers jusqu’à l’absence de bout de l’infini : lorsqu’elle a trouvé, elle-même, MoinsUnDouzième, elle est restée... Pétrifiée, abasourdie... Amoureuse des mathématiques ?

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    • Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

      le 22 mars 2015 à 20:02, par Valerio Vassallo

      Bonjour,

      Merci pour ce commentaire où les deux vies de M. Roux, la vie de l’adolescent amoureux des femmes et la vie de l’adolescent puis de l’homme amoureux des mathématiques se mélangent.

      Les échecs comme les victoires font partie de nos vies. Parlons-en un peu.
      Il est vrai que nous parlons plus volontiers des victoires, car les échecs semblent ne pas avoir été intégrés dans nos cultures. Pourtant la mythologie est pleine d’exemples de héros qui, après des déboires ont vu leurs efforts récompensés. J’en parle peu dans mon billet, mais je reviendrai sur cette notion d’échec. Il est bien de se rappeler que les échecs peuvent ne pas être définitifs, au sens que nous pouvons arriver au bout d’un problème, si on est capables de se donner le temps d’y penser et les outils. Autre chose qu’il faut garder à l’esprit et que je n’aborde pas assez dans mon billet est le niveau du problème. Si celui-ci a résisté à beaucoup de mathématiciens chevronnés, il vaut mieux aller chercher de l’aide chez des collègues ou abandonner le problème pour un autre plus à notre taille.

      J’ai interviewé une douzaine de mathématiciens pour réaliser un Web documentaire (sortie prévue en 2015). Certains m’ont confié qu’ils étudient plusieurs problèmes à la fois, trois, quatre,..jusqu’à une vingtaine à la fois.

      Lorsqu’ils n’ont aucune idée sur l’un ils passent à un autre moins compliqué, car dans ce « duel » entre notre raison et « le problème » qui nous est offert nous ne pouvons pas en sortir tout le temps frustrés. Il s’agit donc d’un jeu : on tente de résoudre un problème. Si on y arrive on peut éventuellement chercher d’en voir les développements ou, si on n’y arrive pas, on le met de côté et on passe à un autre. Ce jeu consiste aussi à éviter de se juger trop vite « nul » (j’ai aboli ce mot de mon dictionnaire). C’est un dialogue avec soi-même qui n’est pas donné à tout le monde. Pour ce qui me concerne, ce fut un apprentissage long, car lorsque je m’attaquais à un problème j’aime bien en trouver la solution.

      Dans votre commentaire, vous faites allusion à l’époque des mathématiques modernes et aux souffrances qu’elles vous ont engendrées. Tout le monde n’est pas du même avis. Je veux dire que je rencontre souvent des professeurs qui ont la nostalgie de cette période. En Italie, il y a eu de la résistance à ne pas introduire les groupes, les anneaux, les corps, les espaces vectoriels, affines et projectifs, ... dans le secondaire. Je n’ai donc pas vécu cette expérience et je ne le regrette pas. Je ne pense pas qu’il soit nécessaire d’enseigner au citoyen lambda toutes ces structures mais sûrement donner des idées « suffisamment bonnes » de l’évolution des mathématiques et aller vraiment plus loin avec les plus curieux. Dans le billet, je proposais d’introduire la notion de groupe avec le simple exemple de l’étude des isométries d’un triangle équilatéral. Je pense que montrer quelques côtés profonds des mathématiques par le biais de notions simples (triangles, cercles... arithmétique, analyse...) et de problèmes solubles sans des outils trop sophistiqués, c’est largement suffisant. D’autres idées sont évoquées dans mon billet et d’autres encore tout professeur peut les trouver dans les livres. Il y en a un auquel je pense et je crois jamais l’avoir cité dans IdM : What is mathematics ? de R. Courant et H. Robbins (l’édition proposée par I. Stewart). Un chef d’œuvre d’idées ! Et maintenant en français « Qu’est-ce que les mathématiques ? » traduit par Marie Anglade et Karen Py chez Cassini.

      Je lis que vous regrettez le « départ » déjà à votre époque des images que l’on peut facilement coller à des branches des mathématiques comme la topologie. Il y a des mathématiciens de haut niveau que n’ont pas besoin d’images pour exprimer de concepts pourtant étroitement liés à des formes géométriques. On peut le regretter - je le regrette - mais ce n’est qu’ainsi. On rentre là dans le domaine de la représentation où chacun a sa liberté, la liberté de sa stratégie.

      Enfin, je lis que vous êtes bien habité par la passion de ce va-et-vient entre le monde qui vous entoure, le monde des affects et le monde des idées.
      Vous avez de la chance ; continuez à en faire profiter les autres, surtout les jeunes !

      Bien cordialement,

      Valerio

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  • Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

    le 19 mars 2015 à 21:05, par Philippe Colliard

    Bonsoir Valerio,

    Les « déclarations d’amour » du 18 février m’avaient incité à écrire à mon tour un article, grandiosement intitulé « quelle géométrie pour le collège ? » : un article bien plus pauvre que le vôtre, strictement limité à mon expérience de professeur en collège, et dont je doute qu’il apporte encore quoi que ce soit au débat.

    Je voudrais simplement dire ici combien « aller à l’école avec plaisir » m’a constamment guidé, et combien, également, j’adhère à cette affirmation de Gustave Choquet que vous avez citée (j’étais, en 1966, l’un de ses étudiants) :
    « Entre 13 et 16 ans, l’enfant commence à comprendre ce qu’est une démonstration ; chez certains s’éveille une véritable soif de logique, que le temps est venu d’aborder sérieusement le raisonnement déductif. On va donc faire établir par l’enfant des morceaux de raisonnement déductif, en prenant soin de lui faire toujours préciser ses prémices. »

    Oui, il peut y avoir du plaisir à aborder le raisonnement - et à l’aborder sérieusement !

    Je voudrais par ailleurs retenir cette affirmation dont je ne sais trop si elle est de Bachelard ou de vous, mais qui me paraît fondamentale :
    le chemin qui nous conduira à une école différente ne pourra pas se faire sans passer par une nouvelle définition du mot « professeur », sans des temps sans notes, sans des moments de vrai dialogue professeur-élèves, professeur-professeur, élèves-élèves ; sans une formation pour chacun tout au long de la vie.

    Merci pour votre article

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    • Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

      le 22 mars 2015 à 20:06, par Valerio Vassallo

      Bonsoir Monsieur Colliard,

      Merci de votre commentaire.

      Je tenais à vous dire que toute contribution, plus ou moins riche qu’elle soit, peut participer à faire avancer le débat entre professionnels et, peut-être, entre professionnels et grand public. On pourra tenter ainsi de faire évoluer certains débats stériles chez les politiques qui souhaiteraient donner aux yeux du monde entier une autre image du niveau des écoliers en France.

      Je me demande par exemple comment cette Semaine des mathématiques aura contribué à donner une autre image des mathématiques, quelle trace va laisser dans les écoles, dans l’imaginaire des jeunes et dans celui des professeurs.

      Continuons, chacun à sa façon, à chercher de défendre le plaisir de penser grâce aux mathématiques, sans oublier que les chefs d’œuvres de la littérature et de l’art en général peuvent aussi nous aider à nous rendre capables de mieux vivre ensemble.

      Bien à vous,

      Valerio V.

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  • Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

    le 25 mars 2015 à 17:12, par Quentin

    J’ai évidement d’abord pris ce titre comme une provocation et non comme une question. Et puis il c’est passé un « événement » qui m’a fait changé d’avis !

    Cet « événement » est une éclipse de soleil qui a eu lieu vendredi dernier. De mon point de vue, cette éclipse était l’occasion rêvée de leur montrer un phénomène naturel beau et intrigant. Il permet d’illustrer le système solaire, comment les planètes bougent et même de fabriqué des systèmes permettant d’observer cette éclipse : bref, une occasion rêvée pour que les élèves s’investissent et s’intéressent. Je suis convaincu que de nombreux enseignants l’ont fait, mais l’éducation nationale recommande de :
    « de ne pas sortir les élèves au moment de l’éclipse ». « Si des activités pédagogiques sont menées durant l’éclipse, elles doivent impérativement prendre en compte ce risque ».

    Et si on part du point de vue d’Ivan Illich, j’ai l’impression que le but principal de l’école est d’habituer les gens à avoir peur et à ne plus être curieux ! Cela permet sans doute plus facilement de justifier des milliers de militaires dans les rues « pour notre sécurité »...

    À défaut de jeter l’école à la poubelle, je pense qu’il faudrait au minimum jeter les institutions qui la régissent : il me semble qu’il y a beaucoup trop de verticalité et pas assez de place aux initiatives locales. Par exemple, les allemands ont eu jusqu’à il y a peu un bac par école : cela pose sans doute des problèmes (par exemple sur l’égalité des diplômes) mais permet aussi des expériences locales intéressantes et de redonner plus de liberté aux enseignants...

    Et si j’avais des enfants dans une école suivant les recommandations du ministère, le vendredi de l’éclipse aurait été jour d’école buissonnière ! :)

    Pour terminer, merci Valerio Vassallo pour ce très beau texte !

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  • Faut-il mettre l’école à la poubelle ?

    le 29 décembre 2015 à 22:04, par Michel Delord

    Cher Valerio

    Je vois que tu parles, et c’est heureux, d’ Ivan Illich.
    Or on sait peu que son « conseiller scientifique » était un mathématicien, qu’il est encore vivant et qu’il continue à défendre une vision assez illichienne de l’enseignement et notamment de l’enseignement des mathématiques.

    Il s’agit de Klaus Hoechsmann avec qui j’ai pas mal échangé. Il m’avait autorisé à reproduire un interview qu’il avait fait en 2006 pour « Le Monde de l’Education » et qui n’avait finalement pas été publié.

    Vous pouvez aussi lire ICI la première version version en anglais la pièce de théâtre qu’il avait écrite sur Hypatie d’Alexandrie (bien avant que le sujet soit connu avec le film Agora). Cette pièce a été jouée en France l’an dernier. Elle était intégralement en video sur youtube mais il n’en reste que quelques passages dont celui-ci. En français également un petit historique ICI
    Bonne lecture
    MD

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