Un défi par semaine

Février, 2ème défi

Le 14 février 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 7 :

Parmi les sept nombres suivants : $-9, 0, -5, 5, -4, -1, -3$, on en a choisi six et on les a regroupés par couples de telle façon que la somme des nombres de chaque couple soit la même. Quel est le nombre
qui n’a pas été choisi ?

Solution du 1er défi de février

Enoncé

La réponse est deux diviseurs positifs.

Les nombres qui ont
exactement
deux diviseurs positifs sont les nombres premiers, et les nombres qui ont trois diviseurs sont
les carrés d’un nombre premier. Ainsi $n$ est un nombre premier et $n+1$ est un carré
parfait : $n+1=p^2$ avec $p$ un nombre premier. Donc,
$n=p^2-1= (p+1)(p-1)$. Comme $n$ est premier, ses diviseurs sont 1 et lui
même, c’est-à-dire, $p-1=1$ d’où $p=2$. Alors, $n=3$, $n+1=4$ et $n+2=5$ qui a exactement deux diviseurs positifs.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les courbes de Jordan, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Février, 2ème défi

    le 14 février 2014 à 08:44, par Daniate

    Je viens de résoudre le problème, mais je ne veux priver personne du plaisir de la recherche. Je précise toutefois qu’il est possible de trouver la réponse par un raisonnement qui ne nécessite pas d’effectuer le regroupement en 3 couples.

    Répondre à ce message
    • Février, 2ème défi

      le 14 février 2014 à 16:53, par ROUX

      C’est avec plaisir que je vous lirai car si j’ai obtenu la réponse, c’est à l’aide d’une inélégante table d’addition...

      Or, c’est bel et bien élégante que sera votre solution, indubitablement.

      Répondre à ce message
  • Février, 2ème défi

    le 20 février 2014 à 22:38, par Groten

    Bonjour à vous, je propose une solution ne se basant pas que sur le calcul des sommes possibles.
    Je suis tout d’abord parti de l’observation qu’il y a 2 nombres pairs, et 5 nombres impairs. De cela, je peux tirer que le nombre à retirer est forcément impair, en effet, dans le cas contraire, nous aurons 2 couples formés que de nombres impairs, et un couple formé d’un nombre pair et d’un nombre impair, et donc, ne pourraient avoir une somme égale.
    A ce point, j’ai donc la certitude que 0 et -4 appartiennent à l’ensemble de mes nombres choisis.
    On peut ensuite montrer que 0 et -4 doivent être regroupés ensemble, en effet, dans le cas contraire nous aurions une configuration comme suit : (0,i),(-4,i),(i,i)
    où i représente un nombre impaire.
    Or nous ne sommes pas sans savoir que pair+impair=impair et que impair+impair=pair, ce qui montre qu’il va y avoir là aussi un problème, ainsi, je sais que l’un de mes couples est (0,-4), on en déduit ainsi facilement les 2 autres.
    Voilà, j’espère que ma « solution » est correcte. (Je trouve donc qu’il faut enlever -5).

    Répondre à ce message
  • Février, 2ème défi

    le 21 mars 2014 à 23:45, par François Gramain

    La solution des carabiniers (qui arrivent toujours trop tard...) :
    La somme des sommes (égales) des 3 couples est un multiple de 3. La somme des 7 nombres est -17 ; si on lui retranche le nombre qui n’a pas été choisi on doit donc obtenir un multiple de 3. Comme -17 n’est pas multiple de 3, le nombre exclu n’est pas -9, ni 0, ni -3. Comme -17 + 5 = -12 est multiple de 3, le nombre -5 pourrait convenir, mais donc pas -4, ni -1 (qui ne diffèrent pas de -5 d’un multiple de 3). La seule possibilité est donc d’omettre -5. Il y a donc au plus une solution, et si l’énoncé est juste (et il serait malséant de le contester) c’est effectivement une solution.

    Répondre à ce message

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