Février 2018, 3e défi

Le 16 février 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 7 :

Considérer la suite définie par $a_0=0$, $a_1=1$, et pour tout nombre naturel $k$, $a_{k+1}=3a_k+1$. Quel reste obtient-on en divisant $a_{155}$ par $33$ ?

Solution du 2e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $100$ paires.

Notons que $100\,000\,001=10^8+1$, on a ainsi l’équation $m^4+n=10^8+1$. Puis, nous voulons savoir combien d’entiers strictement positifs $m$ et $n$ sastisfont l’équation précédente. Si $m>10^2$ on aurait

$10^8+1=m^4+n>(10^2)^4+n=10^8+n\geq 10^8+1,$

ce qui est absurde. Par conséquent, $1\leq m\leq 10^2$, ensuite $m^4\leq 10^8$, d’où $-m^4 \geq -10^8$. On a alors

$m^4+n = 10^8+1$

$n = 10^8+1-m^4$

$n \geq 10^8+1-10^8$

$n \geq 1.$

Partant de là, pour chaque entier $m$ tel que $1\leq m\leq 10^2$, on a la solution $(m, 10^8+1-m^4)$. C’est-à-dire qu’il y a $10^2=100$ couples d’entiers positifs qui satisfont la condition du problème.

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Février 2018, 3e défi

le 16 février 2018 à 08:54, par Al_louarn

$a_k=3^{k-1} + ... + 3^2 + 3^1 + 3^0=\dfrac{3^k - 1}{3-1}$
$2a_{155}=3^{155}-1=(3^5)^{31}-1$
On note que $3^5 =243 = 7 \times 33 + 12$ donc $3^{5} \equiv 12 \pmod{33}$.
De plus $12^2 = 144 = 4 \times 33 + 12$, ce qui entraîne $12^{31} \equiv 12 \pmod{33}$.
Donc $2a_{155} \equiv 12-1 \equiv 11 \pmod{33}$
Autrement dit $2a_{155} = 33n + 11$ où $n$ est forcément impair : $n=2m+1$
Donc $2a_{155} = 33 \times 2m + 33 + 11 = 2(33m+22)$.
D’où $a_{155} \equiv 22 \pmod{33}$.
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Février 2018, 3e défi

le 16 février 2018 à 09:52, par Daniate

On définit une suite annexe b dans l’ensemble des restes possibles par 33 (Z/33Z) chaque terme étant le reste du terme correspondant dans la suite a. On démontre aisément que la suite b suit la même règle que a, mais dans un ensemble fini elle est périodique. Un rapide calcul des premiers termes montre que b1=b6=1 et b5=22. La période est donc 5 et tous les termes de rang multiple de 5 sont aussi 22
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Février 2018, 3e défi

le 16 février 2018 à 13:41, par Celem Mene

Premièrement nous avons : (3x + 1) % 33 = 1 (avec x = 1), que nous multiplions à son tour par 3x + 1, soit (3(3x + 1) + 1) % 33 = (9x + 4) % 33 = 4, s’ensuit :

3 : (27x + 13) % 33 = 13
4 : (81x + 40) % 33 = 7
5 : (243x + 121) % 33 = 22

pour obtenir alors : 729x + 364, qui est de la forme 3x + 1 : 3(243x + 121) + 1, qui modulo 33 fait 4, et le cycle recommence.

Chaque 5e itération le reste est 22, qui est donc la solution.
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