Un défi par semaine

Février 2018, 2e défi

Le 9 février 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 6 :

Combien de paires d’entiers strictement positifs $(m,n)$ vérifient la condition
$m^4+n=100\,000\,001$ ?

Solution du 1er défi de Février :

Enoncé

La réponse est $X=14$.

Dans la grille on a déjà placé les nombres de $1$ à $9$ et de $20$ à $25$, on doit disposer les nombres manquants de $10$ à $19$.

Observons par exemple que le $9$ est la somme de $8+1$, le $4$ est la somme de $3+1$. Puis, pour obtenir le $21$ on doit placer le $17$ en-dessous, vu que $17+4=21$. Cependant, pour obtenir le $17$ on doit avoir $14+3$ ou $13+4$. Par conséquent, $X$ est égal à $13$ ou $14$. Pour déterminer laquelle de ces deux valeurs vaut $X$ il est nécessaire de continuer à remplir le tableau.

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Analysons maintenant comment obtenir $22$. On ne peut placer aucun nombre supérieur ou égal à $20$, ceux-ci étant déjà utilisés. Ensuite, pour obtenir $22$ l’unique possibilité est d’utiliser le $10$ et le $12$ comme voisins du $22$. Si on place le $12$ au dessus du $22$ et le $10$ sous le $2$, on obtient $12=10+2$ et $10=8+2$. Par ailleurs, si on dispose le $10$ au-dessus du $22$ et le $12$ en dessous du $2$, on ne peut pas obtenir le $10$ comme la somme de deux de ses voisins. Pour cette raison on a

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Finalement, observons que $X$ ne peut pas être $13$, vu qu’on ne pourrait pas l’obtenir avec les nombres préalablement déterminés. Par conséquent, $X=14$ qui est égal à $12+2$. Essayez de compléter le tableau.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Février 2018, 2e défi

    le 9 février à 09:05, par Bernard Hanquez

    Le plus grand nombre dont la puissance quatrième soit strictement inférieure à 100 000 001 est 100. Il y a donc 100 paires d’entiers strictement positifs satisfaisant à la condition énoncée,
    m prenant les valeurs 1 à 100 et n étant égal à 100 000 001 - m^4.

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