Un défi par semaine

Février 2020, 4e défi

Le 28 février 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 9

Sachant que $ABCDE$ est un pentagone régulier et que $DFGE$ est un carré, combien mesure l’angle $\widehat{GAE}$ ?

Solution du 3e défi de février :

Enoncé

Les inscriptions des deux derniers coffres disent exactement la même chose, donc elles ne peuvent pas être toutes les deux fausses. On en déduit qu’elles sont vraies, et que la première est fausse.

On apprend ainsi que le trésor n’est ni dans le premier, ni dans le deuxième coffre. Il est donc dans le troisième.

La solution est dans le troisième coffre.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2020, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - KFIFA / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Février 2020, 4e défi

    le 28 février à 07:49, par Al_louarn

    Dans le pentagone régulier, on a $EA=ED$.
    Dans le carré on a $ED=EG$.
    Donc $EA=EG$, le triangle $AEG$ est isocèle en $E$, d’où $\widehat{GAE} = \widehat{EGA}$.
    Comme la somme des angles du triangle $AEG$ est $\pi$, on peut écrire
    $2\widehat{GAE} + \widehat{AEG} = \pi$, soit $\widehat{GAE} = \dfrac{\pi - \widehat{AEG}}{2}$
    En sommant les angles autour du point $E$ on doit obtenir $2\pi$, donc si $O$ est le centre du pentagone, on a
    $\widehat{AEG} + \widehat{AEO} + \widehat{OED} + \widehat{DEG} = 2\pi$
    Mais dans le pentagone régulier on a $\widehat{AEO} + \widehat{OED} = 2 \times \dfrac{2\pi}{5}$, et dans le carré on a
    $\widehat{DEG} = \dfrac{\pi}{2}$.
    Ce qui nous donne :
    $\widehat{AEG} + \dfrac{4\pi}{5} + \dfrac{\pi}{2} = 2\pi$
    $\pi - \widehat{AEG} = \dfrac{4\pi}{5} + \dfrac{\pi}{2} - \pi = \dfrac{3\pi}{10}$
    $\widehat{GAE}=\dfrac{3\pi}{20}$

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    • Février 2020, 4e défi

      le 28 février à 07:56, par Al_louarn

      $\dfrac{3\pi}{20}$ radians $=27°$

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    • Février 2020, 4e défi

      le 28 février à 07:59, par Blaxapate

      Les angles intérieurs du pentagone sont bel et bien de 72° (ou $\tfrac{2\pi}{5}$), mais pas les angles extérieurs.

      En fin de compte la réponse est 9° (ou $\tfrac{\pi}{20}$).

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      • Février 2020, 4e défi

        le 28 février à 21:43, par Al_louarn

        Eh oui bien sûr, les triangles du pentagone sont isocèles mais pas équilatéraux, sinon ce serait un pentagone à six côtés... Après correction je trouve effectivement $9°$.

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  • Février 2020, 4e défi

    le 28 février à 08:10, par Gérard JONEAUX

    Le triangle AEG est isocèle, l’angle G égal à 360 / 5 = 72°. Les angles A et G ont donc 9° chacun.

    Répondre à ce message
    • Février 2020, 4e défi

      le 28 février à 18:43, par Blaxapate

      Le résultat est bon, en revanche je ne suis pas sûr de suivre votre raisonnememt. Quel est l’angle que vous mesurez à 72° ?

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      • Février 2020, 4e défi

        le 29 février à 09:46, par Gérard JONEAUX

        C"est l’angle E. Quand on se rend de D à A en passant par E, on tourne de 72°. Ajoutons lui les 90° que j’avais oubliés ! Merci.

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  • Février 2020, 4e défi

    le 29 février à 16:09, par ROUX

    Dans le pentagone régulier, les cinq angles au centre valent chacun 72° car 72*5=360.
    Donc, les deux autres angles de chacun des cinq triangles isocèles valent (180-72)/2=54°.
    Si je fais un tour complet autour de E en partant de (EG), je rencontre les angles 90°+54+54+AEG=360° ou AEG=162°.
    Le triangle AEG est isoscèle puisque [AE]=[ED]=[EG] alors EAG=(180-162/2=18/2=9°
    AEG=9°

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  • Février 2020, 4e défi

    le 2 mars à 11:41, par Sebaoun Alain

    On appelle O le centre du pentagone. Le triangle DOE est isocèle en O en l’angle DOE vaut 2pi/5.

    Donc les angles EOD et ODE valent (pi-2pi/5)/2 = 3pi/10.

    Donc l’angle DEA vaut 3pi/5

    D’où l’angle AEG vaut (2pi - pi/2 - 3pi/5) = 9pi/10

    D’où, comme le triangle AEG est isocèle en E, on a :

    Angle (GEA) = (pi - 9pi/10)/2 = pi/20.

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  • Février 2020, 4e défi

    le 6 mars à 13:10, par zahlen

    Dans la correction pour le calcul de la somme des angles intérieurs du Pentagone je ne comprend pas (5-2) x180°.pourquoi (5-2) ?

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