Formas y fórmulas

Le 3 juin 2016  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 10 avril 2019  - Traduit par  Julie Levrault
Article original : Formes et formules Voir les commentaires
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Las palabras ’’formas’’ y ’’fórmulas’’ no solo son cercanas fonética o etimológicamente. En Lisboa, una exposición invitó a los curiosos a descubrir otros aspectos de esta proximidad.

Durante el 2016, el Museu Nacional de História Natural e da Ciência de Lisboa propuso una exposición titulada Formas & Fórmulas.

Su objetivo era hacer descubrir figuras un poco extrañas que se esconden detrás de las fórmulas matemáticas. Personalmente, me permitió ver por primera vez una galería de impresiones tridimensionales de superficies cúbicas reales :

Decir que estas superficies son cúbicas reales significa que están constituidas por los puntos del espacio tridimensional usual cuyas coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ respecto a un sistema referencial fijo satisfacen una ecuación polinomial de grado tres. Por ejemplo :
\[ x^3 - x^2 y + yz^2 - 2xyz + 3 xy - z^2 + x - 5 y + 3 z =0.\]

Elegí estos términos al azar, así que me soprendería que la superficie asociada sea muy bonita. Para obtener las formas etéreas de la fotografía precedente, primero hubo que entender cuáles son todas las formas posibles de estas superficies cuando los coeficientes del polinomio cambian. Esto fue tema de mucha investigación durante el siglo XIX, hasta que Knörrer y Miller dieron una clasificación en 1987 [1].

Sin embargo, esta clasificación dependía de unos aspectos invisibles a simple vista. Era necesario entonces entender perfectamente la relación entre formas y fórmulas para los polinomios de grado tres, y así elegir precisamente en cada clase un polinomio que genere una forma particularmente bonita, y no tan frágil cuando sea fabricada. Esto es realmente un arte, en el cual Oliver Labs, el autor de esos modelos tridimensionales, es un experto [2].

La siguiente superficie corresponde a un polinomio de grado cuatro :

¿No les parece un poco rara ? Puede ser, pero eso depende mucho del punto de vista. Aquí hay otra, que permite también ver una ecuación polinomial que la define :

¿Pueden adivinar el grado de la ecuación polinomial que define la siguiente superficie ?

La respuesta se puede leer desde esta perspectiva :

Aquí, una superficie con muchos puntos singulares :

Es una séxtica, es decir, una superficie definida por un polinomio de grado $6$. Fue construida por Barth en 1996 y tiene 65 puntos singulares, si contamos también los que están al infinito [3]. En 1997, Jaffe y Ruberman demostraron que este es el número máximo de puntos singulares que puede contener una séxtica [4].

Sin embargo, para grados mayores, todavía no se conoce el número máximo de puntos singulares que puede contener una superficie de grado fijo [5]. En grado $7$, el récord actual está detenido por una superficie construida por Oliver Labs en 2004 [6]. Tiene $99$ puntos singulares, pero podría ser que existen superficies de grado $7$ con $100, 101, 102, 103$ o $104$ puntos singulares. ¡Problema abierto !


Las superficies anteriores estaban al final de la exposición. Al principio se hallaban las más antiguas curvas estudiadas por los matemáticos : las rectas y las circunferencias. Después había formas que pueden ser definidas por ecuaciones polinomiales de grado dos : las cónicas en el plano —las circunferencias son un caso particular, pero también están las elipses, parábolas, hipérbolas, pares de rectas— y las cuádricas del espacio.

En este punto podíamos descubrir el uso de todas estas curvas y superficies en arquitectura. También, jugando, uno podía acostumbrarse a algunas de sus propiedades. Por ejemplo, en el siguiente juego construido por Rui Abreu, se aprecia el hecho de que toda pelota que golpea una parábola en la dirección de su eje parte en dirección a su foco.

¿Le han gustado las fotografías ? Entonces puede ver más en el catálogo en línea de la exposición.

Post-scriptum :

Quiero agradecer a Anne Frühbis-Krüger por sus comentarios sobre una antigua versión de este artículo.

Notes

[1En el artículoTopologische Typen reeller kubischer Flächen, Math. Zeitschrift 195 (1987), 51-67.

[2Si quieren ver animaciones de superficies cúbicas, pueden ver este artículo de Étienne Ghys y Jos Leys.

[3El espacio tridimensional puede ser completado por un plano al infinito. Esto es el análogo del hecho de que el plano puede ser completado por una recta al infinito, como se explica en este artículo de Erwan Brugallé y Julien Marché, o en este de Christine Huyghe.

[4En el artículo A sextic surface cannot have 66 nodes. J. Algebraic Geom. 6 (1997), no. 1, 151–168.

[5Suponiendo que solo hay un número finito. Para todo grado mayor que $1$, hay superficies que son singulares a lo largo de curvas, por lo que tienen un número infinito de singularidades.

[6La podemos ver en esta galería del sitio Imaginary, que muestra superficies con muchos puntos singulares. Estas imagenes también son de Oliver Labs.

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Pour citer cet article :

Julie Levrault — «Formas y fórmulas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Tomé todas las fotos de este artículo. Excepto el juego final de Rui Abreu, los otros objetos fueron construidos por Oliver Labs.

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Le traducteur

Julie Levrault