Un défi par semaine

Février 2018, 4e défi

Le 23 février 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 8 :

Soit $p=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots$ le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $2018$ et $q=3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\ldots$ le produit de tous les nombres impairs inférieurs ou
égaux à $2017$. Quel est le chiffre des dizaines du produit $pq$ ?

Solution du 3e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $22$.

Calculons $a_{k+5}$ en fonction de $a_k$ :

$a_{k+1} = 3a_{k}+1$

$a_{k+2} = 3(a_{k+1})+ 1=3^2a_k+4$

$a_{k+3} = 3(a_{k+2})+ 1=3^3a_k+13$

$a_{k+4} = 3(a_{k+3})+ 1=3^4a_k+40$

$a_{k+5} = 3(a_{k+4})+ 1=3^5a_k+121.$

Comme $a_0=0$ et $a_5=3^5a_k+121=243a_0+121=121$, on voit que $a_5$ est multiple de 11. De la même façon, $a_{10}$ est multiple de 11 et en général, tous les nombres de la forme $a_{5n}$ sont des multiples de 11. Donc $a_{155}$ est multiple de 11. Soit $r$ le reste de $a_{155}$ dans la division par 33, c’est-à-dire, $a_{155}=33n+r$, pour un nombre entier $n$
et avec $0\leq r <33$. Comme $11$ divise $a_{155}$, cela implique que
$11$ divise $r$, par conséquent $r=0, 11$ ou $22$. D’un autre côté, comme $a_{155}=3a_{154}+1$, on a une des possibilités suivantes :

$33n = 3a_{154}+1$

$33n + 11 = 3a_{154}+1$

$33n+ 22 = 3a_{154}+1.$

En divisant chaque équation par 3 on obtient

$11n = a_{154}+\frac{1}{3}$

$11n = a_{154}-\frac{10}{3}$

$11n = a_{154}-\frac{21}{3}.$

L’unique expression ci-dessus qui est un nombre entier est $a_{154}-\frac{21}{3}=a_{154}-7$. Comme $11n$ est un nombre entier, on conclut que $a_{155}$ est de la forme $33n+22$. Par conséquent, le reste de $a_{155}$ dans la division par 33 est 22.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Février 2018, 4e défi

    le 23 février à 17:35, par Celem Mene

    Calculons d’abord q. Nous nous rendons compte à la présence du 5, et à l’absence du 2, que le nombre se terminera par 5.

    Mais p = q * 2, donc p se terminera par 0.

    Donc p * q se terminera par 50.

    5 est donc le chiffre recherché.

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    • Février 2018, 4e défi

      le 23 février à 20:27, par FDesnoyer

      Bonsoir,

      p=2*q me laisse perplexe... Je n’ai pas la solution mais je crois que vous faites erreur

      Amicalement,

      F.D.

      Répondre à ce message
      • Février 2018, 4e défi

        le 23 février à 20:33, par Celem Mene

        Nous avons :

        p = 2 . 3 . 5 . 7 . 9 ... et
        q = 3 . 5 . 7 . 9...

        Donc p = 2q.

        Meilleures salutations.

        Répondre à ce message
        • Février 2018, 4e défi

          le 23 février à 22:21, par Niak

          $p$ est le produit des nombres premiers inférieurs à $2018$ tandis que $q$ est le produit des impairs inférieurs à $2018$. Donc $p$ ne vaut pas $2q$ et $q$ est même très grand devant $p$.

          Répondre à ce message
        • Février 2018, 4e défi

          le 23 février à 22:49, par Niak

          Par ailleurs, en mettant cette erreur de lecture de l’énoncé de côté, votre raisonnement reste incomplet : par exemple $20$ se termine par $0$ et $5$ par $5$ mais $20\times5=100$ ne se termine pas par $50$.

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    • Février 2018, 4e défi

      le 24 février à 11:48, par Celem Mene

      Veuillez m’excuser. J’étais parti sur deux suites de nombres premiers... Je suis juste un passionné, pas un mathématicien.

      Pour p, nous avons 2 * 5 * nombres impairs autres que 5, ce nombre se terminera par 0, précédé de 1, 3, 7 ou 9.

      Quant à q, nous avons 5 * d’autres nombres impairs, il se terminera donc par 5.

      Donc p * q se terminera donc bien par 50.

      Et le chiffre des dizaines est 5.

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    • Février 2018, 4e défi

      le 1er mars à 15:21, par jjvz

      C’est exact : 5 est donc le chiffre recherché.

      J’ai fait l’algo en perl :
      9639989711185911595961463808973774252992081689121071975665453209......
      ........744618797153494352226640873304575052316067740321159362792968750

      Répondre à ce message
      • Février 2018, 4e défi

        le 1er mars à 16:36, par Celem Mene

        Remarquable, mais avec des modulo 100, ça marchait aussi.

        Meilleures salutations.

        Répondre à ce message
  • Février 2018, 4e défi

    le 23 février à 22:14, par Niak

    Écrivons $p=2\cdot5\cdot p'$ avec $p'$ impair et $q=5\cdot q'$ avec $q'$ impair. Ainsi $pq=10r$ avec $r=5p'q'$ un multiple impair de $5$ dont l’écriture décimale se termine donc par $5$. Dès lors $pq$ se termine par $50$.

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    • Février 2018, 4e défi

      le 1er mars à 21:02, par FDesnoyer

      Méthode d’une rare élégance, bravo !

      F.D.

      Répondre à ce message

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