Un défi par semaine

Février 2014, 1er défi

Le 7 février 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 6 :

Le nombre naturel $n$ a exactement deux diviseurs positifs, et le nombre $n+1$ a exactement trois diviseurs positifs. Combien de diviseurs positifs a $n+2$ ?

Solution du 5ème défi de janvier

Enoncé

Solution du calendrier

Observons que le triangle $ABC$ est équilateral. Soit $D$ le point milieu
de $AB$, il s’ensuit que l’aire coloriée et celle qui n’est pas coloriée sont égales.

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Solution des lecteurs d’Images de Mathématiques

La figure a la même aire que le triangle $ABC$.

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Traçons la médiatrice de $AC$ qui coupe $AC$ dans le point $M$. Le cercle de rayon $AM$ et centre en $M$ coupe la médiatrice dans les points $D$ et $E$. Traçons maintenant le cercle de centre en $A$ qui passe par $D$ et $E$. Le théromème de Pythagore implique que son rayon mesure $\sqrt{2}AM$. Ce cercle coupe l’arc $AB$ en $F$ et l’arc $AC$ en $G$. Finalement traçons la droite $FG$.

La droite $FG$ divise la figure en deux parties d’aires égales. En effet, la figure $AFG$ a la même aire que le triangle $AFG$ qui est semblable au triangle $ABC$ avec rapport $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2014, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les courbes de Jordan, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Février, 1er défi

    le 8 février 2014 à 11:43, par Daniate

    Il apparaît une contradiction : pour affirmer que n+1 est pair, vous supposez que tout nombre premier est impair, mais ensuite vous utilisez 2 comme unique nombre premier pair.
    Pour compléter votre démonstration vous devez envisager le cas n=2.

    Voici ma démonstration. Les nombres à 2 diviseurs sont premiers. Les nombres à 3 diviseurs sont les carrés des nombres premiers. Donc n+1=p² et n=p²-1=(p-1)(p+1). Les deux diviseurs de n sont p-1 et p+1 d’où p-1=1 et p+1=n. Soit p=2 et n=3. On retrouve bien n+2=5

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