Un défi par semaine

Février, 4ème défi

Le 28 février 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 9 :

Soit $p=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots$ le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $2014$ et $q=3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\ldots$ le produit de tous les nombres impairs inférieurs ou
égaux à $2013$. Quel est le chiffre des dizaines du produit $pq$ ?

Solution du 3ème défi de février

Enoncé

La réponse est $120^\circ$.

Supposons que les arêtes du cube mesurent $2$. Observons d’abord
qu’en utilisant le théorème de
Pythagore dans le
triangle $LAM$ on obtient $LM=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$. Soit $O$ le milieu de l’arête du cube, comme le montre la figure. On a alors $LM=MN=LO=\sqrt{2}$, et $NOL$ est un triangle rectangle avec un angle
droit en $O$. Utilisant le théorème de Pythagore une deuxième
fois, on a $NL=\sqrt{LO^2+NO^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt 6$.

PNG - 20.8 ko

Donc, le triangle $LMN$ est tel que $LM=MN=\sqrt{2}$ et $NL=\sqrt{6}$. Soit $x$ la mesure de l’angle $LMN$. Utilisant la loi des cosinus on a alors

$NL^2 = LM^2+MN^2-2LM\cdot MN \cos x$

$6 = 2+2-2(\sqrt 2)(\sqrt 2) \cos x$

$2 = -4\cos x$

$\cos x = -\frac{1}{2}.$

Si on examine le triangle équilatéral, on peut voir que $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, donc $\cos x=-\cos 60^\circ=\cos 120^\circ$. Par conséquent, l’angle $LMN$ mesure $120^\circ$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les courbes de Jordan, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Février, 4ème défi

    le 28 février 2014 à 09:58, par Daniate

    La réponse est 5, mais, encore une fois, je ne veux priver personne du plaisir de la recherche.

    Répondre à ce message
  • Février, 4ème défi

    le 28 février 2014 à 17:20, par jokemath

    Tout à fait d’accord avec Daniate, la recherche est franchement rapide.

    Dans q, on fait un produit de nombres impairs dont 5, donc le résultat se termine par 5 et dans p, on « rajoute » le produit par 2, donc le résultat se termine par 50, 5 fois 50 se termine donc par 50. C’est à dire que le chiffre des dizaines du produit pq est 5.

    Répondre à ce message
    • Février, 4ème défi

      le 28 février 2014 à 18:39, par Daniate

      Désolé de vous contredire. Le produit p contient un seul facteur 2 et un seul facteur 5, les autres étant premiers ne sont multiples ni de l’un ni de l’autre, p n’est donc multiple que de 10 pas de 50. Il convient de faire un calcul plus précis pour arriver au résultat.

      Répondre à ce message
  • Février, 4ème défi

    le 28 février 2014 à 23:16, par jokemath

    En effet, il est faux de dire que p se termine par 50, en fait p se termine par un multiple impair de 10, puisque p est constitué du produit de 2 par 5 par des impairs ( 2 étant le seul nombre premier qui soit pair), et donc son produit par q se terminant par 5 donne un nombre se terminant par 50.

    Donc mon raisonnement était erroné.

    Répondre à ce message

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