Un défi par semaine

Février 2015, 2e défi

13 février 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (15)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 7 :

Chacun des $100$ employés d’une entreprise parle espagnol ou français. On sait aussi que $37{,}5\%$ de ceux qui parlent espagnol parlent français et que $ 60\%$ de ceux qui parlent français parlent espagnol.

Combien d’employés parlent les deux langues ?

Solution du 1er défi de Février :

Enoncé

La réponse est $A=8$.

Les chiffres $G$, $H$, $I$ et $J$ sont des impairs consécutifs, par conséquent, un seul parmi les chiffres $A$, $B$ et $C$ est impair et peut être égal à $1$ ou $9$. Or on sait que $A>B>C$ et $A+B+C=9$. Nous en déduisons qu’un seul chiffre parmi $A$, $B$ et $C$ est égal à $1$ et que la somme des deux autres est égale à $8$.

D’autre part, nous pouvons dire que les chiffres $D$, $E$ et $F$ prennent les valeurs $0, 2, 4$ ou $2, 4, 6$ ou $4, 6, 8$, respectivement. Ainsi, dans chaque cas les deux chiffres pairs parmi $A$, $B$ et $C$ sont les chiffres restants ; comme la somme est $8$, la seule possibilité qui reste est $A=8$, $B=1$ et $C=0$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Février 2015, 2ème défi

    le 13 février 2015 à 07:26, par André Perrenoud

    30 empleados hablan las dos lenguas.

    30 employés parlent les deux langues.

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  • Février 2015, 2ème défi

    le 13 février 2015 à 07:43, par ROUX

    Oups...

    Je n’ai pas cela...

    J’ai appelé F les employé(e)s parlant d’abord français et donc 0,6.F celles et ceux qui parlent ensuite espagnol puis E les employé(e)s parlant d’abord espagnol et donc 0,375.E celles et ceux qui parlent ensuite français puis, en n’oubliant pas que les êtres humains sont entiers, je ne trouve pas 30 lorsque je calcule qu’alors les employé(e)s qui parlent les deux langues sont au nombre de 0,6.F + 0,375.B.

    51 ?

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    • Février 2015, 2ème défi

      le 13 février 2015 à 08:15, par Daniate

      Juste un conseil, notez D les employés qui parlent les deux langues. Vous aurez E + F - D=100. Vous devriez finalement arriver à 30

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      • Février 2015, 2ème défi

        le 13 février 2015 à 08:37, par ROUX

        Zut... La prégnance de ce que j’ai fait m’empêche de comprendre comment faire avec votre conseil...

        Il faut que je laisse reposer un peu tout cela.

        Disons pour finir par être clair que je n’ai peut-être pas non plus bien compris l’énoncé. Car, votre D est, selon moi, mon 0,6.F + 0,375.E car, parmi tou(te)s les F employé(e)s parlant français (d’abord, LV1, quoi), 0,6.F d’entre eux(elles) parlent aussi espagnol (LV2)... Et que j’avais posé que E + F =100.

        Prégnance beaucoup trop forte : je sais trop que j’obtiens F = 60 avec FoE = 36 ce qui fait 60% de F puis E = 40 avec EoF = 15 ce qui fait 37,5% de E.

        En fait, à l’instant, comme les calculs me semblent corrects, j’en conclus que je n’ai pas bien compris l’énoncé et que, donc, je n’ai pas su utiliser correctement les %.

        Il faut donc que je désapprenne l’énoncé (et que vous m’y aidiez !!!).

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        • Février 2015, 2ème défi

          le 13 février 2015 à 09:41, par Daniate

          Vous commettez une erreur classique sur le sens de ou. En mathématiques, ou est inclusif, c’est à dire qu’un employé peut uniquement parler espagnol ou uniquement français ou parler les 2 langues, ou étant maintenant exclusif.

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          • Février 2015, 2ème défi

            le 13 février 2015 à 18:08, par ROUX

            Cela ne m’aide pas... Vous confirmez cependant que j’ai mal compris l’énoncé mais votre remarque ne me permet toujours pas de me poser le problème autrement...

            Maudite prégnance !

            Je patienterai jusqu’à vendredi prochain, ne vous inquiétez pas !

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            • Février 2015, 2ème défi

              le 13 février 2015 à 18:34, par Daniate

              J’essaie toutefois de vous aider à vous libérer de cette maudite prégnance : vous distinguez les employés « parlant français puis espagnol » des employés « parlant espagnol puis français », or il s’agit des mêmes personnes. On a donc D=0,375.E=0,6.F

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              • Février 2015, 2ème défi

                le 13 février 2015 à 20:35, par ROUX

                Et oui !!!

                Mon fils ainé tout à l’heure et vous maintenant : mais oui, ouf, ça y est !

                Ouf !!!

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              • Février 2015, 2ème défi

                le 13 février 2015 à 21:20, par ROUX

                F = 50, E = 80 : EF = 30 (EF, c’est la notation de mon fils pour votre D !!!).

                Merci à vous deux !!!

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                • Février 2015, 2ème défi

                  le 14 février 2015 à 10:24, par Jérôme

                  Moi aussi j’ai eu un petit problème de réflexion au départ sur ce ou.

                  J’ai fait un dessin pour m’éclairer. En représentant deux ensembles et leur intersection, il n’y a plus de doutes possibles : (imaginer que les premières parenthèses ouvrantes et fermantes se rejoignent, idem pour les secondes)

                  ( e ( b ) f )

                  Là, d’après l’énoncé on écrit directement b = 0.375 e, b = 0.6 f, et e + f - b = 100. Ensuite ça résout simplement.

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                  • Février 2015, 2ème défi

                    le 14 février 2015 à 11:06, par ROUX

                    C’est exactement le dessin que mon fils m’a fait !!!

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  • Février 2015, 2ème défi

    le 14 février 2015 à 21:47, par Daniate

    Ravi de voir qu’on se souvient des diagrammes de Venn ou de Carroll. Je propose une démonstration basée sur les probabilités.

    Je définis dans l’univers U des employés ( card(U)=100 ) l’expérience aléatoire qui consiste à questionner un employé au hasard en lui demandant quelle(s) langues(s) il parle.

    E est l’événement : « il parle Espagnol » et F : « il parle français »

    L’énoncé se traduit par E union F = U, p(E sachant F) = 0,375, p(F sachant E) = 0,6 et on cherche x=p(E inter F)

    1.p(E)+p(F)=p(E inter F) + p(E union F)=x + p(U) = x + 1

    2. p(E sachant F) = p(E inter F)/p(F) donc p(F) = x/0,325

    3. de même p(E) = x/0,6

    En combinant 1,2 et 3 on obtient l’équation :

    x/0,375 + x/0,6 = x + 1 dont la solution est x = 0,3 (soit 30 pour 100)

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    • Février 2015, 2ème défi

      le 16 février 2015 à 21:58, par Théophile

      Je pense qu’il doit y avoir une erreur (qui n’a aucune influence sur le résultat). p(E sachant F) correspond à l’ensemble des employés parlant espagnol à l’intérieur même de l’ensemble des employés parlant français. (60% de ceux qui parlent français parlent espagnol.)
      Donc p(E sachant F) = 0,6 et non p(E sachant F) = 0,375
      Il en va de même pour p(F sachant E).

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      • Février 2015, 2ème défi

        le 16 février 2015 à 22:50, par Daniate

        Merci pour la correction, j’avais oublié de relire soigneusement l’énoncé

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  • Février 2015, 2ème défi

    le 5 mars 2015 à 15:25, par vpnmag

    Très intéressant discussion !

    Je partage le fait est que le ou est exclusif en mathématiques. Et je le confirme.

    vpn

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