Enoncé

La réponse est 6.

Notons que :

$3!\cdot 5!\cdot 7! = (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5)\cdot (2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5\cdot (2\cdot 3)\cdot 7) = 2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7.$

Donc un cube divisant $3!\cdot 5!\cdot 7!$ est de la forme $2^p\cdot 3^q\cdot 5^r\cdot 7^s$, où $p,q,r$ et $s$ sont multiples de $3$. On
obtient $3$ valeurs possibles pour $p$: $0$, $3$ et $6$; et
$2$ valeurs possibles pour $q$: $0$ et $3$. L’unique valeur possible pour $r$ et $s$ est $0$. En tout, nous obtenons $3\cdot 2\cdot 1\cdot 1=6$ cubes distincts qui divisent $3!\cdot 5!\cdot 7!$. Ce sont:

$1=2^0\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$8=2^3\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$27=2^0\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$64=2^6\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$216=2^3\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$1728=2^6\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0.$