Un défi par semaine

Février 2018, 3e défi

Le 16 février 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 7 :

Considérer la suite définie par $a_0=0$, $a_1=1$, et pour tout nombre naturel $k$, $a_{k+1}=3a_k+1$. Quel reste obtient-on en divisant $a_{155}$ par $33$ ?

Solution du 2e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $100$ paires.

Notons que $100\,000\,001=10^8+1$, on a ainsi l’équation $m^4+n=10^8+1$. Puis, nous voulons savoir combien d’entiers strictement positifs $m$ et $n$ sastisfont l’équation précédente. Si $m>10^2$ on aurait

$10^8+1=m^4+n>(10^2)^4+n=10^8+n\geq 10^8+1,$

ce qui est absurde. Par conséquent, $1\leq m\leq 10^2$, ensuite $m^4\leq 10^8$, d’où $-m^4 \geq -10^8$. On a alors

$m^4+n = 10^8+1$

$n = 10^8+1-m^4$

$n \geq 10^8+1-10^8$

$n \geq 1.$

Partant de là, pour chaque entier $m$ tel que $1\leq m\leq 10^2$, on a la solution $(m, 10^8+1-m^4)$. C’est-à-dire qu’il y a $10^2=100$ couples d’entiers positifs qui satisfont la condition du problème.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Février 2018, 3e défi

    le 16 février à 08:54, par Al_louarn

    $a_k=3^{k-1} + ... + 3^2 + 3^1 + 3^0=\dfrac{3^k - 1}{3-1}$
    $2a_{155}=3^{155}-1=(3^5)^{31}-1$
    On note que $3^5 =243 = 7 \times 33 + 12$ donc $3^{5} \equiv 12 \pmod{33}$.
    De plus $12^2 = 144 = 4 \times 33 + 12$, ce qui entraîne $12^{31} \equiv 12 \pmod{33}$.
    Donc $2a_{155} \equiv 12-1 \equiv 11 \pmod{33}$
    Autrement dit $2a_{155} = 33n + 11$ où $n$ est forcément impair : $n=2m+1$
    Donc $2a_{155} = 33 \times 2m + 33 + 11 = 2(33m+22)$.
    D’où $a_{155} \equiv 22 \pmod{33}$.

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  • Février 2018, 3e défi

    le 16 février à 09:52, par Daniate

    On définit une suite annexe b dans l’ensemble des restes possibles par 33 (Z/33Z) chaque terme étant le reste du terme correspondant dans la suite a. On démontre aisément que la suite b suit la même règle que a, mais dans un ensemble fini elle est périodique. Un rapide calcul des premiers termes montre que b1=b6=1 et b5=22. La période est donc 5 et tous les termes de rang multiple de 5 sont aussi 22

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  • Février 2018, 3e défi

    le 16 février à 13:41, par Celem Mene

    Premièrement nous avons : (3x + 1) % 33 = 1 (avec x = 1), que nous multiplions à son tour par 3x + 1, soit (3(3x + 1) + 1) % 33 = (9x + 4) % 33 = 4, s’ensuit :

    3 : (27x + 13) % 33 = 13
    4 : (81x + 40) % 33 = 7
    5 : (243x + 121) % 33 = 22

    pour obtenir alors : 729x + 364, qui est de la forme 3x + 1 : 3(243x + 121) + 1, qui modulo 33 fait 4, et le cycle recommence.

    Chaque 5e itération le reste est 22, qui est donc la solution.

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