Un défi par semaine

Février 2019, 4e défi

Le 22 février 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 8

Deux nombres positifs sont tels que leur somme est inférieure ou égale à leur produit.
Quelle est la valeur minimale de leur somme ?

Solution du 3e défi de février :

Enoncé

La solution est $11$.

Les équations qui décrivent la figure sont : $x + y =5$, $y + z =10$ et $z + x = 7$.

En les additionnant, nous obtenons $2(x+y+z)=22$, ainsi
$x+y+z=11$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Février 2019, 4e défi

    le 22 février à 08:36, par Al_louarn

    Les deux nombres $a \geq b$ peuvent s’écrire sous la forme $a=c+d$ et $b=c-d$, où $c=\dfrac{a+b}{2}$ et $d=\dfrac{a-b}{2}$.
    La contrainte $ab \geq a + b$ devient alors $(c+d)(c-d) \geq 2c$, soit $c^2 - d^2 \geq 2c$, puis $c^2 \geq 2c + d^2$. Or $d^2 \geq 0$ donc $c^2 \geq 2c$, puis $c \geq 2$ et finalement $2c \geq 4$.
    On vérifie facilement qu’on atteint cette borne inférieure $S=4$ en prenant $a=b=2$ puisque $2+2=2\times2=4$

    Remarque : L’énoncé ne précise pas que les nombres sont strictement positifs donc en toute rigueur la solution serait plutôt $0 = 0+0 = 0 \times 0$ (mais pas très amusante).

    Répondre à ce message
  • Février 2019, 4e défi

    le 22 février à 10:17, par ROUX

    x+y < x*y se transforme en (y-1)*(x-1) > 1 ou en Y>1/X.
    C’est une hyperbole.
    En X=1 et Y=1, la tangente a une pente de -1.
    Cela signifie que, sur cette tangente, Y gagne exactement ce que X perd.
    En tous les autres points, le coefficient directeur différent de -1 indique que l’une des variables a plus gagné que l’autre a perdu.
    Donc la somme minimale correspond à X=1 et Y=1 soit à x=2 et y=2 soit une somme minimale de 4.

    Répondre à ce message
  • Février 2019, 4e défi

    le 22 février à 10:38, par CAMI

    Si x et y chacun entier positif non nul, il faut x + y <= x*y soit x <= y*(x-1)
    il faut x-1 non nul et minimum soit x=2 et donc y=2

    Répondre à ce message
  • Généralisation

    le 24 février à 08:09, par Al_louarn

    Généralisons le problème avec $n$ nombres positifs.

    On le résout facilement en s’appuyant sur l’inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique. Si $S$ est la somme des $n$ nombres et $P$ leur produit, elle s’écrit ainsi :
    \[\frac{S}{n} \geq P^{\frac{1}{n}}\]

    Dans notre cas nous voulons $P \geq S$, ce qui conduit à :
    $\frac{S}{n} \geq S^{\frac{1}{n}}$
    $(\frac{S}{n})^n \geq S$
    $S^n \geq n^nS$
    $S^n - n^nS \geq 0$
    $S(S^{n-1} - n^n) \geq 0$

    Si on exige que les nombres sont strictement positifs alors $S>0$ donc :
    $S^{n-1} - n^n \geq 0$
    $S^{n-1} \geq n^n$
    $S \geq n^{\frac{n}{n-1}}$
    Et ce minimum est atteint lorsque tous les nombres valent $n^{\frac{1}{n-1}}$

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?