Un défi par semaine

Février 2017, 4e défi

Le 24 février 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 8 :

Après avoir écrit les diviseurs positifs d’un nombre entier différents de $1$ et du nombre lui-même, Anna s’aperçoit que le rapport entre le plus grand et le plus petit est de $45$. Quels sont les entiers positifs vérifiant cette propriété ?

Solution du 3e défi de Février :

Enoncé

La réponse est verte.

Comme il y a une pieuvre qui dit la vérité, et qu’il ne peut y en avoir plusieurs, il y a $3$ pieuvres qui mentent. Ces trois-là possèdent donc $3\times7=21$ tentacules. Si la pieuvre qui dit la vérité a $6$ tentacules, alors la réponse est $27$ et c’est donc la pieuvre verte qui dit la vérité. Si la pieuvre qui dit la vérité a $8$ tentacules, alors le nombre total de tentacules est $29$ et aucune des pieuvres ne propose ce nombre. Finalement, seule la pieuvre verte peut dire la vérité.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MARIUSZ SZCZYGIEL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Février 2017, 4e défi

    le 24 février à 11:50, par Al_louarn

    Les nombres recherchés ont plus de $2$ diviseurs en tout, donc ils sont forcément composés. Or tout nombre composé $n$ peut être factorisé sous la forme $n=dp$ où $p$ est le plus petit facteur premier de $n$ et $d$ est le plus grand diviseur de $n$ (différent de $n$). Comme $p$ est aussi le plus petit diviseur de $n$ (différent de 1), la propriété demandée est $d=45p$, ce qui impose $n=45p^2=3^2 \times 5 \times p^2$. On voit que $3$ est un facteur premier de $n$ donc $p \leq 3$. Par conséquent $p=2$ ou $p=3$ et donc les seules solutions pour $n$ sont $45 \times 2^2 = 180$ et $45 \times 3^2 = 405$.

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  • Février 2017, 4e défi

    le 26 février à 11:52, par ROUX

    Très très très joli problème !!!
    J’ai adoré !!!

    Un des diviseurs de ce nombre est 45.
    Il est donc aussi divisible par 3.
    Ce nombre peut être pair et être aussi divisible par 2.
    Les deux plus petits diviseurs après 1 sont donc soit 2, soit 3, selon la parité du nombre.
    L’avant dernier diviseur divisé par 2 ou 3 doit donner 45. Donc, c’est soit 90, soit 135.
    C’est là que je me sens léger parce que intuitivement, je me dis que si je ne multiplie ensuite à nouveau que par le plus petit diviseur strictement supérieur à 1, cela devrait suffire pour me donner le nombre, qui serait alors soit 180 soit 405.
    Mais si quelqu’un-e me disait : « Ah… Pourquoi ? », je sais que je ne saurais pas être convaincant…
    Donc 180 ou 405 avec assurance mais sans la satisfaction de la certitude d’être simplement éblouissant dans l’exercice d’arrachage de sa conviction à un-e interlocuteur-trice doutant-e  :-(...
    Genre, existe-t-il un théorème qui dit que un nombre est toujours égal au produit de son avant-dernier diviseur par son deuxième diviseur ? Et alors plus généralement que si un nombre à n (n pair) diviseurs, il est toujours égal au produit de ses deux diviseurs de rang k et (n-k) ?
    Ça existerait ?

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    • Février 2017, 4e défi

      le 26 février à 14:10, par Idéophage

      L’application $f := k \mapsto n/k$ est une involution décroissante sur les diviseurs de $n$. Elle envoie donc le $i$ième diviseur de $n$ sur le $i$ième en partant de l’autre côté. De plus, on a $k f(k) = n$ (le graphe de $f$ est la relation « a b = n »).

      On peut aussi voir que l’unique point fixe de cette involution est (en la prolongeant aux réels) la racine carrée de $n$. Cette involution couple les diviseurs de $n$ inférieurs à $\sqrt{n}$ avec ceux supérieurs. On peut utiliser ça pour lister les diviseurs de $n$ en $O(\sqrt{n})$ (il suffit de regarder ceux entre $1$ et $\sqrt{n}$).

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      • Février 2017, 4e défi

        le 26 février à 16:45, par ROUX

        Je vous remercie de cet effort.
        Involution est un terme qui pique un peu mais, bon, un coup de Wikipédia, et, hop, j’ai à peu près compris ce que c’est.
        Mais il reste malheureusement pour moi que votre donc dans « Elle envoie donc le iième diviseur de n sur le iième en partant de l’autre côté » n’est pas du tout évident pour moi. Or, c’est LE point de faiblesse de mon intuition...
        De ce fait, tout en vous remerciant encore, votre justification (?) de ce résultat m’est actuellement (je me demande si je ne pourrais pas faire un dessin pour comprendre...) inutile  :-((.

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        • Février 2017, 4e défi

          le 26 février à 17:32, par Idéophage

          J’essaie de faire au plus simple. Soit $d$ un diviseur de $n$. Soit $d$ un diviseur de $n$. Alors pour tout autre diviseur $d'$ de $n$, on a $d' \leq d$ si et seulement si $n/d' \leq n/d$. Ainsi, l’involution $f$ dont je parlais met en bijection les diviseurs inférieurs à $d$ avec les diviseurs supérieurs à $f(d) = n/d$, il y en a donc le même nombre.

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          • Février 2017, 4e défi

            le 26 février à 17:32, par Idéophage

            Oups, j’ai écrit deux fois la même phrase.

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          • Février 2017, 4e défi

            le 26 février à 17:34, par Idéophage

            J’ai écrit $n/d' \leq n/d$ au lieu de $n/d' \geq n/d$, désolé.

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            • Février 2017, 4e défi

              le 26 février à 18:10, par ROUX

              Je vous remercie : j’ai fini par comprendre.
              Et je me suis rendu compte que j’aurais même pu faire quelques efforts quand même  ;-) !!!

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      • Février 2017, 4e défi

        le 26 février à 21:00, par ROUX

        Alors un nombre qui est un carré a obligatoirement un nombre impair de diviseurs ?
        Sacrées mathématiques  ;-) !!!

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        • Février 2017, 4e défi

          le 26 février à 23:20, par Idéophage

          Tout à fait, c’est même équivalent. Quand j’étais en première, notre prof nous avait posé le problème suivant. On a une liste d’interrupteurs en position éteinte, numérotés de 1 à N. On commence par appuyer sur tous les interrupteurs. Puis on appuie sur les interrupteurs pairs, puis ceux multiples de 3, puis de 4, etc. Quels interrupteurs seront en position allumée à la fin du processus ?

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    • Février 2017, 4e défi

      le 26 février à 16:46, par ROUX

      Oups...
      « si un nombre a n (n pair) diviseurs, il est toujours égal au produit de ses deux diviseurs de rang k et (n-k) »

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  • Février 2017, 4e défi

    le 1er mars à 13:01, par LALANNE

    Au plus court :
    D’après le théorème fondamental de l’arithmétique, le nombre cherché n peut être écrit sous la forme d’un produit de facteurs premiers ni, que l’on écrit en ordre croissant ni+1≥ni.
    Le plus petit diviseur de n sera n1, le plus grand n/n1.
    D’après l’énoncé n=n1*n1*3*3*5
    D’où les valeurs de n1 : 2 et 3 et les valeurs de n : 180 et 405

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  • Février 2017, 4e défi

    le 5 mars à 17:15, par Michel Marcus

    Sur l’OEIS, plusieurs suites autour de ce problème ont été créées ou existaient déjà. Voir A283148 et aussi les suites dans la section Crossrefs.

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