Un défi par semaine

Février, 1er défi

7 février 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 6 :

Le nombre naturel $n$ a exactement deux diviseurs positifs, et le nombre $n+1$ a exactement trois diviseurs positifs. Combien de diviseurs positifs a $n+2$ ?

Solution du 5ème défi de janvier

Enoncé

Solution du calendrier

Observons que le triangle $ABC$ est équilateral. Soit $D$ le point milieu
de $AB$, il s’ensuit que l’aire coloriée et celle qui n’est pas coloriée sont égales.

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Solution des lecteurs d’Images de Mathématiques

La figure a la même aire que le triangle $ABC$.

PNG - 67.9 ko

Traçons la médiatrice de $AC$ qui coupe $AC$ dans le point $M$. Le cercle de rayon $AM$ et centre en $M$ coupe la médiatrice dans les points $D$ et $E$. Traçons maintenant le cercle de centre en $A$ qui passe par $D$ et $E$. Le théromème de Pythagore implique que son rayon mesure $\sqrt{2}AM$. Ce cercle coupe l’arc $AB$ en $F$ et l’arc $AC$ en $G$. Finalement traçons la droite $FG$.

La droite $FG$ divise la figure en deux parties d’aires égales. En effet, la figure $AFG$ a la même aire que le triangle $AFG$ qui est semblable au triangle $ABC$ avec rapport $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les courbes de Jordan, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Février, 1er défi

    le 7 février 2014 à 09:25, par Daniate

    La réponse est 2, mais je ne veux priver personne du plaisir de la démonstration.

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  • Février, 1er défi

    le 8 février 2014 à 00:29, par Sébastien Kernivinen

    Le nombre n est 1er. Son successeur n+1 est le carré d’un premier et pair, donc n+1=4. Finalement, n+2=5 a deux diviseurs positifs.

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    • Février, 1er défi

      le 8 février 2014 à 11:43, par Daniate

      Il apparaît une contradiction : pour affirmer que n+1 est pair, vous supposez que tout nombre premier est impair, mais ensuite vous utilisez 2 comme unique nombre premier pair.
      Pour compléter votre démonstration vous devez envisager le cas n=2.

      Voici ma démonstration. Les nombres à 2 diviseurs sont premiers. Les nombres à 3 diviseurs sont les carrés des nombres premiers. Donc n+1=p² et n=p²-1=(p-1)(p+1). Les deux diviseurs de n sont p-1 et p+1 d’où p-1=1 et p+1=n. Soit p=2 et n=3. On retrouve bien n+2=5

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      • Février, un deuxième 1er défi !

        le 8 février 2014 à 16:33, par Sébastien Kernivinen

        Pour compléter ma réponse, je vous propose à mon tour deux phrases qui ne se contredisent pas.

        « Tout nombre premier est pair, sauf un ».

        Je dirais même mieux :

        « Tout nombre premier est pair, sauf deux ».

        Comment l’expliquer ?

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        • Février, un deuxième 1er défi !

          le 8 février 2014 à 20:08, par Daniate

          Tout d’abord, quand vous écrivez pair, je suppose qu’il faut lire impair. Ensuite j’aime beaucoup votre paradoxe. Toutefois, si nous nous autorisons des répétitions (nous ne sommes pas sous le regard d’un prof de français), la première phrase se termine par « sauf un nombre », la deuxième se termine par « sauf le nombre deux »

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  • Février, 1er défi

    le 9 février 2014 à 12:35, par ROUX

    Ah... « 1 » est un diviseur à envisager ?

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    • Février, 1er défi

      le 9 février 2014 à 13:40, par Daniate

      1 est le diviseur universel, puisqu’il divise tous les nombres. De plus, la définition d’un nombre premier est qu’il a exactement 2 diviseurs, à savoir lui même et 1.

      Répondre à ce message

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