Enunciado

La respuesta es 6.

Notemos que:

$3!\cdot 5!\cdot 7! = (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5)\cdot (2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5\cdot (2\cdot 3)\cdot 7) = 2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7.$

Por lo tanto, un cubo que divide a $3!\cdot 5!\cdot 7!$ es de la forma $2^p\cdot 3^q\cdot 5^r\cdot 7^s$, donde $p,q,r$ y $s$ son múltiplos de $3$. Obtenemos así $3$ valores posibles para $p$ ($0$, $3$ y $6$) y $2$ valores distintos para $q$ ($0$ y $3$). El único valor posible para $r$ y $s$ es $0$. En total, hemos obtenido $3\cdot 2\cdot 1\cdot 1=6$ cubos distintos que dividen $3!\cdot 5!\cdot 7!$. Estos son:

$1=2^0\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$8=2^3\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$27=2^0\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$64=2^6\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$216=2^3\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$1728=2^6\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0.$