Un défi par semaine

Février 2018, 1er défi

Le 2 février 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 5 :

On place les nombres de $1$ à $25$ dans le carré, de telle façon que chaque nombre (sauf le $1$ et le $2$) soit la somme de deux de ses voisins (le $1$ a huit voisins). Combien vaut $X$ ?

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Solution du 4e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est oui.

Commençons par un damier de $2\times 2$. Une manière de le construire est

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Maintenant nous allons construire un damier de $4\times 4$. Pour ce faire, nous utili-serons le damier de $2\times 2$. Pour que les sommes obtenues continuent à être distinctes, rajoutons des $1$ et des $-1$ de la façon suivante

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Pour compléter le damier, il suffit d’inclure le damier de $2\times 2$ que nous avons construit, mais en l’inversant

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Observons que nous pouvons construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$
à partir d’un damier de $2k \times 2k$. Dans le damier de $2k \times 2k$ les sommes seront égales à $-(2k-1)$, \mbox$-(2k-2)$,$\dots$, $-(2k-(2k-1))$, 0, $\ldots, 2k$. Donc, pour construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ on place un damier de $2k \times 2k$ dans la partie supérieure gauche, ensuite on dispose les nombres $1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième colonne et les nombres $-1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième colonne. Finalement, on place le damier de $2\times 2$ qu’on a construit au début, mais avec les lignes inversées.

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On voit que les sommes des nombres des $(2k+2)$ colonnes et des $(2k+2)$ lignes du damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ vont de $-(2k+1)$ à $(2k+2)$. De cette manière on a tous les nombres de $-(2k+1)$ à $2k+2$. Ainsi, il est possible de construire un damier de $2n\times 2n$ pour tout entier positif $n$. En particulier, il est possible de construire un damier de $1000\times 1000$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Février 2018, 1er défi

    le 30 janvier 2018 à 11:02, par Lhooq

    Sinon je trouve le tableau suivant :

    19 11 15 20 21
    13 6 5 4 17
    23 7 1 3 14
    16 9 8 2 12
    25 24 18 10 22
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