Un desafío por semana

Febrero 2018, segundo desafío

Le 9 février 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 9 février 2018
Article original : Février 2018, 2e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019 !

Semana 6 :

¿Cuántos pares de enteros estrictamente positivos $(m,n)$ verifican la condición
$m^4+n=100\,000\,001$ ?

Solución del primer desafío de febrero :

Enunciado

La respuesta es $X=14$.

En la cuadrícula están ya ubicados los números del $1$ al $9$ y del $20$ al $25$. Debemos ubicar los números faltantes del $10$ al $19$.

Observemos, por ejemplo, que el $9$ es la suma de $8+1$ y que el $4$ es la suma de $3+1$. Luego, para obtener $21$ debemos ubicar el $17$ bajo este, ya que $17+4=21$. Sin embargo, para obtener el $17$ debemos tener $14+3$ o $13+4$. Por lo tanto, $X$ es igual a $13$ o $14$. Para determinar cual de estos valores es $X$ es necesario seguir completando el cuadro.

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Analicemos ahora cómo obtener $22$. No podemos ubicar ningún número mayor o igual a $20$, pues estos ya los ocupamos. Entonces, para obtener $22$, la única posibilidad es poner al $10$ y al $12$ como vecinos del $22$. Si ubicamos el $12$ sobre el $22$ y el $10$ bajo el $2$, obtenemos $12=10+2$ y $10=8+2$. Por otro lado, si ubicamos el $10$ sobre el $22$ y el $12$ bajo el $2$, no podemos obtener el $10$ como la suma de dos de sus vecinos. Por esta razón tenemos :

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Finalmente, notemos que $X$ no puede ser $13$, ya que no puede obtenerse con los números determinados previamente. Por lo tanto, $X=14$ lo cual es igual a $12+2$. Intente ahora completar el cuadro...

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Pour citer cet article :

— «Febrero 2018, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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