Un desafío por semana

Febrero 2015, primer desafío

El 6 febrero 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 6 febrero 2015
Artículo original : Février 2015, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 6:

Mi número de teléfono es $AB\,CD\,EF\,GH\,IJ$. Cada letra representa un dígito diferente, de manera que $A>B>C$, $D>E>F$ y $G>H>I>J$.
Además, los dígitos $D,E,F$ son pares consecutivos, $G,H,I,J$ son impares consecutivos y $A+B+C=9$.
¿Cuánto vale $A$ ?

Solución del quinto desafío de enero:

Enunciado

La respuesta es 6.

Notemos que:

$3!\cdot 5!\cdot 7! = (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5)\cdot (2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5\cdot (2\cdot 3)\cdot 7) = 2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7.$

Por lo tanto, un cubo que divide a $3!\cdot 5!\cdot 7!$ es de la forma $2^p\cdot 3^q\cdot 5^r\cdot 7^s$, donde $p,q,r$ y $s$ son múltiplos de $3$. Obtenemos así $3$ valores posibles para $p$ ($0$, $3$ y $6$) y $2$ valores distintos para $q$ ($0$ y $3$). El único valor posible para $r$ y $s$ es $0$. En total, hemos obtenido $3\cdot 2\cdot 1\cdot 1=6$ cubos distintos que dividen $3!\cdot 5!\cdot 7!$. Estos son:

$1=2^0\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$8=2^3\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$27=2^0\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$64=2^6\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$216=2^3\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$1728=2^6\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Febrero 2015, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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