Février 2023, 1er défi

Le 3 février 2023 - Ecrit par Romain Joly Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Tous les premiers vendredis du mois, retrouvez « Le défi du mois » : un défi sans mathématique très complexe mais parfois éloigné du cadre scolaire. Il pourrait vous donner du fil à retordre...

Le calendrier mathématique 2023 s’intitule « Structurer le Monde ».

L’être humain a toujours cherché les symétries, les ressemblances et les structures dans la nature, la géométrie et les nombres. Vous découvrirez à travers 12 textes superbement illustrés la vision mathématique moderne de ces structures et de leurs applications, des pavages du palais de l’Alhambra aux collisions des accélérateurs de particules.

La calendrier est en vente ici ou chez votre libraire favori.

Semaine 5 : le Problème du mois :

Marie a invité $17$ amis à sa fête d’anniversaire.
Elle a attribué à chacun un nombre de $2$ à $18$, le $1$ étant pour elle.
Quand tout le monde danse, elle se rend compte que la somme des numéros dans chaque couple est un carré parfait. Quel est le numéro du partenaire de Marie ?

Solution du 4e défi de janvier 2023 :

Enoncé

Réponse : 11 et 13.

On a $2+9=11$ et $2^2+9=4+9=13$. On va montrer que ce sont en fait les deux seuls nombres premiers qui ont cette forme.

À part pour les deux cas précédents, on a $2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}}=2^{2^{m}}$, où $m$ est pair.

Supposons que $m=2k$, avec $k>0$. Alors on a
\[2^{2^{m}}=2^{2^{2k}}=2^{2^{2}(2^{2k-2})}=(2^{2^{2}})^{2^{2k-2}}=(2^4)^{2^{2k-2}}=16^{2^{2k-2}}.\]

Comme le chiffre des unités de $16^a$ est un $6$ pour tout entier $a\geq 1$, on en déduit que $2^{2^{m}}=16^{2^{2k-2}}$ se termine par un $6$, et donc que $2^{2^{m}}+9$ se termine par un $5$. Puisque $2^{2^{m}}+9>5$, il suit que $2^{2^{m}}+9$ n’est jamais un nombre premier. Ainsi, $11$ et $13$ sont les seuls nombres de cette forme à être premiers.

Post-scriptum :

Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.

Commentaire sur l'article

Février 2023, 1er défi

le 3 février à 09:10, par Kamakor

L’invité 18 ne peut danser qu’avec l’invité 7. Ainsi le 2 danse nécessairement avec le14, le 11 avec le 5, le 4 avec le 12, le 13 avec le 3, le 6 avec le 10 et le 15 avec Marie ( le 1).
Document joint : graphe_appariement.png
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Février 2023, 1er défi

le 3 février à 13:41, par claude

Le 15
Il y a 9 couples dont la somme des n° ne peut être que : 4, 9, 16 ou 25.
Le 18 ne peut aller qu’avec le 7
Le 17 ne peut aller qu’avec le 8
Le 16 ne peut aller qu’avec le 9,
Ensuite vient le 15 avec le 1,
Le 14 avec le 2
Le 13 avec le 3
Le 12 avec le 4
Le 11 avec le 5
Le 10 avec le 6
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L'auteur

Romain Joly

Maître de conférences à l’Institut Fourier de Grenoble.

Un défi par semaine

Février 2023, 1er défi

Solution du 4e défi de janvier 2023 :

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