Un défi par semaine

Février 2016, 4e défi

Le 26 février 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 9 :

Combien de nombres à $6$ chiffres sont multiples de $164$ et se terminent par $164$ ?

Solution du 3e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $90$ chemins.

Distinguons trois cas :

  1. Pour arriver à un sommet de l’hexagone, il n’y a qu’un chemin. Comme l’hexagone a 6 sommets, cela fait $1\times 6=6$ chemins.
  2. Pour arriver aux sommets adjacents aux sommets de l’hexagone, il y a $4$ chemins différents. Comme il y a $12$ sommets de ce type, cela fait $4\times 12=48$ manières d’y arriver.
  3. Enfin, pour arriver au point central de chacun des côtés de l’hexagone, il y a $6$ chemins, et l’hexagone a $6$ points de ce type. Cela fait donc $6\times 6=36$ chemins.
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Au total, on dénombre donc $6+48+36=90$ chemins possibles.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Février 2016, 4e défi

    le 26 février à 08:44, par mesmaker

    Il me semble 16.

    Les multiplicateurs de 164 sont compris entre 610 et 6097 pour donner un chiffre à 6 chiffres.
    Or il faut que les multiplicateurs se terminent par 001, 251 ou 501 pour que 164* ???? = ???164.
    Donc il y a 1001, 2001, 3001...6001, 1251, 2251, ...5251, 1501, 2501, ...5501.
    Donc 6+5+5.

    Répondre à ce message
    • Février 2016, 4e défi

      le 27 février à 23:25, par mesmaker

      J’avais oublié ceux qui se terminent par 051 : 1051, ...6051.
      Il y en a 6. Donc je trouve bien en tout 22.
      Ma méthode fut de résoudre le genre d’équation :
      abcd
      *164
      =====
       ???164

      Il vient que d doit être égale à 1 puis que c peut valoir 5 ou 0 et qu’enfin
      b peut valoir aussi 5 ou 0. Donc il y a les quatre possibilités présentées.
      Il suffit ensuite de rajouter le nombre d en faisant attention aux limites
      entre 610 et 6097.

      Répondre à ce message
      • Février 2016, 4e défi

        le 27 février à 23:37, par mesmaker

        Ah ! pardon c’est 751 et non 051.

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      • Février 2016, 4e défi

        le 28 février à 17:30, par Daniate

        Bonjour

        Pour être tout à fait convaincant, il vous faut éliminer le cas d=6.

        Répondre à ce message
  • Février 2016, 4e défi

    le 26 février à 09:09, par Daniate

    Le nombre à 6 chiffres s’écrit 1000a+164 avec 99<a<1000. Il faut donc que 1000a soit divisible par 164 c’est à dire que a doit être un multiple de 41. Or entre 99 et 1000 il ya 22 multiples de 41.
    La réponse est donc 22

    Répondre à ce message
  • Février 2016, 4e défi

    le 26 février à 12:13, par Himynameisarno

    On pose le problème ainsi. On veut résoudre l’équation
    164*k = 10^3 * y + 164 sous la contrainte 100 000 < 164*k < 1000 000
    où k et y sont des nombres entiers.
    Ce système est équivalent à
    k = 250 y / 41 + 1 sous la contrainte 100 000 / 164 < k < 1000 000 / 164
    or k est un nombre entier ce qui impose à y de s’écrire y = 41 * y’ avec y’ un entier (puisque 41 est premier avec 250, c’est-à-dire qu’il n’a aucun facteur entier commun avec lui).
    Ceci équivaut alors à
    k = 250 y’ + 1 sous la contrainte 100 000 / (164 * 250) = 2,43... < y’ < 1000 000 / (164*250) = 24,39...
    y’ étant entier, il y a donc 22 possibilités.

    Vérifions,
    164 * (250 * 2 + 1) = 82 164 5 chiffres
    164 * (250 * 3 + 1) = 123 164 6 chiffres
    etc ...
    164 * (250 * 24 + 1) = 984 164 6 chiffres
    164 * (250 * 25 + 1) = 1 025 164 7 chiffres

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