Fléchettes et cerfs-volants dans le ciel mathématique

Piste verte Le 16 novembre 2010  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires

L’été... une période propice au bricolage, n’est-ce pas ? Eh bien, peut-être que sans le savoir, certains d’entre vous ont fait plus de mathématiques qu’il n’y paraît... Avis aux amateurs de carrelage...

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L’Alhambra ! L’Alhambra ! Palais que les génies
Ont doré comme un rêve et rempli d’harmonies,
Forteresse aux créneaux festonnés et croulants
Où l’on entend la nuit de magiques syllabes
Quand la lune, à travers les mille arceaux arabes,
Sème les murs de trèfle blanc.

Victor Hugo (Extrait de « Les Orientales » XXXI (Grenade) du Livre III)

L’Alhambra de Grenade est un des monuments majeurs de l’architecture islamique, témoin de la présence musulmane en Espagne du VIIIe au XVe siècle. Dans les motifs décoratifs qui ornent les faïences au sein de l’Alhambra, se cachent des régularités basées sur des motifs géométriques selon un art qui fut perfectionné et élevé à un niveau de complexité et de développement jamais connu auparavant. Il existe 17 types de pavages périodiques du plan et on trouve des exemples de presque tous ces pavages sur les murs de l’Alhambra.

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Dans cet article, je voudrais faire la publicité pour un DVD et un film.

Le DVD d’Atractor

L’une des nombreuses contributions du mathématicien William Thurston à la topologie est la théorie des orbifolds [1] qui fournit entre autres une très belle et très élégante façon de comprendre pourquoi il n’y a que 17 pavages périodiques du plan. Si le sujet des symétries et des orbifolds vous intéresse, voici déjà quelques explications (en anglais). Mais je voudrais surtout vous présenter le travail de l’équipe d’Atractor qui a réalisé un chouette DVD afin de se familiariser avec les idées de cette théorie des orbifolds.

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Plus précisément, le DVD contient un logiciel assez simple d’utilisation avec lequel vous pourrez :

  • apprendre et jouer avec les différents éléments qui composent un orbifold ;
  • pour chaque orbifold, une petite animation permet de comprendre la façon dont l’orbifold tamponne la frise ou le pavage ;
  • pour chaque pavage, une petite animation montre comment obtenir l’orbifold à partir du pavage.

Bref, il y a décidément beaucoup de choses sur ce DVD avec lequel on peut s’amuser pendant des heures. Je vous le recommande vivement. Pour vous le procurer, c’est par ici.

Un film autour des pavages de Penrose

Il a déjà été question de pavages dans plusieurs articles parus sur ce site. Pour vous rafraîchir la mémoire, selon que votre humeur du jour est plutôt :

Les 17 pavages périodiques du plan étaient connus de longue date quand le mathématicien et physicien britannique Roger Penrose découvrit des pavages non périodiques très simples (le premier tel pavage fut construit par Robert Berger en 1966 et comportait 20426 tuiles). Son intention n’était pas d’ouvrir un nouveau champ des mathématiques et de la physique mais seulement de créer un divertissement mathématique. En 1974, il publia un article présentant un pavage du plan à l’aide de pentagones, de losanges, de pentagrammes et de portions de pentagrammes. [2]

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Maurizio Paolini et Alessandro Musesti, professeurs de mathématiques au département de mathématiques et de physique Niccolo Tartaglia de l’université catholique de Brescia, viennent de terminer la réalisation d’un petit film remarquable d’une quinzaine de minutes autour des pavages de Penrose. La page web de leur projet est ici. Le film est distribué sous une licence Creative Commons. En particulier, il est librement téléchargeable et tout le monde est bienvenu pour donner un coup de main, par exemple pour enregistrer les commentaires dans d’autres langues, faire des traductions des sous-titres ou encore de la page web [3].

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Les pavages de Penrose sont des pavages non périodiques mais contenant des régions qui se répètent toujours à l’identique. Dans ce film, l’accent est mis sur le pavage fléchettes-cerfs-volants. Bien sûr, les auteurs commencent par nous expliquer ce que sont les pavages périodiques avant d’introduire des contraintes entre pavés adjacents. Il est ensuite temps de faire connaissance avec les triangles d’or ainsi que leurs subdivisions. On est alors prêt pour découvrir les pavages de Penrose avant de terminer avec quelques variantes artistiques : au lieu de prendre des pavés blancs ou noirs, pourquoi ne pas prendre des oiseaux ou des reptiles à la manière d’Escher bien sûr. Les musiques du film, elles aussi très bien choisies, sont extraites de l’album Ambient Symphony du zero-project. Vraiment, ce film est une très belle réussite. Bravo !

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Les pavages de Penrose, un joli divertissement pour mathématiciens ? Oui mais pas seulement. En 1984, des matériaux présentant une structure fortement ordonnée comme celle des cristaux mais non périodique ont été découverts : les quasi-cristaux. Ces derniers ont de très bonnes qualités d’isolant thermique et électrique bien que ce soient des alliages métalliques. Ils sont extrêmement durs, ce qui leur confère d’excellentes qualités tribologiques, c’est-à-dire d’usure aux frottements. Et les pavages non périodiques, en particulier ceux de Penrose, s’avèrent un très bon modèle de ces étranges matériaux.

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Motivé par les propriétés électromagnétiques et macroscopiques de ces solides, Jean Bellissard étudia dans les années 1980-1990 le mouvement d’un électron dans un quasi-cristal. Tout ceci est assez délicat à décrire mathématiquement et il en sort des problèmes difficiles, l’un d’eux étant connu sous le nom de gap-labelling [4]. Toute une école s’intéresse à ces questions dites de topologie non commutative. D’autres pavages plus généraux ont été découverts dans les années 1990 par Conway et Radin : les fameux pavages de type pinwheel. Et si l’été prochain, vous refaisiez votre salle de bains en la carrelant pinwheel ? Chiche ??!!

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Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs suivants : Emmanuel Beffara, Nicolas Chatal, François Gramain et Barbara Schapira.

Notes

[1Orbifold... ça ne sonne pas très joli en français mais j’ai bien peur que cette terminologie soit de plus en plus
utilisée et acceptée par les mathématiciens francophones...

[2Penrose, Bull. Inst. Maths. Appl. 10 (1974) 266.

[3À vrai dire, une version française des commentaires serait vraiment la bienvenue... À bon entendeur...

[4Là encore, ce n’est pas très joli ce nom...

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Fléchettes et cerfs-volants dans le ciel mathématique» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

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