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Un défi par semaine

Février 2021, 3e défi

Le 19 février 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

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De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 8

Combien existe-t-il de nombres à trois chiffres tels que tous les chiffres soient différents de zéro et que n’importe quelle permutation (changement de position) des chiffres forme un nombre à trois chiffres divisible par $4$ ?

Solution du 2e défi de février :

Enoncé

Réponse : $6$ manières.

On veut écrire $273=a+ar+ar^2=a(1+r+r^2)$.

On a une solution pour chaque diviseur de $273$ de la forme $1+r+r^2$ (puisque $a$ pourra être déterminé de manière unique en fonction du diviseur choisi).

Comme la factorisation en facteurs premiers de $273$ est $3\times 7\times 13$, il a huit diviseurs : $1$, $3$, $7$, $13$, $21$, $39$, $91$ et $273$.

Les premières valeurs de $1+r+r^2$ pour un entier positif $r$ sont $3$, $7$, $13$, $21$, $31$, $43$, $57$, $73$ et $91$, ce qui nous fait cinq solutions.

Si $1+r+r^2=273$ on trouve une solution pour $r=16$. Il y a ainsi six manières de faire.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Février 2021, 3e défi

le 19 février 2021 à 09:24, par Al_louarn

Soient $a$, $b$, $c$ les chiffres d’une solution $100a+10b+c$. Comme ce nombre est multiple de $4$, a fortiori il est pair et donc on peut écrire $c=2k$.
Mais pour que $100a +10c+b=100a+20k+b$ soit également multiple de $4$, il est nécessaire et suffisant que $b$ le soit aussi puisque $4$ divise $100$ et $20$.
Et pour conserver la propriété par permutation il en est de même pour $a$ et $c$.
Comme $0$ est exclu il n’y a que $2$ chiffres autorisés, $4$ et $8$, et donc $2^3=8$ solutions :
$444, 448, 484, 488, 844, 848, 884, 888$
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Février 2021, 3e défi

le 19 février 2021 à 14:18, par ROUX

C’est très joli !
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Solution du 2e défi de février

le 19 février 2021 à 11:19, par Celem Mene

En accord avec les solutions données sur cette page : http://images.math.cnrs.fr/Fevrier-2021-2e-defi.html, j’obtiens sept solutions au 2e défi de février, et non six, comme indiqué dans la solution, ci-dessus.

Je rappelle que la question était : « De combien de manières peut-on écrire 273 comme somme de trois entiers positifs de la forme a, ar et ar2, où r est un entier positif ? »

r = 0 et a = 273 n’a pas été inclus dans la réponse. Or il semble que 0 est généralement considéré comme un entier positif (même si pas ’strictement’ positif) (https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_positif#Z%C3%A9ro).

Et donc : 273 + 273 * 0 + 273 * 0² = 273.

Quelqu’un pourrait-il rectifier la réponse ou m’éclairer ?

Merci d’avance.
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Février 2021, 3e défi

le 19 février 2021 à 14:17, par ROUX

Critère de divisibilité par $4$ : que les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par $4$.
Soit un nombre dont le nombre des dizaines est $b$ et le nombre de unités est $a$.
$10.b+a=4.k$ ou $a=4.k-10.b$.
A quelles conditions $10.a+b=4.k'$ ?
$10.(4.k-10.b)+b=4.k'$ ou $40.k-100.b+b=4.k'$ ou $99.b=4.(10.k-k')$
$10.k$ et $k'$ jouent avec $99$ et $b$ joue avec $4$ : $b=4$ ou $b=8$.
Il en sera de même pour chacun des autres chiffres du nombre.
Donc tous les arrangements de paquets de $3$ nombres pris parmi $4$ et $8$ sont corrects.
Donc $2.2.2=8$.
Donc $8$ nombres.
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Février 2021, 3e défi

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