Un défi par semaine

Février 2017, 1er défi

Le 3 février 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 5 :

Le mois de février $2016$ a compté $5$ lundis. Quelle est la prochaine année où cela se reproduira ?

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MARIUSZ SZCZYGIEL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Février 2017, 1er défi

    le 3 février à 08:12, par Bernard Hanquez

    Bonjour,

    Cela se reproduira pour la première fois en 2044.

    Pourquoi ?

    Pour que le mois de février comporte 5 lundis, il faut que l’année soit bissextile et que le 1er février soit un lundi.
    Entre deux 1er février bissextiles il y a 1461 jours soit 5 jours de décalage (1461 mod 7 = 5).
    7 et 5 étant premiers entre eux, pour que le décalage soit égal à zéro (et que le 1er février soit à nouveau un lundi) il faut attendre 7 cycles de 4 ans, soit 28 ans.
    Donc cela se reproduira pour la première fois en 2044.

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    • Février 2017, 1er défi

      le 3 février à 09:33, par Al_louarn

      Bonjour

      D’accord avec vous mais je voudrais clarifier un détail : il faut effectivement attendre $7$ cycles de $4$ ans mais c’est parce que $7$ (écart entre deux lundis) et $1461$ (écart entre deux 1er février bissextiles) sont premiers entre eux, et non parce que $7$ et $5$ sont premiers entre eux.

      Amicalement

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      • Février 2017, 1er défi

        le 3 février à 17:56, par Daniate

        Bonjour

        L’argument 5 et 7 premiers entre eux me semble justifié. Si tous les 4 ans les jours se décalent de 5 on aura forcément un multiple de 5 en décalage, mais il doit aussi être divisible par 7 pour retrouver un lundi. On cherche donc le ppcm(5,7) qui est 5x7 puisque pgcd(5,7)=1. Ceci dit votre argument est tout aussi recevable.

        A remarquer que ce cycle de 28 ans qui redonne le même calendrier disparaîtra provisoirement en 2100 et ne reprendra qu’en 2112.

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  • Février 2017, 1er défi

    le 3 février à 09:47, par ROUX

    5 lundis en février...
    Il y a 7 jours par semaine.
    Or, 4*7=28, c’est donc qu’il faut un février à plus de 28 jours, soit un février à 29 jours.
    Il s’agira d’une année bissextile avec le lundi 1 février.
    La période entre deux lundis 1 février d’un février bissextile est 366+3*365=1461.
    1461=208*7+5.
    Juste pour voir : en partant du lundi 1 février 2016 ; je serai un lundi dans 208*7 jours et il m’en manquera 5 pour arriver au 1 février : le 1 février 2020 sera le samedi 1 février 2020.
    Il faut k fois 1461 de manière à ce que 1461*k soit divisible par 7 ou, alors, clairement, vu comment j’ai décomposé 1461, que 5*k soit divisible par 7 ; donc, k=7.
    7 paquets de 1461 jours me feront arriver le lundi 1 février 2044 (2016+4*7=2044).

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    • Février 2017, 1er défi

      le 3 février à 17:22, par ROUX

      Oups...
      « La période entre deux lundis 1 février d’un février bissextile est 366+3*365=1461 »
      Non : la période entre deux 1 février d’un février bissextile est 366+3*365=1461  ;-) !

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