Un desafío por semana

Febrero 2019, segundo desafío

Le 8 février 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 8 février 2019
Article original : Février 2019, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 6

Encuentre diez enteros positivos distintos tales que cada uno de ellos divida a la suma de esos diez números.

Solución del primer desafío de febrero :

Enunciado

La solución es : $24$ mm.

Si hacemos un corte transversal que pase por los centros $O_1$ y $O_2$ de las dos esferas, podemos reducir el problema a uno en el plano, como lo muestra la figura siguiente :

PNG - 40.4 ko

Usando el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que comparten el lado de longitud $r$ obtenemos :
\[30^2-x^2=r^2 \qquad \mbox{y} \qquad 40^2-(50-x)^2=r^2.\]
Podemos escribir entonces
\[ \begin{eqnarray} 30^2-x^2 & = & 40^2-(50-x)^2\\ 30^2-x^2 & = & 40^2-50^2+100x-x^2\\ 1800 & = & 100x\\ x & = & 18\,\mbox{mm}. \end{eqnarray} \]
Con este valor de $x$ es fácil calcular $r^2=576$, y por tanto $r=24$ mm.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Disponible en www.pug.fr

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Pour citer cet article :

— «Febrero 2019, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - AGSANDREW/SHUTTERSTOCK

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