Un défi par semaine

Février 2018, 3e défi

Le 16 février 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 7 :

Considérer la suite définie par $a_0=0$, $a_1=1$, et pour tout nombre naturel $k$, $a_{k+1}=3a_k+1$. Quel reste obtient-on en divisant $a_{155}$ par $33$ ?

Solution du 2e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $100$ paires.

Notons que $100\,000\,001=10^8+1$, on a ainsi l’équation $m^4+n=10^8+1$. Puis, nous voulons savoir combien d’entiers strictement positifs $m$ et $n$ sastisfont l’équation précédente. Si $m>10^2$ on aurait

$10^8+1=m^4+n>(10^2)^4+n=10^8+n\geq 10^8+1,$

ce qui est absurde. Par conséquent, $1\leq m\leq 10^2$, ensuite $m^4\leq 10^8$, d’où $-m^4 \geq -10^8$. On a alors

$m^4+n = 10^8+1$

$n = 10^8+1-m^4$

$n \geq 10^8+1-10^8$

$n \geq 1.$

Partant de là, pour chaque entier $m$ tel que $1\leq m\leq 10^2$, on a la solution $(m, 10^8+1-m^4)$. C’est-à-dire qu’il y a $10^2=100$ couples d’entiers positifs qui satisfont la condition du problème.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Février 2018, 3e défi

    le 16 février 2018 à 13:41, par Celem Mene

    Premièrement nous avons : (3x + 1) % 33 = 1 (avec x = 1), que nous multiplions à son tour par 3x + 1, soit (3(3x + 1) + 1) % 33 = (9x + 4) % 33 = 4, s’ensuit :

    3 : (27x + 13) % 33 = 13
    4 : (81x + 40) % 33 = 7
    5 : (243x + 121) % 33 = 22

    pour obtenir alors : 729x + 364, qui est de la forme 3x + 1 : 3(243x + 121) + 1, qui modulo 33 fait 4, et le cycle recommence.

    Chaque 5e itération le reste est 22, qui est donc la solution.

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