Enunciado

Respuesta : 11 y 13.

Se tiene $2+9=11$ y $2^2+9=4+9=13$. Probaremos que estos son los únicos números primos de esta forma.

Aparte de los casos precedentes, tenemos $2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}}=2^{2^{m}}$, donde $m$ es par.

Supongamos que $m=2k$, con $k>0$. Tenemos entonces
\[2^{2^{m}}=2^{2^{2k}}=2^{2^{2}(2^{2k-2})}=(2^{2^{2}})^{2^{2k-2}}=(2^4)^{2^{2k-2}}=16^{2^{2k-2}}.\]

Como el dígito de las unidades de $16^a$ es un $6$ para todo entero $a\geq 1$, deducimos que $2^{2^{m}}=16^{2^{2k-2}}$ termina en $6$, por lo que $2^{2^{m}}+9$ termina en $5$ y, por tanto, es divisible por 5. Como $2^{2^{m}}+9>5$, se sigue que $2^{2^{m}}+9$ no es primo. Así, $11$ y $13$ son los únicos números de esta forma que son primos.