Un défi par semaine

Février 2021, 1er défi

Le 5 février 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 6

Placer les nombres de $1$ à $16$ de façon à ce que la somme de chaque côté des carrés et la somme des quatre sommets de chaque carré soient égales à $34$.

PNG - 20.7 ko

Solution du 5e défi de janvier :

Enoncé

Réponse : $1$ couple.

Si $p=q=2$, alors $p^q+1=5$ est un nombre premier. Ce couple $(p,q)$ convient donc.

Si $p=2$ et $q$ est impair, on a l’égalité
$2^q+1 = (2+1)(2^{q-1}-2^{q-2}+\dots -2+1)$.
Mais
$q\ge3$, donc $2^q+1\ge9$ et $(2^{q-1}-2^{q-2}+\dots -2+1)$ est nécessairement strictement supérieur à $1$ : le nombre $2^q+1$ n’est donc pas premier et il n’existe alors aucun couple de nombres premiers de la forme $(2,q)$ vérifiant la condition souhaitée.

Si $p$ est impair, alors $p^q+1$ est un nombre pair strictement supérieur à $2$ et n’est donc pas premier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2021, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Février 2021, 1er défi

    le 5 février à 08:45, par Al_louarn

    $1,11,2,12,10,6,14,3,15,4,13,7,8,9,5,16$
    $1+10+15+8=34$
    $2+10+14+13=34$
    $1+11+12+10=34$
    $10+6+3+15=34$
    $15+4+7+8=34$
    $8+9+16+1=34$

    Répondre à ce message
  • Février 2021, 1er défi

    le 5 février à 08:47, par Al_louarn

    oups pour les coins du second carré on a :
    $2+14+13+5=34$

    Répondre à ce message
    • Février 2021, 1er défi

      le 5 février à 09:04, par Al_louarn

      Et je note que si on additionne les côtés opposés d’un carré, et qu’on retranche les sommets on obtient :
      $12+6+7+9=34$
      $16+11+3+4=34$
      $11+12+4+7=34$
      $6+3+9+16=34$

      Répondre à ce message
  • Février 2021, 1er défi

    le 9 février à 11:34, par Eduardo

    Je propose une solution qui tente de reprendre le visuel du problème !

    Document joint : capture_d_ecran_2021-02-09_a_11.32.51_am.png
    Répondre à ce message

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