Enunciado

La respuesta es $22$.

Calculemos $a_{k+5}$ en función de $a_k$ :

$a_{k+1} = 3a_{k}+1$

$a_{k+2} = 3(a_{k+1})+ 1=3^2a_k+4$

$a_{k+3} = 3(a_{k+2})+ 1=3^3a_k+13$

$a_{k+4} = 3(a_{k+3})+ 1=3^4a_k+40$

$a_{k+5} = 3(a_{k+4})+ 1=3^5a_k+121.$

Como $a_0=0$ y $a_5=3^5a_k+121=243a_0+121=121$, vemos que $a_5$ es múltiplo de $11$. De la misma manera, $a_{10}$ es múltiplo de $11$ y en general, todos los números de la forma $a_{5n}$ son múltiplos de $11$. Luego, $a_{155}$ es múltiplo de $11$. Sea $r$ el resto de $a_{155}$ en la división por $33$, es decir, $a_{155}=33n+r$, para un número entero $n$ y con $0\leq r <33$. Como $11$ divide a $a_{155}$, tenemos que $11$ divide a $r$, por lo tanto $r=0$, $11$ o $22$. Por otra parte, como $a_{155}=3a_{154}+1$, tenemos una de las siguiente posibilidades :

$33n = 3a_{154}+1$

$33n + 11 = 3a_{154}+1$

$33n+ 22 = 3a_{154}+1.$

Dividiendo cada ecuación por $3$ obtenemos

$11n = a_{154}+\frac{1}{3}$

$11n = a_{154}-\frac{10}{3}$

$11n = a_{154}-\frac{21}{3}.$

La única expresión anterior que es un número entero es $a_{154}-\frac{21}{3}=a_{154}-7$. Como $11n$ es un número entero, concluimos que $a_{155}$ es de la forma $33n+22$. Por lo tanto, el resto de $a_{155}$ al dividirlo por $33$ es $22$.