Un desafío a la semana

Febrero 2014, primer desafío

El 7 febrero 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 1ro febrero 2014
Artículo original : Février 2014, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío...

Semana 6:

El número natural $n$ tiene exactamente dos divisores positivos, y el número $n+1$ tiene exactamente tres divisores positivos. ¿Cuántos divisores positivos tiene $n+2$?

Solución del quinto desafío de enero

Enunciado

Solución del calendario

Observamos que el triángulo $ABC$ es equilátero. Por lo tanto, si $D$ es el punto medio de $AB$, el área coloreada y la que no está coloreada son iguales.

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Solución de los lectores de Images de Mathématiques

La figura tiene la misma área que el triángulo $ABC$.

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Tracemos la mediatriz de $AC$ que corta $AC$ en el punto $M$. La circunferencia de radio $AM$ y centro en $M$ corta a la mediatriz en los puntos $D$ y $E$. Tracemos ahora la circunferencia de centro en $A$ que pasa por $D$ y $E$. El teorema de Pitágoras implica que su radio mide $\sqrt{2}AM$. Ese círculo corta el arco $AB$ en $F$ y el arco $AC$ en $G$. Finalmente, tracemos la recta $FG$.

La recta $FG$ divide la figura en dos partes de áreas iguales. En efecto, la figura $AFG$ tiene la misma área que el triángulo $AFG$, que es semejante al triángulo $ABC$ con proporción $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Febrero 2014, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’Las curvas de Jordan’’, por Jos Leys

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