Un défi par semaine

Février 2020, 1er défi

Le 7 février 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 6

Sur une horloge, la somme de trois nombres consécutifs est toujours un multiple de $3$. Réordonner les nombres de telle sorte que la somme de trois nombres consécutifs ne soit jamais un multiple de $3$.

Solution du 5e défi de janvier :

Enoncé

Remarquons déjà qu’il y a bien $\binom 52 = 10$
façons de regrouper les cinq nombres deux par deux, et donc $10$ sommes possibles.

Notons $a, b, c, d$ et $e$ les cinq nombres cherchés, rangés par ordre croissant : $a \leq b \leq c \leq d \leq e$.

Chacun des cinq nombres apparaît dans exactement quatre des dix sommes, donc la somme des dix sommes (qui vaut $72$) vaut également $4(a+b+c+d+e)$, d’où l’on tire $a+b+c+d+e = 18$.

Par ailleurs, les deux sommes les plus grandes sont, dans l’ordre $d+e=15$ et $c+e=13$ (il n’est en revanche pas clair a priori si la troisième, $11$, est $b+e$ ou $c+d$). De même, les deux sommes les plus petites sont $a+b=0$ et $a+c=2$.

On a donc $18 = \underbrace{a+b}_{=0}+c+\underbrace{d+e}_{=15}$, donc $c = 3$. De $a+c = 2$, on tire $a = -1$ puis, de $a+b=0$, $b=1$. De même, on tire $e = 10$ de $c+e=13$ puis $d = 5$ de $d+e=15$.

Les cinq nombres cherchés sont donc $-1, 1, 3, 5$ et $10$.

La solution est $-1, 1, 3,$ $5$ et $10$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - KFIFA / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Février 2020, 1er défi

    le 7 février à 08:26, par Al_louarn

    Modulo $3$, un nombre vaut $0$,$1$ ou $-1$. Le problème se ramène à disposer en cercle quatre $-1$, quatre $0$ et quatre $1$ de façon que la somme modulo $3$ de $3$ nombres consécutifs ne soit jamais nulle. On ne peut pas avoir $3$ nombres distincts consécutifs car $-1+0+1=0$ , ni $3$ nombres identiques car leur somme est un multipe de $3$ donc $0$ modulo $3$. On est donc obligé d’utiliser $2$ fois le même nombre et un troisième distinct (pas forcément dans cet ordre). Il existe plusieurs solutions, par exemple :
    $-,-,0,0,+,+,-,-,0,0,+,+$
    $-,-,0,0,-,-,+,+,0,0,+,+$
    $-,-,0,-,0,0,+,0,+,+,-,+$

    Pour chaque motif obtenu il suffit de répartir les nombres de $1$ à $12$ selon leur reste modulo $3$. Pour le premier motif on a par exemple $2,5,3,6,1,4,8,11,9,12,7,10$

    Mais combien y a-t-il de solutions au total ?

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    • Février 2020, 1er défi

      le 7 février à 13:18, par Gérard JONEAUX

      Nous arrivons à un nombre impressionnant de solutions !
      Supposons la définition suivante :
      Les nombres + sont 1, 4, 7 et 10.
      Les nombres - sont 2, 5, 8 et 11.
      Les nombres 0 sont 3, 6, 9 et 12.
      Il faut enchainer ++ 00 —, en évitant les suites telles que +++,000 et ---.
      Appelons A une suite de 2 nombres +, B une suite de 2 nombres -, C une suite de 2 nombres 0.
      les suites acceptables sont :
      A B A C B C
      A B C A B C
      A C A B C B
      A C B A C B
      A C B A B C
      L’ordre des + peut être 1, 4, 7, 10 ou bien 1 4 10 7, bref 24 arrangements possibles .
      idem pour les - et les 0.
      cela donne 24 puissance 3 possibilités pour réaliser A B A C B C.
      Elevons le tout à la puissance 5 pour remplir nos 5 lignes.
      et nous avons toutes les possibilités commençant par deux nombres +.
      Il faudra encore multiplier par 12 pour régler l’heure de midi.
      Le pire, c’est qu’en testant toutes ces possibilités, aucune d’entre elles ne pourra donner l’heure !

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      • Février 2020, 1er défi

        le 7 février à 23:43, par Al_louarn

        Il y a bien plus que $5$ lignes acceptables. Déjà il vous manque $ABCBAC$. Mais de plus on n’est pas obligé d’utiliser des $++$,$00$,$--$, car par exemple $+,+,0,+,+,0,0,-,-,0,-,-$ convient parfaitement. En revanche s’il y a $n$ lignes il ne faut pas élever à la puissance $n$ mais simplement multiplier par $n$.

        Convenons de représenter une horloge par une permutation des nombres $1$ à $12$, en commençant par $1$. On multipliera effectivement par $12$ pour « régler l’heure de midi », si l’on considère que les $12$ positions sur l’horloge sont discernables, ce qui est le cas en général car tous les chiffres sont orientés dans la même direction.
        Donc chaque ligne, ou mot sur l’alphabet $\{+,0,-\}$, doit commencer par un $+$, qui sera remplacé par un $1$. Nous avons alors seulement $3!=6$ arrangements possibles pour les $+$, $4!=24$ pour les $0$ et aussi $24$ pour les $-$.
        On peut noter que tous les mots acceptables commençant par $+$ peuvent être groupés par paires dont chaque membre s’obtient à partir de l’autre en échangeant les $0$ et les $-$. Ainsi on peut arbitrairement imposer que la première occurence de $0$ arrive avant la première occurence de $-$, et multiplier par $2$ le nombre de solutions.

        Ainsi avec toutes ces contraintes les mots acceptables ne peuvent commencer que par :
        $+,+,0,+$
        $+,+,0,0$
        $+,0,+,+$
        $+,0,+,0$
        $+,0,0,+$
        $+,0,0,-$

        Si on trouve $n$ mots acceptables, le nombre total de solutions est alors $12 \times 6 \times 24 \times 24 \times 2 \times n = 82944n$.

        Maintenant j’aimerais trouver un moyen de calculer $n$ sans énumérer explicitement tous les mots acceptables...

        Répondre à ce message
  • Février 2020, 1er défi

    le 7 février à 09:35, par Gérard JONEAUX

    Une solution est de prendre deux chiffres consécutifs et sauter les deux suivants
    1 2 . . 5 6 . . 9 10 . . 3 4 . . 7 8 . . 11 12
    C’est très peu mathématique comme solution, je l’avoue....

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  • Février 2020, 1er défi

    le 3 mars à 17:36, par Sebaoun Alain

    Voilà une question amusante !
    Prenons cette horloge, modifions de façon aléatoire les « heures » et regardons combien
    de triplets « consécutifs » ont une somme divisible par 3.
    La question initiale demande des exemples de permutations des heures donnant aucun triplet consécutifs dont la somme est divisible par 3.

    Si on appelle R(n) le nombre de permutations des heures ayant exactement n triplets consécutifs de somme divisible par 3, alors un petit programme « PYTHON » fournit les résultats suivants :

    R(0) = 1990656
    R(1) = 14929920
    R(2) = 45287424
    R(3) = 98205696
    R(4) = 138101760
    R(5) = 93560832
    R(6) = 59719680
    R(7) = 13934592
    R(8) = 11695104
    R(9) = 0
    R(10) = 1492992
    R(11) = 0
    R(12) = 82944

    On a alors la réponse à la question !
    Il y a exactement 1 990 656 façons de réordonner les heures d’une horloge de telle sorte que la somme de trois nombres consécutifs ne soit jamais un multiple de 3 !

    Bien sûr !!! la liste est un peu longue pour être mise ici !

    On notera que le R(12) = 82944 .... est un peu prévisible !
    et que l’on a R(n) divisible par R(12) pour tout n.

    Autre curiosité prévisible ! R(9) et R(11) sont nuls.

    Voilà ..... Etape suivante .....
    Passer à une horloge à « N » heures et et faire des sommes de k-uplets consécutifs pour k diviseur de N ....

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