Enunciado

La respuesta es si.

Comencemos con un tablero de $2\times 2$. Una manera de construirlo es

Ahora vamos a construir un tablero de $4\times 4$. Para esto, usaremos el tablero de $2\times 2$. Para que las sumas obtenidas sigan siendo distintas, agregaremos números $1$ y $-1$ de la siguiente manera :

Para completar el tablero, basta incluir el tablero de $2\times 2$ que construimos, pero con sus filas invertidas :

Observemos que podemos construir un tablero de $(2k+2)\times (2k+2)$ a partir de uno de $2k \times 2k$. El el tablero de $2k \times 2k$, las sumas son iguales a $-(2k-1)$, $-(2k-2)$, $\dots$, $-(2k-(2k-1))$, 0, $\ldots, 2k$. Entonces, para construir un tablero de $(2k+2)\times (2k+2)$ ubicamos el tablero de $2k \times 2k$ en la parte superior izquierda, y luego, ubicamos los números $1$ en las primeras $2k$ casillas de la $(2k+1)$-ésima fila y en las primeras $2k$ casillas de la $(2k+1)$-ésima columna, y los números $-1$ en las primeras $2k$ casillas de la $(2k+2)$-ésima fila y en las primeras $2k$ casillas de la $(2k+2)$-ésima columna. Finalmente, ubicamos el tablero de $2\times 2$ que construimos al principio, pero con las filas invertidas.

Notamos que las sumas de los números de las $(2k+2)$ columnas y de las $(2k+2)$ filas del tablero de $(2k+2)\times (2k+2)$ van desde el $-(2k+1)$ al $(2k+2)$. De esta manera, tomamos todos los números del $-(2k+1)$ al $2k+2$. Luego, es posible construir un tablero de $2n\times 2n$ para cualquier entero positivo $n$. En particular, es posible construir un tablero de $1000\times 1000$.