Un défi par semaine

Février 2015, 1er défi

El 6 febrero 2015  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (3)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 6 :

Mon numéro de téléphone est $AB\,CD\,EF\,GH\,IJ$. Chaque lettre représente un chiffre différent, de sorte que : $A>B>C$, $D>E>F$ et $G>H>I>J$.
De plus, $D,E,F$ sont des chiffres pairs consécutifs, $G,H,I,J$ sont des chiffres impairs consécutifs et $A+B+C=9$.
Combien vaut $A$ ?

Solution du 5ème défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est 6.

Notons que :

$3!\cdot 5!\cdot 7! = (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5)\cdot (2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5\cdot (2\cdot 3)\cdot 7) = 2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7.$

Donc un cube divisant $3!\cdot 5!\cdot 7!$ est de la forme $2^p\cdot 3^q\cdot 5^r\cdot 7^s$, où $p,q,r$ et $s$ sont multiples de $3$. On
obtient $3$ valeurs possibles pour $p$: $0$, $3$ et $6$; et
$2$ valeurs possibles pour $q$: $0$ et $3$. L’unique valeur possible pour $r$ et $s$ est $0$. En tout, nous obtenons $3\cdot 2\cdot 1\cdot 1=6$ cubes distincts qui divisent $3!\cdot 5!\cdot 7!$. Ce sont:

$1=2^0\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$8=2^3\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$27=2^0\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$64=2^6\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$216=2^3\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$1728=2^6\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Février 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Février 2015, 1er défi

    le 12 de febrero de 2015 à 11:34, par ROUX

    Pédant ou cuistre, je ne sais pas...

    Efficace et drôle: j’ai bien souri!!!

    Presque ri (mais je n’ai pas le rire facile...)...

    Belle démonstration.

    Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.