Un défi par semaine

Février 2017, 2e défi

Le 10 février 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 6 :

Jean possède $4$ jetons dont les faces sont numérotées de $1$ à $8$ et
il les lance $3$ fois. La première fois, les $4$ jetons indiquent $6$, $1$, $4$ et $3$ ; la deuxième $1$, $3$, $5$ et $7$ et la troisième $3$, $7$, $2$ et $6$. S’il lance une quatrième fois les $4$ jetons, quelle est la valeur maximale de la somme des quatre nombres visibles que Jean peut obtenir ?

Solution du 1er défi de Février :

Enoncé

La réponse est $2044$.

L’année $2016$ a été une année bissextile et le $1^{\text{er}}$ février a été un lundi. Les cinq lundis ont donc été les $1^{\text{er}}$, $8$, $15$, $22$ et $29$ février. Comme les mois de février ne contiennent habituellement que
$28=4\times7$ jours, la prochaine année où il y aura $5$ lundis dans un mois
de février devra être bissextile et commencer un lundi. Elle s’écrit donc sous la
forme $2016+4k$ pour un certain $k$ entier.

De plus, tous les quatre ans, il s’écoule $366+3\times365= 1461=7\times 208+5$ jours donc il s’écoule $208$ semaines et 5 jours. Le jour de la semaine du $1^{\text{er}}$ février est alors décalé de 5 jours tous les 4 ans (en considérant que l’on revient au lundi après le dimanche). Il sera alors décalé de $5k$ jours en l’année $2016+4k$ : l’année recherchée est finalement celle vérifiant que $5k$ est le plus petit multiple de $7$, c’est-à-dire $35$ obtenu pour $k=7$.

La prochaine année vérifiant que son mois de février compte $5$ lundis est
donc $2016+7\times4=2044$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MARIUSZ SZCZYGIEL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Février 2017, 2e défi

    le 10 février à 09:00, par Bernard Hanquez

    D’après ce que j’ai compris de l’énoncé je pense que la réponse est 26.

    Mon raisonnement :

    Les 8 faces sont numérotées de 1 à 8, il faut trouver les combinaisons possibles sur les 4 jetons puis choisir celle qui maximise le plus grand résultat possible.

    Les tirages déjà effectués permettent d’éliminer certaines combinaisons de numéros sur un même jeton. Par exemple le premier tirage permet de dire que 6 et 1 ne sont pas sur le même jeton, de même pour 6 et 4, 6 et 3, 1 et 4, 1 et 3, 4 et 3.

    Il suffit ensuite de répartir les combinaisons possibles restantes en combinant le plus grand numéro restant avec le plus petit possible. On obtient les combinaisons 1-8, 2-5, 4-7 et 5-6.

    Dans l’hypothèse ou chaque jeton sort au tirage sur son plus grand numéro on obtient le tirage 8, 5, 7, 6 . Et 8+5+7+6 = 26

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    • Février 2017, 2e défi

      le 10 février à 09:21, par amic

      Non : 6 n’est pas sur le même jeton que 7, 3 et 1, donc il est sur le même jeton que 5…

      De même 4 n’est pas sur le même jeton que 3 et 1, donc il est sur le même jeton que 7 (puisque 5-6 est déjà un jeton).

      Enfin 2 n’est pas sur le même jeton que 3, donc il reste les jetons 1-2, 3-8, 4-7, et 5-6.

      Le total maximal est donc 23.

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  • Février 2017, 2e défi

    le 10 février à 10:02, par Bernard Hanquez

    Effectivement, j’ai mis le 5 sur deux jetons et j’ai oublié le 3 :-(

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  • Février 2017, 2e défi

    le 10 février à 19:12, par ROUX

    Entre les deux premiers tirages, les 4 et 6 disparaissent et les 5 et 7 apparaissent.
    Les jetons possibles sont donc (4/7,5), (6/5,7) et donc (1/2,8) et (3/8,2).
    Dans le troisième tirage le 3 reste et le 2 apparaît : donc seuls les jetons (3/8) et (1/2) sont corrects.
    De la même manière, seuls les jetons (4/7) et (6/5) sont corrects puisque le 7 reste et le 6 apparaît.
    Le tirage à somme maximale est alors 8,7,6,2 pour une somme de 23.

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