Un défi par semaine

Février 2018, 1er défi

El 2 febrero 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (10)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 5 :

On place les nombres de $1$ à $25$ dans le carré, de telle façon que chaque nombre (sauf le $1$ et le $2$) soit la somme de deux de ses voisins (le $1$ a huit voisins). Combien vaut $X$?

PNG - 24.1 KB

Solution du 4e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est oui.

Commençons par un damier de $2\times 2$. Une manière de le construire est

PNG - 10.8 KB

Maintenant nous allons construire un damier de $4\times 4$. Pour ce faire, nous utili-serons le damier de $2\times 2$. Pour que les sommes obtenues continuent à être distinctes, rajoutons des $1$ et des $-1$ de la façon suivante

PNG - 15.2 KB

Pour compléter le damier, il suffit d’inclure le damier de $2\times 2$ que nous avons construit, mais en l’inversant

PNG - 19.2 KB

Observons que nous pouvons construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$
à partir d’un damier de $2k \times 2k$. Dans le damier de $2k \times 2k$ les sommes seront égales à $-(2k-1)$, \mbox$-(2k-2)$,$\dots$, $-(2k-(2k-1))$, 0, $\ldots, 2k$. Donc, pour construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ on place un damier de $2k \times 2k$ dans la partie supérieure gauche, ensuite on dispose les nombres $1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième colonne et les nombres $-1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième colonne. Finalement, on place le damier de $2\times 2$ qu’on a construit au début, mais avec les lignes inversées.

PNG - 30.6 KB

On voit que les sommes des nombres des $(2k+2)$ colonnes et des $(2k+2)$ lignes du damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ vont de $-(2k+1)$ à $(2k+2)$. De cette manière on a tous les nombres de $-(2k+1)$ à $2k+2$. Ainsi, il est possible de construire un damier de $2n\times 2n$ pour tout entier positif $n$. En particulier, il est possible de construire un damier de $1000\times 1000$.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Février 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Février 2018, 1er défi

    le 17 de febrero de 2018 à 00:03, par Niak

    Oui, par exemple il n’y a que deux grilles avec le $1$ au centre de la première ligne (ou a fortiori au centre de n’importe quel bord), la suivante et sa symétrique horizontale :
    $\begin{bmatrix}21& 11& 1& 13& 18\\10& 4& 3& 5& 12\\20& 6& 2& 7& 19\\14& 8& 15& 9& 16\\22& 23& 17& 24& 25\end{bmatrix}$
    Donc donner le $1$ à cette position et la position de n’importe quelle autre valeur hors de la colonne centrale (de façon à briser la symétrie) assure l’unicité.

    Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.