Un défi par semaine

Février 2021, 3e défi

Le 19 février 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

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De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 8

Combien existe-t-il de nombres à trois chiffres tels que tous les chiffres soient différents de zéro et que n’importe quelle permutation (changement de position) des chiffres forme un nombre à trois chiffres divisible par $4$ ?

Solution du 2e défi de février :

Enoncé

Réponse : $6$ manières.

On veut écrire $273=a+ar+ar^2=a(1+r+r^2)$.

On a une solution pour chaque diviseur de $273$ de la forme $1+r+r^2$ (puisque $a$ pourra être déterminé de manière unique en fonction du diviseur choisi).

Comme la factorisation en facteurs premiers de $273$ est $3\times 7\times 13$, il a huit diviseurs : $1$, $3$, $7$, $13$, $21$, $39$, $91$ et $273$.

Les premières valeurs de $1+r+r^2$ pour un entier positif $r$ sont $3$, $7$, $13$, $21$, $31$, $43$, $57$, $73$ et $91$, ce qui nous fait cinq solutions.

Si $1+r+r^2=273$ on trouve une solution pour $r=16$. Il y a ainsi six manières de faire.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2021, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Février 2021, 3e défi

    le 19 février à 09:24, par Al_louarn

    Soient $a$, $b$, $c$ les chiffres d’une solution $100a+10b+c$. Comme ce nombre est multiple de $4$, a fortiori il est pair et donc on peut écrire $c=2k$.
    Mais pour que $100a +10c+b=100a+20k+b$ soit également multiple de $4$, il est nécessaire et suffisant que $b$ le soit aussi puisque $4$ divise $100$ et $20$.
    Et pour conserver la propriété par permutation il en est de même pour $a$ et $c$.
    Comme $0$ est exclu il n’y a que $2$ chiffres autorisés, $4$ et $8$, et donc $2^3=8$ solutions :
    $444, 448, 484, 488, 844, 848, 884, 888$

    Répondre à ce message
  • Solution du 2e défi de février

    le 19 février à 11:19, par Celem Mene

    En accord avec les solutions données sur cette page : http://images.math.cnrs.fr/Fevrier-2021-2e-defi.html, j’obtiens sept solutions au 2e défi de février, et non six, comme indiqué dans la solution, ci-dessus.

    Je rappelle que la question était : « De combien de manières peut-on écrire 273 comme somme de trois entiers positifs de la forme a, ar et ar2, où r est un entier positif ? »

    r = 0 et a = 273 n’a pas été inclus dans la réponse. Or il semble que 0 est généralement considéré comme un entier positif (même si pas ’strictement’ positif) (https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_positif#Z%C3%A9ro).

    Et donc : 273 + 273 * 0 + 273 * 0² = 273.

    Quelqu’un pourrait-il rectifier la réponse ou m’éclairer ?

    Merci d’avance.

    Répondre à ce message
  • Février 2021, 3e défi

    le 19 février à 14:17, par ROUX

    Critère de divisibilité par $4$ : que les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par $4$.
    Soit un nombre dont le nombre des dizaines est $b$ et le nombre de unités est $a$.
    $10.b+a=4.k$ ou $a=4.k-10.b$.
    A quelles conditions $10.a+b=4.k'$ ?
    $10.(4.k-10.b)+b=4.k'$ ou $40.k-100.b+b=4.k'$ ou $99.b=4.(10.k-k')$
    $10.k$ et $k'$ jouent avec $99$ et $b$ joue avec $4$ : $b=4$ ou $b=8$.
    Il en sera de même pour chacun des autres chiffres du nombre.
    Donc tous les arrangements de paquets de $3$ nombres pris parmi $4$ et $8$ sont corrects.
    Donc $2.2.2=8$.
    Donc $8$ nombres.

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