Un défi par semaine

Février 2022, 4e défi

Le 25 février 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 8

De combien de manières peut-on placer d’affilée les chiffres de $1$ à $9$ de telle sorte
que les chiffres $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ apparaissent dans cet ordre, mais que les chiffres
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ n’apparaissent pas dans cet ordre ? (Une telle façon de faire est par exemple $129384567$.)

Solution du 3e défi de février 2022 :

Enoncé

Observons tout d’abord que, pour chaque colonne, si $m$ est le nombre du haut, alors $m+1011$ est le nombre du bas. On cherche alors le nombre de valeurs de $m$ telles que $m$ divise $m+1011$, c’est-à-dire, telles que $m$ divise $1011$.

Mais $1011 = 3\times 337$ ($337$ est premier ; on peut le voir en remarquant qu’aucun nombre premier inférieur à $\sqrt{337}\simeq18{,}4$ ne le divise, ainsi si $337$ était le produit de deux facteurs différents de $1$, ces deux facteurs seraient supérieurs à $19$ et le produit serait supérieur à $19^2=361>337$). Donc $1011$ possède $2\times 2 = 4$ diviseurs positifs.

Il y a ainsi quatre colonnes vérifiant la condition demandée, pour $m$ égal à $1$, $3$, $337$ et $1011$.

La solution est quatre colonnes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Février 2022, 4e défi

    le 22 février à 19:40, par Elrigo

    Les sept chiffres de 1 à 7 dans cet ordre laissent 8 positions possibles pour le chiffre 8 : avant le 1, intercalé entre deux chiffres ou après le 7.
    Ils forment alors une liste de huit chiffres qui laissent 9 positions possibles pour le chiffre 9.
    On obtient 8*9=72 combinaisons, desquelles il faut retirer la liste 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

    Total : 71 solutions.

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  • Février 2022, 4e défi

    le 26 février à 08:54, par jml83

    Il y a 8 « possibilités » d’intercaler les chiffres 8 et 9.
    Chacune des « possibilités » est en fait double car ces deux chiffres peuvent se suivre (exemple : 12 89 34567) donc 16 cases dans lesquelles on peut placer ces deux chiffres.
    Cela donne 2 * 16 * 15 = 480 cas possibles (2 * 16 correspond au placement du premier chiffre et 15 au placement du second).
    Comme une combinaison est interdite (123456789), il y a donc finalement 479 façons de placer les chiffres 8 et 9 en respectant les contraintes.

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    • Février 2022, 4e défi

      le 28 février à 11:00, par Al_louarn

      Je ne comprends pas votre raisonnement.
      On doit répartir les $9$ chiffres dans $9$ cases.

      • on commence par le $8$ : $9$ possibilités
      • ensuite le $9$ : $8$ possibilités
      • et pour finir on écrit les autres chiffres par ordre croissant dans les cases restantes : $1$ possibilité
        En retirant la combinaison interdite on arrive bien à $9 \times 8 - 1 = 71$, comme indiqué par Elrigo.
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      • Février 2022, 4e défi

        le 2 mars à 07:57, par jml83

        Effectivement, vous avez raison.
        J’ai fait un raisonnement en voulant placer deux cases entre deux chiffres autres que 8 et 9 mais c’est un peu tortueux car il faudrait ensuite prendre en compte le fait que certaines combinaisons vont être comptées plusieurs fois.

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