Un défi par semaine

Février 2014, 1er défi

Le 7 février 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 6 :

Le nombre naturel $n$ a exactement deux diviseurs positifs, et le nombre $n+1$ a exactement trois diviseurs positifs. Combien de diviseurs positifs a $n+2$ ?

Solution du 5ème défi de janvier

Enoncé

Solution du calendrier

Observons que le triangle $ABC$ est équilateral. Soit $D$ le point milieu
de $AB$, il s’ensuit que l’aire coloriée et celle qui n’est pas coloriée sont égales.

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Solution des lecteurs d’Images de Mathématiques

La figure a la même aire que le triangle $ABC$.

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Traçons la médiatrice de $AC$ qui coupe $AC$ dans le point $M$. Le cercle de rayon $AM$ et centre en $M$ coupe la médiatrice dans les points $D$ et $E$. Traçons maintenant le cercle de centre en $A$ qui passe par $D$ et $E$. Le théromème de Pythagore implique que son rayon mesure $\sqrt{2}AM$. Ce cercle coupe l’arc $AB$ en $F$ et l’arc $AC$ en $G$. Finalement traçons la droite $FG$.

La droite $FG$ divise la figure en deux parties d’aires égales. En effet, la figure $AFG$ a la même aire que le triangle $AFG$ qui est semblable au triangle $ABC$ avec rapport $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2014, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les courbes de Jordan, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Février, un deuxième 1er défi !

    le 8 février 2014 à 20:08, par Daniate

    Tout d’abord, quand vous écrivez pair, je suppose qu’il faut lire impair. Ensuite j’aime beaucoup votre paradoxe. Toutefois, si nous nous autorisons des répétitions (nous ne sommes pas sous le regard d’un prof de français), la première phrase se termine par « sauf un nombre », la deuxième se termine par « sauf le nombre deux »

    Répondre à ce message

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