Un desafío por semana

Febrero 2016, segundo desafío

Le 12 février 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 12 février 2016
Article original : Février 2016, 2e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 7 :

Cien pelotas de ping-pong se colocan en $5$ cajas de manera que el número de pelotas en cada caja contiene el dígito $8$. Si solamente dos cajas contienen el mismo número de pelotas, ¿cuántas pelotas hay en cada caja ?

Solución del primer desafío de febrero :

Enunciado

La respuesta es $\frac{2}{3}\,\mbox{cm}^2$.

Sean $OP$ el segmento perpendicular a $AD$, $Q$ el punto de intersección de los segmentos $ED$ y $AF$, y $R$ el punto de intersección de los segmentos $OP$ y $EF$. Observemos que el punto $Q$ pertenece al segmento $OP$.

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El área de la parte coloreada es el área del cuadrilátero $EOFQ$, y es igual a la diferencia

$\mbox{área}(AQD)+\mbox{área}(AOF)+\mbox{área}(EOD)-\mbox{área}(AOD).$

El área del triángulo $AOD$ es igual a $\frac{4\times 2}{2}=2$ cm$^2$, pues $OP=2$ cm. Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre ellas. Entonces $AO$ y $OD$ son perpendiculares y el área del triángulo $EOD$ es igual a la mitad del producto entre $OD$ y $EO$. Por el teorema de Pitágoras,

$AO=\frac{1}{2}\sqrt{16+16}=2\sqrt{2}\,\mbox{cm},$

y $EO=\frac{AO}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ cm. Por lo tanto,

$\mbox{área}(AOF)=\mbox{área}(EOD)=\frac{2\sqrt{2}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}{2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\,\mbox{cm}^2.$

Calculemos el área del triángulo $AQD$. Por el teorema de Tales tenemos $(EF)$ paralela a $(AD)$ y $EF=\frac{AD}{3}$. Luego, los triángulos $AQP$ y $FQR$ son semejantes,

$\frac{PQ}{QR}=\frac{AP}{RF}=3,$

y $QR=\frac{PQ}{3}$. Por otro lado, los triángulos $APO$ y $ERO$ son semejantes,

$\frac{PO}{RO}=\frac{AO}{EO}=3,$

y $RO=\frac{2}{3}$ cm. Observemos que $PQ+QR+RO=PO=2$ cm. Al reemplazar los valores de $QR$ y $RO$ obtenemos

$\frac{4}{3}PQ = 2-\frac{2}{3},$

$PQ = 1\,\mbox{cm}.$

Por lo tanto, el área del triángulo $AQD$ es igual a $\frac{2\times 1}{2}=2$ cm$^2$, y el área de la parte coloreada es igual a

$\mbox{área}(AQD) + \mbox{área}(AOF) + \mbox{área}(EOD) - \mbox{área}(AOD) = 2+2\times \frac{4}{3}-4=\frac{2}{3}\,\mbox{cm}^2.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Febrero 2016, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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