Un défi par semaine

Février 2018, 4e défi

Le 23 février 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 8 :

Soit $p=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots$ le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $2018$ et $q=3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\ldots$ le produit de tous les nombres impairs inférieurs ou
égaux à $2017$. Quel est le chiffre des dizaines du produit $pq$ ?

Solution du 3e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $22$.

Calculons $a_{k+5}$ en fonction de $a_k$ :

$a_{k+1} = 3a_{k}+1$

$a_{k+2} = 3(a_{k+1})+ 1=3^2a_k+4$

$a_{k+3} = 3(a_{k+2})+ 1=3^3a_k+13$

$a_{k+4} = 3(a_{k+3})+ 1=3^4a_k+40$

$a_{k+5} = 3(a_{k+4})+ 1=3^5a_k+121.$

Comme $a_0=0$ et $a_5=3^5a_k+121=243a_0+121=121$, on voit que $a_5$ est multiple de 11. De la même façon, $a_{10}$ est multiple de 11 et en général, tous les nombres de la forme $a_{5n}$ sont des multiples de 11. Donc $a_{155}$ est multiple de 11. Soit $r$ le reste de $a_{155}$ dans la division par 33, c’est-à-dire, $a_{155}=33n+r$, pour un nombre entier $n$
et avec $0\leq r <33$. Comme $11$ divise $a_{155}$, cela implique que
$11$ divise $r$, par conséquent $r=0, 11$ ou $22$. D’un autre côté, comme $a_{155}=3a_{154}+1$, on a une des possibilités suivantes :

$33n = 3a_{154}+1$

$33n + 11 = 3a_{154}+1$

$33n+ 22 = 3a_{154}+1.$

En divisant chaque équation par 3 on obtient

$11n = a_{154}+\frac{1}{3}$

$11n = a_{154}-\frac{10}{3}$

$11n = a_{154}-\frac{21}{3}.$

L’unique expression ci-dessus qui est un nombre entier est $a_{154}-\frac{21}{3}=a_{154}-7$. Comme $11n$ est un nombre entier, on conclut que $a_{155}$ est de la forme $33n+22$. Par conséquent, le reste de $a_{155}$ dans la division par 33 est 22.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Février 2018, 4e défi

    le 23 février 2018 à 22:21, par Niak

    $p$ est le produit des nombres premiers inférieurs à $2018$ tandis que $q$ est le produit des impairs inférieurs à $2018$. Donc $p$ ne vaut pas $2q$ et $q$ est même très grand devant $p$.

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