Fonctionnement des fonctions

Le 4 juin 2009  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (1)

Les définitions
modernes de la notion de fonction, fruits d’une longue période
de critique des
fondements logiques des mathématiques, passent par la théorie des
ensembles. On dit que l’on a une fonction d’un
ensemble-source vers un ensemble-but si on associe à chaque
élément de la source un unique élément du but.

Lorsqu’elle est accompagnée de nombreux exemples concrets (la
fonction qui associe à chaque point de la Terre sa température,
celle qui associe à chaque personne sa taille, celle encore qui associe
à chaque position de l’aiguille des heures, la
position correspondante de l’aiguille des minutes, etc.) ceci
constitue une bonne définition.
Mais du flou persiste du point de vue logique : que signifie « un ensemble » ou quelles sont les manières d’« associer » ? De nombreux efforts ont été faits pour éclaircir ces points, et la notion de fonction s’est vue par conséquent
définie de manière parfois très compliquée.

Se pose alors la question de savoir comment
reconnaître si une définition est
correcte. Non pas du point de vue logique (on ne se demande donc pas
si elle est non-contradictoire), mais du point de
vue sémantique : le concept défini signifie-t-il bien ce que l’on
attend de lui ? Englobe-t-il les exemples les
plus élémentaires que l’on a envie d’appeler de ce nom ? Entre autres,
on est amené à s’interroger sur ce que l’on a eu d’abord
envie d’appeler de cette manière.

À la page FVR III.62 des notices
historiques du volume « Fonctions d’une variable réelle » de
Bourbaki, on apprend qu’en 1698, Johann Bernoulli se met d’accord avec
Leibniz pour donner à « une quantité formée d’une manière
quelconque à partir de $x$ et de constantes
 » le nom de
« fonction de $x$ ». À la même page, on apprend que Leibniz
utilisait ce terme bien avant dans un sens un peu différent, mais
plus proche de l’usage commun, relié au nom « fonctionnaire » et au
verbe « fonctionner » :

[...] déjà dans un manuscrit de 1673, Leibniz avait employé
ce mot comme abréviation pour désigner une grandeur
remplissant telle ou telle fonction auprès d’une courbe,
par exemple la longueur de la tangente ou de la normale (limitée
à la courbe et à $Ox$), ou bien la sous-normale, la
sous-tangente, etc. [...]

Que s’est-il passé entre 1673 et 1698 pour que l’on assiste à ce glissement
de la géométrie vers les expressions en une variable ?
Apparemment, le problème
central était celui de
calculer des fonctions, que leur origine soit géométrique ou non.
L’on a mis
l’accent sur le résultat du calcul, exprimé à l’aide d’une
formule en la variable. Il y avait probablement de manière implicite la
croyance que l’on obtient ainsi la même extension du concept,
c’est-à-dire que les fonctions définies
géométriquement sont les mêmes que celles représentées par
des formules. Croyance qui ressemble à celle que
l’on peut avoir en la possibilité de représenter tout aspect du
monde à l’aide du langage. Mais cette dernière croyance entre
en conflit avec le sentiment de l’existence des
mystères, des aspects de la réalité
indescriptibles verbalement.

Ce qui est intéressant lorsque l’on considère le problème
analogue de la représentabilité des fonctions par des expressions
emboitant diverses opérations élémentaires, c’est que l’on peut
démontrer des théorèmes affirmant que certains objets que l’on a
très fortement envie d’appeler « fonctions » ne sont pas exprimables
à l’aide d’un nombre fini d’opérations
élémentaires (on pourra penser aux théories de Galois et de Gödel).
Probablement que le souci de faire néanmoins
coïncider les deux définitions a poussé à répéter les
opérations à l’infini, ce qui a donné naissance à
l’analyse. Par exemple, la fonction $\sin x$ ne s’exprime pas
algébriquement en termes de la variable $x$, c’est-à-dire en
empilant des extractions de racines d’équations polynomiales (sinon elle
aurait un nombre fini de zéros), mais on peut l’exprimer en
emboitant une infinité d’opérations arithmétiques :
\[\sin x = x \prod_{n=1}^{\infty} (1- \frac{x^2}{n^2 \pi^2}). \]

L’exemple le plus simple de fonction algébrique qui ne soit pas
obtenue en emboitant les opérations de l’arithmétique est $\sqrt{x}$.
La raison profonde est que cette expression désigne en fait une
fonction multivaluée, c’est-à-dire prenant plusieurs
valeurs pour certaines
valeurs de la variable, par opposition aux fonctions dont on parlait
précédemment, qualifiées à présent d’univaluées. En effet,
$x$ étant donné, il y a en général deux nombres (réels ou
complexes) dont le carré vaut $x$. La volonté d’exprimer les fonctions
par des formules pousse donc à réinterpréter la notion de fonction,
en ouvrant la porte aux fonctions multivaluées .

Que faire si, par exemple, parce que certaines opérations avec les
fonctions multivaluées sont problématiques, on veut éviter ces fonctions ?
Vers 1850, Bernhard Riemann a eu la très belle idée
que toute fonction
multivaluée peut être pensée comme une fonction
univaluée, si on lui associe
un nouvel ensemble-source, qui lui est intimement
attaché : il a décrit cela pour les
fonctions d’une variable complexe, le nouvel ensemble étant depuis
appelé la surface de Riemann de la fonction
multivaluée. En simplifiant, et en sacrifiant le langage imagé de
Riemann, cela consiste à prendre comme nouvel ensemble-source le
graphe de la fonction multivaluée dans le produit
cartésien
de la source et du but.

Voici ce qu’écrivit René Thom au sujet de ce
mouvement de la pensée,
qui ramène la description mathématique d’un phénomène
à des fonctions
univaluées (page 12 du supplément au no. 103 de décembre 2004
de la Gazette des Mathématiciens, consacré à René Thom) :

Pour en revenir à la notion de fonction, qu’est-ce qui
en fait l’intérêt essentiel d’un point de vue philosophique ? Eh
bien, la nature telle qu’elle se présente à nous est toujours un
mélange de déterminisme et d’indéterminisme. Il y a toujours un
aspect déterminé et un aspect indéterminé dans les
choses. L’intérêt essentiel de la notion de fonction est de
séparer brutalement ces deux aspects en mettant l’aspect
indéterminé dans ce qu’on appelle la variable et l’aspect
déterminé dans la correspondance qui fait passer de la valeur de
la variable, la valeur de l’argument $x$, à la valeur de la fonction
$y$. On a donc poussé à l’extrême cette opposition
déterminisme/indéterminisme en mettant tout l’indéterminisme
dans une variable qui est parfaitement arbitraire, excepté qu’elle
doit varier dans un espace, et en rigidifiant au contraire de
manière stricte la loi qui fait passer de $x$ à $y$.

Notre interprétation de la notion de fonction oscille donc entre celle
de fonction univaluée et celle de fonction multivaluée, entre autres sous la pression du besoin d’avoir une description aussi déterministe que possible du monde. Sous la pression d’autres besoins qu’il serait très intéressant d’expliciter,
elle oscille aussi entre la notion d’expression (ou formule) et celle de sous-espace d’un espace produit, ou entre celle d’être diffus vivant sur l’espace source et celle
de point dans un « espace fonctionnel qui peut être donné a priori, et à
partir duquel va naître l’espace source comme une apparition (ce
que les mathématiciens appellent un spectre).

Cette possibilité d’osciller entre les interprétations est le signe que
l’on se trouve face à une notion très riche, située à un carrefour de
la pensée.
Afin de s’entendre lorsque l’on parle de telles notions, et de saisir
plus profondément leur fonctionnement, il ne suffit pas de les
définir, il faut en outre attentivement expliquer de quelle manière on
y pense, et à quels moments-charnières d’un raisonnement se produisent
les basculements d’interprétation.

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Fonctionnement des fonctions» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Fonctionnement des fonctions

    le 5 juin 2009 à 15:38, par Pierre de la Harpe

    A propos de ``la possibilité de représenter
    tout aspect du monde à l’aide du langage’’
    et du ``sentiment de l’existence des mystères,
    des aspects de la réalité indescriptibles verbalement’’,
    j’aimerais apporter ici une citation de
    Felix Mendelssohn.

    Ce que me dit la musique que j’aime,
    ce ne sont pas des pensées trop vagues
    pour être saisies par la parole,
    mais au contraire trop précises pour cela.

    J’ai lu cette phrase en page 4 du livre
    de Francois Bovey, L’écoute harmonique subjective,
    Van de Velde, 2005.

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