Un défi par semaine

Février 2018, 1er défi

Le 2 février 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 5 :

On place les nombres de $1$ à $25$ dans le carré, de telle façon que chaque nombre (sauf le $1$ et le $2$) soit la somme de deux de ses voisins (le $1$ a huit voisins). Combien vaut $X$ ?

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Solution du 4e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est oui.

Commençons par un damier de $2\times 2$. Une manière de le construire est

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Maintenant nous allons construire un damier de $4\times 4$. Pour ce faire, nous utili-serons le damier de $2\times 2$. Pour que les sommes obtenues continuent à être distinctes, rajoutons des $1$ et des $-1$ de la façon suivante

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Pour compléter le damier, il suffit d’inclure le damier de $2\times 2$ que nous avons construit, mais en l’inversant

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Observons que nous pouvons construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$
à partir d’un damier de $2k \times 2k$. Dans le damier de $2k \times 2k$ les sommes seront égales à $-(2k-1)$, \mbox$-(2k-2)$,$\dots$, $-(2k-(2k-1))$, 0, $\ldots, 2k$. Donc, pour construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ on place un damier de $2k \times 2k$ dans la partie supérieure gauche, ensuite on dispose les nombres $1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième colonne et les nombres $-1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième colonne. Finalement, on place le damier de $2\times 2$ qu’on a construit au début, mais avec les lignes inversées.

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On voit que les sommes des nombres des $(2k+2)$ colonnes et des $(2k+2)$ lignes du damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ vont de $-(2k+1)$ à $(2k+2)$. De cette manière on a tous les nombres de $-(2k+1)$ à $2k+2$. Ainsi, il est possible de construire un damier de $2n\times 2n$ pour tout entier positif $n$. En particulier, il est possible de construire un damier de $1000\times 1000$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Février 2018, 1er défi

    le 6 février 2018 à 11:25, par drai.david

    ÉTUDE DES 7102 CONFIGURATIONS NON ÉQUIVALENTES

    Le nombre du centre est impair dans 6512 configurations sur 7102.
    Le 1 est au centre dans 2806 configurations tandis que le 3 l’est 3363 fois.
    Le seul nombre impair à ne pouvoir être au centre est 25.

    Pour les nombres pairs au centre : 129 configurations pour le 2 et 351 pour le 4.
    10, 14, 20, 22 et 24 ne peuvent pas être au centre.
    Une seule grille a le 18 au centre (et c’est le seul nombre pour lequel cela arrive).
    Donc la donnée du 18 au centre détermine entièrement la grille (aux rotations et symétries près).
    Et avec la donnée du 18 au centre et la position d’un des nombres parmi 7, 12, 14, 15, 16, 20 , 21 et 23, la solution devient vraiment unique.

    Ainsi, il est possible d’obtenir l’unicité de la grille avec seulement 2 nombres initialement placés (dont un au centre pour des raisons évidentes de symétrie).

    D’où le défi suivant : « Compléter la grille avec 18 au centre et 7 en D-5 ».

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