Un défi par semaine

Février 2021, 2e défi

Le 12 février 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 7

De combien de manières peut-on écrire $273$ comme somme de trois entiers positifs de la forme $a$, $ar$ et $ar^2$, où $r$ est un entier positif ?

Solution du 1er défi de février :

Enoncé

Réponse : Voici une possibilité.

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Sur la ligne entre $10$ et $15$,

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on peut voir que pour arriver à $34$, il nous manque $34-(10\,+\,15)=9$, et $9$ peut s’obtenir avec les couples $(8,1)$, $(7,2)$, $(6,3)$ et $(5,4)$.

On peut éliminer les deux premières possibilités car le $8$ et le $2$ sont déjà utilisés, donc il nous reste les deux dernières. Pour déterminer laquelle convient, regardons le reste de la figure.

Si l’on regarde la ligne où se trouvent le $15$ et le $8$, on voit que pour arriver à $34$, il nous manque $11$.

Ce nombre peut s’obtenir à l’aide des couples $(10,1)$, $(9,2)$, $(8,3)$, $(7,4)$ ou $(6,5)$.

Mais les trois premières possibilités peuvent être éliminées car le $10$, le $8$ et le $2$ ont déjà été utilisés, donc il nous reste $(7,4)$ ou $(6,5)$.

En revenant au cas précédent, on comprend alors qu’il faut qu’on utilise $(6,3)$, parce que si l’on choisit $(5,4)$, on ne pourra utiliser aucune des possibilités pour le dernier cas regardé.

Ainsi, $a_2=3$ et $a_4=6$ (ou vice versa), et $a_6=7$ et $a_8=4$ (ou vice versa).

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Supposons maintenant que $a_2=6$ et $a_4=3$. Alors, pour que la ligne qui contient le $13$ ait une somme de $34$, sachant qu’on a déjà $13+3=16$, il faudrait trouver deux nombres dont la somme vaut $18$.

Les options sont alors $(11,7)$ et $(14,4)$.

Avec la première option, on aurait $a_6=7$, $a_1=11$.

Alors $a_3$ devrait valoir $15$, mais ce nombre a déjà été utilisé. Ainsi, il faut utiliser le couple $(14,4)$, donc $a_6=4$ et $a_8=7$. Maintenant, on a :

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Déterminer les valeurs restantes est maintenant relativement facile. Il faut clairement que $a_3=12$ et, par conséquent, on trouve $a_5=11$.

Il ne nous reste plus que quatre valeurs, et on a $8+1+a_7+a_9=34$, soit $a_7+a_9=25$.

L’unique couple dont la somme fait $25$ et qui n’a pas encore été utilisé est $(16,9)$.

$a_9$ ne peut pas valoir $16$, sinon on aurait $13$, $16$ et $7$ sur un même segment, ce qui fait déjà $36$.

Ainsi, $a_9=9$, d’où $a_{10}=5$ et $a_7=16$. L’étoile peut donc se compléter ainsi :

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Il ne nous reste plus qu’à vérifier qu’avec cet arrangement, la somme des sommets des carrés vaut bien $34$. C’est bien le cas : \[13+5+2+14=10+15+8+1=34.\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Février 2021, 2e défi

    le 12 février à 10:16, par ROUX

    $273=a(1+r+r^2)$
    Il faut que $(1 + r + r^2)$ soit impair et donc que $(r + r^2)$ soit pair et donc que $r^2 + r + 2p = 0$
    Quand je résous cette équation du second degré, j’obtiens $7$ valeurs de $p$ donc $7$ valeurs de $(1 + r + r^2)$ donc $7$ manières d’écrire $273$.

    Document joint : a_fois_parenthese_1_plus_r_plus_r_carre_parenthese.pdf
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    • Février 2021, 2e défi

      le 12 février à 17:43, par olivier

      Bonjour « Roux »,
      Une remarque :
      Quel que soit l’entier r, r + r^2 est toujours pair.
      Cordialement
      Olivier

      Répondre à ce message
  • Février 2021, 2e défi

    le 12 février à 10:39, par Al_louarn

    $273=a(1+r+r^2)$ donc $1+r+r^2$ doit être un diviseur de $273$.
    Comme $273=3 \times 7 \times 13$, il a $2^3=8$ diviseurs.
    Il se trouve qu’ils peuvent tous s’écrire sous la forme $1+r+r^2$ avec $r \geq 0$, à l’exception de $3 \times 13 = 39$, qui est compris entre $1+5+5^2=31$ et $1+6+6^2=43$ :
    $1 = 1 + 0 + 0^2$
    $3 = 1 + 1 + 1^2$
    $7 = 1 + 2 + 2^2$
    $13 = 1 + 3 + 3^2$
    $3 \times 7 = 21 = 1 + 4 + 4^2$
    $7 \times 13 = 91 = 1 + 9 + 9^2$
    $3 \times 7 \times 13 =273 = 1 + 16 + 16^2$
    La réponse est donc $7$.

    Répondre à ce message
  • Février 2021, 2e défi

    le 12 février à 17:00, par PGBriis

    on peut ecrire 273 de trois façons différentes avec les couples (a,r) égaux à (1,16) ou (3,9) ou (13,4).

    Répondre à ce message
    • Février 2021, 2e défi

      le 12 février à 17:08, par PGBriis

      7 est evidement la reponse... :-(

      Répondre à ce message

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