Commentaire sur l'article

• Février 2019, 4e défi

  le 22 février 2019 à 08:36, par Al_louarn

  Les deux nombres $a \geq b$ peuvent s’écrire sous la forme $a=c+d$ et $b=c-d$, où $c=\dfrac{a+b}{2}$ et $d=\dfrac{a-b}{2}$.
  La contrainte $ab \geq a + b$ devient alors $(c+d)(c-d) \geq 2c$, soit $c^2 - d^2 \geq 2c$, puis $c^2 \geq 2c + d^2$. Or $d^2 \geq 0$ donc $c^2 \geq 2c$, puis $c \geq 2$ et finalement $2c \geq 4$.
  On vérifie facilement qu’on atteint cette borne inférieure $S=4$ en prenant $a=b=2$ puisque $2+2=2\times2=4$

  Remarque : L’énoncé ne précise pas que les nombres sont strictement positifs donc en toute rigueur la solution serait plutôt $0 = 0+0 = 0 \times 0$ (mais pas très amusante).

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• Février 2019, 4e défi

  le 22 février 2019 à 10:17, par ROUX

  x+y < x*y se transforme en (y-1)*(x-1) > 1 ou en Y>1/X.
  C’est une hyperbole.
  En X=1 et Y=1, la tangente a une pente de -1.
  Cela signifie que, sur cette tangente, Y gagne exactement ce que X perd.
  En tous les autres points, le coefficient directeur différent de -1 indique que l’une des variables a plus gagné que l’autre a perdu.
  Donc la somme minimale correspond à X=1 et Y=1 soit à x=2 et y=2 soit une somme minimale de 4.

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• Février 2019, 4e défi

  le 22 février 2019 à 10:38, par CAMI

  Si x et y chacun entier positif non nul, il faut x + y <= x*y soit x <= y*(x-1)
  il faut x-1 non nul et minimum soit x=2 et donc y=2

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• Généralisation

  le 24 février 2019 à 08:09, par Al_louarn

  Généralisons le problème avec $n$ nombres positifs.

  On le résout facilement en s’appuyant sur l’inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique. Si $S$ est la somme des $n$ nombres et $P$ leur produit, elle s’écrit ainsi :
  \[\frac{S}{n} \geq P^{\frac{1}{n}}\]

  Dans notre cas nous voulons $P \geq S$, ce qui conduit à :
  $\frac{S}{n} \geq S^{\frac{1}{n}}$
  $(\frac{S}{n})^n \geq S$
  $S^n \geq n^nS$
  $S^n - n^nS \geq 0$
  $S(S^{n-1} - n^n) \geq 0$

  Si on exige que les nombres sont strictement positifs alors $S>0$ donc :
  $S^{n-1} - n^n \geq 0$
  $S^{n-1} \geq n^n$
  $S \geq n^{\frac{n}{n-1}}$
  Et ce minimum est atteint lorsque tous les nombres valent $n^{\frac{1}{n-1}}$

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• Février 2019, 4e défi

  le 21 avril 2019 à 22:49, par LALANNE

  La somme de deux nombres dont le produit est constant est maximale lorsqu’ils sont égaux (cours de troisième des années 60).
  Si 2a=a^2 , a=2

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